山西省吕梁市交城职业中学2021-2022学年艺文班高一下学期期末数学试卷

2021-2022学年山西省吕梁市交城职业中学艺文班高一（下）期末数学试卷 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共计36分） 1．（3分）如果，是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）在下列各组向量中，可以作为基底的是（　　） A．， B．， C．， D．， 3．（3分）在△ABC中，已知 a＝2，b＝2，则B等于（　　） A．60° B．60°或120° C．30°或150° D．120° 4．（3分）在△ABC中，若a＝2，b＝5，则cosB＝（　　） