四川省自贡市职业技术学校2021-2022学年（升学班）高二下学期期末数学试卷

2021-2022学年四川省自贡市职业技术学校（升学班）高二（下）期末数学试卷 一、选择题（共15小题，每小题4分，共60分。请把答案写到后面表格中） 1．（4分）已知集合M＝{1，3}，N＝{1﹣a，2，3}，则a的值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 2．（4分）函数的定义域为（　　） A．（﹣2，1） B．（﹣2，1] C．[﹣2，1） D．[﹣2，1] 3．（4分）不等式|3x﹣2|＞4的解集是（　　） A．{x|x＜2或x＞2} B． C．或x＞2} D． 4．（4分）在△ABC中，sinA＞0是△ABC为锐角三角形的（　　）条件． A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5．（4分）与角﹣480°终边相同的角是（　　） A．﹣120° B．﹣60° C．120° D．720° 6．（4分）若数组a＝（﹣2，1，3）和b＝（1，﹣，x）满足a＝﹣2b（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣ D．﹣ 7．（4分）函数y＝5﹣x的大致图象是（　　） A． B． C． D． 8．（4分）已知角α的终边经过（1，﹣3），则cosα﹣sinα＝（　　） A． B． C． D． 9．（4分）在等比数列{an}中，已知a2＝﹣3，q＝2，则a7的值是（　　） A．96 B．﹣96 C．48 D．﹣48 10．（4分）过圆（x﹣1）2+（y+3）2＝1的圆心且与直线x﹣3y+3＝0平行的直线方程是（　　） A．x﹣3y﹣10＝0 B．x+3y＝0 C．3x﹣y﹣6＝0 D．x﹣3y+6＝0 11．（4分）抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（　　） A． B． C． D．0 12．（4分）有5件新产品，其中A型产品3件，B型产品2件，它们都是A型产品的概率是（　　） A． B． C． D． 13．（4分）已知双曲线与椭圆的焦点相同，且它们一个交点的纵坐标为4（　　） A． B． C． D． 14．（4分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则下列四个结论错误的是（　　） A．直线A1C1与AD1为异面直线 B．A1C1∥平面ACD1 C．三棱锥D1﹣ADC的表面积为 D．三棱锥D1﹣ADC的体积为 15．（4分）为了鼓励大家节约用水，遵义市实行了阶梯水价制度，下表是2021﹣2022年遵义市每户的综合用水单价与户年用水量的关系表．假设居住在遵义市的艾世宗一家2021年共缴纳的水费为1008元 （　　） 分档 户年用水量/m3 综合用水单价/（元/m3） 第一阶梯 0～216（含） 2.80 第二阶梯 216～288（含） 4.20 第三阶梯 288以上 8.40 A．299m3 B．300m3 C．301m3 D．302m3 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 16．（4分）防疫站对某校学生进行新冠疫苗的注射，由于疫苗数量有限，于是采用分层抽样法抽取一部分进行第一轮的注射．该学校共有学生2000名，已知女生比男生少抽了20人，则该校有女生 　 　． 17．（4分）设向量＝（﹣1，3），＝（2，x），若∥，则x＝　 　． 18．（4分）二项式的展开式中的常数项为 　 　。 19．（4分）已知抛物线x2＝﹣16y的焦点为F，则抛物线上的动点P到点M（﹣2，﹣3）与F距离之和的最小值为 　 　． 20．（4分）已知函数f（x）是奇函数，且满足f（x）（3﹣x），若当x∈[0，]时，f（x）＝（2020）＝　 　． 三、解答题（共6个小题，有5个小题，共70分） 21．（10分）在递增等差数列{an}中，a1+a4＝10，且4是a1与a4的等比中项． （1）求通项公式an； （2）求此数列前8项的和． 22．（12分）某校对高三年级部分女生的身高（单位cm，测量时精确到1cm）进行测量后的分组和频率如下： 分组 （147，150] （150，153] （153，156] （156，159] （159，162] （162，165] （165，168] （168，171] 频率 0.02 0.04 0.08 0.1 0.32 0.26 0.14 0.04 （1）若身高在153cm及以下的被测女生有3人，求所有被测女生的人数； （2）在（1）的条件下，从165cm以上的被测女生中抽出2人，171]中抽出的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列． 23．（12分）已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，． （1）求角C的大小； （2）若，求边a的长． 24．（12分）如图所示，在三棱锥B﹣ADC中，底面△ADC为等边三角形，AD⊥BD，点E，BD的中点． （1）求异面直线EF与CD所成角的大小； （2）求证：平面EFC⊥平面BCD． 25．（12分）椭圆C：的两个焦点F1，F2，点P在椭圆上，且PF1⊥F1F2，，． （1）求椭圆C的方程； （2）若直线l过圆x2+y2+4x﹣2y＝0的圆心M，交椭圆C于A，B两点，B关于点M对称，求直线l的方程． 26．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣4ax． （1）若函数f（x）在x∈[2，4]是增函数； （2）若对于任意的x∈[2，+∞），f（x）＞﹣1恒成立 2021-2022学年四川省自贡市职业技术学校（升学班）高二（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共15小题，每小题4分，共60分。请把答案写到后面表格中） 1．（4分）已知集合M＝{1，3}，N＝{1﹣a，2，3}，则a的值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 【答案】B 【分析】根据并集的求法得出1﹣a＝2，然后求得a的值即可． 【解答】解：∵集合M＝{1，3}，2}，2，3}， ∴3﹣a＝2， ∴a＝﹣1， 故选：B． 【点评】本题主要考查集合的运算，熟练掌握并集的求法是解答此题的关键． 2．（4分）函数的定义域为（　　） A．（﹣2，1） B．（﹣2，1] C．[﹣2，1） D．[﹣2，1] 【答案】B 【分析】根据函数的基本性质求解即可。 【解答】解：∵函数有意义， ∴8﹣x≥0，x+2＞8， ∴x∈（﹣2，1]， 故选：B。 【点评】本题主要考查函数定义域的求解，解题的关键在于掌握函数的基本性质，为基础题。 3．（4分）不等式|3x﹣2|＞4的解集是（　　） A．{x|x＜2或x＞2} B． C．或x＞2} D． 【答案】C 【分析】根据不等式|3x﹣2|＞4的解法即可求解． 【解答】解：∵不等式|3x﹣2|＞2， ∴3x﹣2＜﹣7或3x﹣2＞5， ∴x＜﹣或x＞3， ∴不等式的解集为{x|x＜﹣或x＞4}． 故选：C． 【点评】本题考查含绝对值的不等式，难度不大． 4．（4分）在△ABC中，sinA＞0是△ABC为锐角三角形的（　　）条件． A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据题干信息和充分必要条件的基本概念求解即可． 【解答】解：∵sinA＞0不能推出△ABC为锐角三角形，△ABC为锐角三角形能够推出sinA＞0， ∴sinA＞8是△ABC为锐角三角形的必要不充分条件， 故选：B． 【点评】本题主要考查充分必要条件的基本概念，解题的关键在于掌握充分必要条件的基本概念，为基础题． 5．（4分）与角﹣480°终边相同的角是（　　） A．﹣120° B．﹣60° C．120° D．720° 【答案】A 【分析】根据终边相同的角即可求解． 