奥数新起点（5）第7讲 环形路上的行程问题（讲义）-2023-2024学年五年级上册数学人教版

第7讲 环形路上的行程问题 “环形跑道”，也是称为封闭回路，它可以是圆形的、长方形的、三角形的，也可以是由长方形和两个半圆组成的运动场形状。 解题时，我们可以运动“转化法”把线路“拉直”或“截断”，从布把物体在“环形路道”上的运动转化为我们熟悉的物体在直线上的运动。 【模块一：知识点拨】 1. 环形跑道中的相遇问题：环形中的相遇问题与直线形问题也是略有不同的．如图所示，从一个点出发，背向而行的两人，会在圆周上的一点相遇．这时他们走过的路程和为一个圆周． 2. 环形跑道中的追及问题：而如果他们从同一个点出发同向而行，慢的那个人会在圆周上的一点被快的那人追上．这时他们走过的路程之差是一个圆周． 起点 甲 乙 路程和是跑道的周长 相遇时间＝周长÷（甲速＋乙速） 相向而行 同向而行 起点 甲 乙 路程差是跑道的周长 追及时间＝周长÷（乙速－甲速） 3. 解环形跑道问题的一般方法：两人走的路程和与路程差和跑道周长的关系往往是我们解题的关键． 【模块二：精讲精练】 【例1】如图﹐在长为400公尺的环形跑道上﹐A﹑B两点之间的跑道长100公尺．甲从A点﹑乙从B点同时出发相背而跑．两人相遇后﹐乙即转身与甲同向而跑﹐当甲跑到A时乙恰好跑到B．继续跑若甲追上乙时﹐甲从出发开始算起共跑了多少公尺﹖ 解析：400+[400﹣（400÷2﹣100）]×2 =400+[400﹣（200﹣100）] =400+[400﹣100]×2 =400+600 =1000（米） 答：当甲追上乙时，甲共跑了1000米． 【知识点】环形跑道问题 【分析】根据在相同的时间内，乙从B跑到C，甲可以从A跑到C（相向而行），乙如果按原路返回（从C跑到B），甲又可以同向从C经过B跑到A，可知 甲前后跑的两段路程是相等的，则AC=400÷2=200米．又因A、B两点间的距离是100米，所以乙每次跑的路程是200﹣100=100米，即甲的 速度是乙的速度的2倍．现在乙在前300米，甲在后追及，甲跑300×2=600米可以追上乙，原来乙跑了400米，所以甲从出发开始共跑的路程是 400+（400﹣100）×2=1000米． 【例2】下图中有两个圆只有一个公共点A，大圆直径48厘米，小圆直径30厘米。两只甲虫同时从A点出发，按箭头所指的方向以相同速度分别沿两个圆爬行。问：当小圆上甲虫爬了几圈时，两只甲虫首次相距最远？ 【答案】解：我们知道，大小圆只有一个公共点（内切），而在圆上最远的两点为直径两端，所以当一只甲虫在A点，另一只在过A的直径另一直径端点B， 所以在小圆甲虫跑了n圈，在大圆甲虫跑了m＋ 圈；于是小圆甲虫跑了30n，大圆甲虫跑了48（m＋ ）＝48m＋24。因为速度相同，所以相同时内路程相同，起点相同，所以30n＝48m＋24；即5n＝8m＋4，解出有n＝4，m＝2，所以小甲虫跑了4圈后，大小甲虫相距最远。 【知识点】追及问题；环形跑道问题 【解析】【解答】小圆的周长是：30π（厘米）； 大圆周长的一半是：48π÷2=24π（厘米）； 30π，24π的最小公倍数：120π； 小圆上甲虫爬的圈数：120π÷30π=4（圈）； 答：当小圆上甲虫爬了4圈时，两只甲虫首次相距最远。 【分析】借助画图分析。圆内的任意两点，以直径两端点的距离最远。可知如果沿小圆爬行的甲虫爬到A点，沿大圆爬行的甲虫恰好爬到B点，二甲虫的距离便最远。小圆周长为30π，大圆周长为48π，一半便是24π。问题变为求30π和24π的“最小公倍数”问题了。二者最小公倍数是120π，此时，小圆上甲虫爬了4整圈到达A点，大圆上甲虫爬了整5个半圈到达B点，两只甲虫首次相距最远。 【课堂精炼】 1. 甲、乙、丙三人环湖跑步锻炼，同时从湖边一固定点出发，乙、丙二人同向，甲与乙丙反向，在甲第一次遇上乙后1.25分钟第一次遇上丙，再经过3.75分钟第二次遇乙．已知甲速遇乙速的比是3：2，湖的周长是2000米．求甲、乙、丙三人的速度每分钟各是多少米？ 【答案】解：甲的速度为每分钟： 2000÷（1.25+3.75）× =2000÷5×， =240（米）； 乙的速度为每分钟： 2000÷5﹣240 =4000﹣240， =160（米）． 丙的速度为每分钟： 2000÷6.25﹣240 =320﹣240， =80（米）． 答：甲每分钟跑240米，乙每分钟跑160米，丙每分钟跑80米． 【知识点】环形跑道问题 【解析】【分析】在甲第一次遇上乙后1.25分钟第一次遇上丙，再经过3.75分钟第二次遇乙，则甲乙二人相时间为1.25+3.75=5分钟，两人相遇时 共行了一周即2000米，所以两人的速度和为每分钟2000÷5=400米．甲乙两人的速度比为3：2．由此可知甲的速度为每分钟400×=240米．由于甲与乙相遇时间为5分钟，甲第一