【解答】解：∵与角﹣480°终边相同的角是﹣480°+360°k，k∈Z， ∴当k＝1时，﹣480°+360°＝﹣120°． 故选：A． 【点评】本题考查终边相同的角，难度不大． 6．（4分）若数组a＝（﹣2，1，3）和b＝（1，﹣，x）满足a＝﹣2b（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣ D．﹣ 【答案】C 【分析】根据题意可得﹣2x＝3，解出即可． 【解答】解：∵数组a＝（﹣2，1，8）和b＝（1，﹣， ∴﹣2x＝3，解得． 故选：C． 【点评】本题考查学生对数据的处理能力及应用能力，属于基础题． 7．（4分）函数y＝5﹣x的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的图象即可求解． 【解答】解：∵函数y＝5﹣x＝在R上单调递减， ∴只有D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查指数函数的图象，难度不大． 8．（4分）已知角α的终边经过（1，﹣3），则cosα﹣sinα＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正余弦的定义分别求解α的正余弦，再求解即可． 【解答】解：cosα﹣sinα＝﹣＝＝． 故选：A． 【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，基本知识的考查． 9．（4分）在等比数列{an}中，已知a2＝﹣3，q＝2，则a7的值是（　　） A．96 B．﹣96 C．48 D．﹣48 【答案】B 【分析】根据a7＝a2q5即可求解． 【解答】解：∵a2＝﹣3，q＝2， ∴a7＝a2q3＝﹣3×32＝﹣96． 故选：B． 【点评】本题考查等比数列的性质，难度不大． 10．（4分）过圆（x﹣1）2+（y+3）2＝1的圆心且与直线x﹣3y+3＝0平行的直线方程是（　　） A．x﹣3y﹣10＝0 B．x+3y＝0 C．3x﹣y﹣6＝0 D．x﹣3y+6＝0 【答案】A 【分析】求出圆心坐标，再设直线方程为x﹣3y+c＝0，代入点求得c的值，即可得到答案． 【解答】解：圆（x﹣1）2+（y+6）2＝1的圆心坐标为（7，﹣3）， 与直线x﹣3y+2＝0平行的直线方程可设为x﹣3y+c＝7， 则1+9+c＝5， 解得c＝﹣10， 则所求直线方程为x﹣3y﹣10＝0， 故选：A． 【点评】本题考查直线与圆的方程，属于基础题． 11．（4分）抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（　　） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】先根据抛物线的方程求得准线的方程，进而根据抛物线的定义，利用点M到准线的距离求得点M的纵坐标，求得答案． 【解答】解：∵抛物线的标准方程为x2＝﹣y，准线方程为y＝﹣． 又点M与抛物线焦点的距离为1，设M的纵坐标为y3， ∴点M到准线的距离为y0+＝7， ∴点M的纵坐标y0＝． 故选：C． 【点评】本题主要考查了抛物线的定义，属基础题． 12．（4分）有5件新产品，其中A型产品3件，B型产品2件，它们都是A型产品的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据古典概型的计算公式直接求解即可。 【解答】解：∵有5件新产品，其中A型产品3件， ∴从中任抽8件的结果数为：＝10， ∴它们都是A型产品的概率是：＝， 故选：C。 【点评】本题主要考查古典概型，熟练掌握古典概型的计算公式是解答此题的关键。 13．（4分）已知双曲线与椭圆的焦点相同，且它们一个交点的纵坐标为4（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由双曲线与椭圆的焦点相同，则c＝＝3①，设双曲线的方程为﹣＝1，把y＝4代入椭圆的方程，得x，再把交点代入双曲线的方程，可得﹣＝1②，又c2＝a2+b2③，解得a2，b2，即可得出答案. 【解答】解：因为双曲线与椭圆的焦点相同， 所以c＝＝3①，±3）， 设双曲线的方程为﹣＝1， 把y＝4代入得x＝±， 把x＝±，y＝2代入双曲线的方程﹣， 所以﹣＝1②， 又c2＝a2+b2③， 由①②③得a2＝6，b2＝5， 所以双曲线的方程为﹣＝1， 双曲线的虚轴长为2， 故选：B。 【点评】本题考查双曲线的方程，属于基础题. 14．（4分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则下列四个结论错误的是（　　） A．直线A1C1与AD1为异面直线 B．A1C1∥平面ACD1 C．三棱锥D1﹣ADC的表面积为 D．三棱锥D1﹣ADC的体积为 【答案】D 【分析】对于A选项，根据直线与直线位置关系的判定定理求解即可；对于B选项，根据线面平行的判定定理求解即可；对于CD选项，利用三棱锥的体积公式和表面积公式求解即可． 【解答】解：∵A1C1⊂平面A3B1C1D2，AD1∩A1B6C1D1＝D3，AD1⊄平面A1B8C1D1，D3∉A1C1， ∴直线A7C1与AD1为异面直线，A正确， ∵A8C1∥AC，A1C8⊄平面ACD1，AC⊂平面ACD1， ∴A5C1∥平面ACD1，B正确， ∵正方体ABCD﹣A7B1C1D3的棱长为2， ∴AC＝AD1＝CD5＝2， ∴三棱锥D4﹣ADC的表面积为×8×2×3+×2×，C正确， ∴三棱锥D1﹣ADC的体积为＝，D错误， 故选：D． 【点评】本题主要考查三棱锥的体积公式和表面积公式，解题的关键在于数值运算，为基础题． 15．（4分）为了鼓励大家节约用水，遵义市实行了阶梯水价制度，下表是2021﹣2022年遵义市每户的综合用水单价与户年用水量的关系表．假设居住在遵义市的艾世宗一家2021年共缴纳的水费为1008元 （　　） 分档 户年用水量/m3 综合用水单价/（元/m3） 第一阶梯 0～216（含） 2.80 第二阶梯 216～288（含） 4.20 第三阶梯 288以上 8.40 A．299m3 B．300m3 C．301m3 D．302m3 【答案】B 【分析】设户年用水量为xm3，年缴纳的税费为f（x）元，根据题意求出f（x）的解析式，再利用分段函数的解析式可求出结果． 【解答】解：设户年用水量为xm3，年缴纳的税费为f（x）元， 则f（x）＝， 即f（x）＝， 当0≤x≤216时，f（x）＝5.8x≤2.8×216＝604.8， 当216＜x≤288时，604.8＜f（x）≤907.7， 当x＞288时，f（x）＞907.2， 所以8.3x﹣1512＝1008，解得x＝300， 所以艾世宗一家2021年共用水300m3． 故选：B． 【点评】本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题． 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 16．（4分）防疫站对某校学生进行新冠疫苗的注射，由于疫苗数量有限，于是采用分层抽样法抽取一部分进行第一轮的注射．该学校共有学生2000名，已知女生比男生少抽了20人，则该校有女生 　900　． 【答案】900。 【分析】设该校女生x人，男生为2000﹣x人，根据男女生人数关系列式计算即可。 【解答】解：∵该学校共有学生2000名，抽取一个容量为200的样本， ∴抽取的比例为＝， 设该校女生x人，男生为2000﹣x人， ∴（2000﹣x）﹣， ∴x＝900， ∴该校有女生900人， 故答案为：900。 【点评】本题主要考查分层抽样，熟练掌握分层抽样的抽取方法是解答此题的关键。 17．（4分）设向量＝（﹣1，3），＝（2，x），若∥，则x＝　﹣6　． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用向量共线定理即可得出． 【解答】解：∵∥，∴﹣x﹣6＝0． 故答案为：﹣8． 【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 18．（4分）二项式的展开式中的常数项为 　﹣160　。 【答案】﹣160. 【分析】求出通项公式，令x的指数为0，求得m的值，即可得解. 【解答】解：通项为（m＝4，1，6）， 设第m+6项为常数项，则6﹣2m＝7， 所以常数项为：， 故答案为：﹣160. 【点评】本题考查二项式定理的运用，考查运算求解能力，属于基础题. 19．（4分）已知抛物线x2＝﹣16y的焦点为F，则抛物线上的动点P到点M（﹣2，﹣3）与F距离之和的最小值为 　7　． 【答案】7． 【分析】根据抛物线的定义，可将PF长度转化到点P到准线的距离，进而根据两点之间线段最短即可求解． 【解答】解：已知抛物线x2＝﹣16y的焦点为F， 记抛物线的准线方程为l，P到l的距离为d， 则|PM|+|PF|＝d+|PM|≥|MN|＝7，当且仅当P为MN与抛物线的交点时． 故答案为：8． 【点评】本题考查了抛物线的性质，属于基础题． 20．（4分）已知函数f（x）是奇函数，且满足f（x）（3﹣x），若当x∈[0，]时，f（x）＝（2020）＝　﹣1　． 【答案】﹣1 【分析】由已知及奇函数可得函数的周期T＝6，然后结合已知区间上函数解析式即可求解． 【解答】解：因为f（x）是奇函数， 所以f（﹣x）＝﹣f（x）， 又f（x）＝f（3﹣x）即f（3+x）＝f（﹣x）＝﹣f（x）， 所以f（x+6）＝f（x）， 当x∈[0，]时， 则f（2020）＝f（336×6+4）＝f（4）＝﹣f（1）＝﹣7． 故答案为：﹣1 【点评】本题综合考查了函数性质在函数求值中的应用，体现了转化思想的应用． 三、解答题（共6个小题，有5个小题，共70分） 21．（10分）在递增等差数列{an}中，a1+a4＝10，且4是a1与a4的等比中项． （1）求通项公式an； （2）求此数列前8项的和． 【答案】（1）an＝2n；（2）72． 【分析】（1）根据题意可得a1，a4的值，进而求得公差，从而得到通项公式； （2）利用等比数列的前n项和公式直接求解即可． 【解答】解：（1）依题意，， 又{an}是递增等差数列， 则， 故公差， 则an＝a6+（n﹣1）d＝2+6（n﹣1）＝2n； （2）． 【点评】本题考查等差数列的通项公式及其前n项和，属于基础题． 22．（12分）某校对高三年级部分女生的身高（单位cm，测量时精确到1cm）进行测量后的分组和频率如下： 分组 （147，150] （150，153] （153，156] （156，159] （159，162] （162，165] （165，168] （168，171] 频率 0.02 0.04 0.08 0.1 0.32 0.26 0.14 0.04 （1）若身高在153cm及以下的被测女生有3人，求所有被测女生的人数； （2）在（1）的条件下，从165cm以上的被测女生中抽出2人，171]中抽出的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列． 【答案】见解答。 【分析】（1）根据总数＝计算可得； （2）计算ξ得概率，得到分布列。 【解答】解：（1）3÷（0.02+8.04）＝3÷0.06＝50（人）； （2）（165，168]：50×4.14＝7（人）， （168，171]：50×0.04＝6（人）， ξ可以取0，1，6， p（ξ＝0）＝＝＝， P（ξ＝1）＝＝＝， P（ξ＝2）＝＝， ξ的分布列为： ξ 5 1 2 P 【点评】本题考查离散型随机变量的概率分布，难度简单。 23．（12分）已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，． （1）求角C的大小； （2）若，求边a的长． 【答案】（1）C＝150°；（2）a＝． 【分析】（1）根据诱导公式以及三角形的内角和可知sinA＝sin（B+C），利用两角和差的正弦公式进行展开化简即可求解； （2）由（1）的结果，利用正弦定理＝进行求解即可． 【解答】解：（1）由， 可得sinCcosB﹣sinCsinB＝sin（B+C）， 所以sinCcosB﹣sinCsinB＝sinBcosC+cosBsinC， 所以﹣sinCsinB＝sinBcosC， 因为sinB≠0， 所以﹣sinC＝cosC， 所以＝﹣， 因为0°＜C＜180°， 所以C＝150°； （2）由C＝150°可得， sinC＝， 则在△ABC中，由正弦定理可得， ＝， 所以a＝＝＝． 【点评】本题考查了正弦定理，诱导公式，两角和差的正弦公式，同角三角函数的基本关系以及特殊角的三角函数值，属于中档题． 24．（12分）如图所示，在三棱锥B﹣ADC中，底面△ADC为等边三角形，AD⊥BD，点E，BD的中点． （1）求异面直线EF与CD所成角的大小； （2）求证：平面EFC⊥平面BCD． 【答案】（1）60°． （2）证明详情见解答． 【分析】（1）由异面直线的定义可得∠ADC是异面直线EF与CD所成的角，再计算大小，即可得出答案． （2）由面面垂直的判定定理，即可得出答案． 【解答】解：（1）因为点E，F分别是AB， 所以EF∥AD， 所以∠ADC是异面直线EF与CD所成的角， 因为△ADC是等边三角形， 所以∠ADC＝60°，即异面直线EF与CD所成角的大小为60°， 综上所述，异面直线EF与CD所成角的大小为60°． （2）证明：因为CB＝CD，F是BD的中点， 所以CF⊥BD， 因为AD⊥BD， 由（1）知EF∥AD， 所以EF⊥BD， 因为CF∩EF＝F， 所以BD⊥面CEF， 又BD⊂面BCD， 所以面EFC⊥面BCD． 【点评】本题考查异面直线所成角，直线与平面的位置关系，解题中注意转化思想的应用，属于中档题． 25．（12分）椭圆C：的两个焦点F1，F2，点P在椭圆上，且PF1⊥F1F2，，． （1）求椭圆C的方程； （2）若直线l过圆x2+y2+4x﹣2y＝0的圆心M，交椭圆C于A，B两点，B关于点M对称，求直线l的方程． 【答案】（1）； （2）8x﹣9y+25＝0． 【分析】（1）根据题意可得a＝3，c2＝5，进而求得b2＝4，由此得到椭圆方程； （2）易知线段AB的中点坐标为M（﹣2，1），再利用点差法求得直线l的斜率，即可得到直线方程． 【解答】解：（1）依题意，|PF1|+|PF2|＝4a＝6， 则a＝3， 又PF2⊥F1F2， 则， 解得c3＝5， 则b2＝4， 故椭圆C的方程为； （2）圆x3+y2+4x﹣5y＝0的圆心M（﹣2，8）， 依题意，线段AB的中点坐标为M（﹣2， 设A（x1，y5），B（x2，y2）， 则， 两式相减可得，， 则， 即直线l的斜率为， 则直线l的方程为，即7x﹣9y+25＝0． 【点评】本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，属于中档题． 26．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣4ax． （1）若函数f（x）在x∈[2，4]是增函数； （2）若对于任意的x∈[2，+∞），f（x）＞﹣1恒成立 【答案】（1）a的取值范围为{a|a≤1}； （2）a的取值范围为{a|a＜}． 【分析】（1）根据函数f（x）＝x2﹣4ax的对称轴为x＝2a，函数的二次项系数为正，函数f（x）在x∈[2，4]是增函数求解即可； （2）函数f（x）＝x2﹣4ax的对称轴为x＝2a，函数的二次项系数为正，对于任意的x∈[2，+∞），f（x）＞﹣1恒成立得到当2a≤2时，f（2）＞﹣1，即4﹣8a＞﹣1，即a＜，当2a＞2时，f（2a）＞﹣1即可求解． 【解答】解：（1）∵函数f（x）＝x2﹣4ax的对称轴为x＝6a，函数的二次项系数为正，4]是增函数， ∴2a≤2， ∴a≤1， ∴a的取值范围为{a|a≤1}； （2）∵函数f（x）＝x8﹣4ax的对称轴为x＝2a，函数的二次项系数为正，+∞）， ∴x7﹣4ax+1＞3在x∈[2，+∞）时恒成立， ∴当2a≤4时，f（2）＞﹣1，即a＜，f（2a）＞﹣17＞﹣1，即﹣（舍去）， ∴a＜， ∴a的取值范围为{a|a＜}． 【点评】本题主要考查二次函数的基本性质，解题的关键在于数值运算，为基础题． 学科网（北京）股份有限公司 $$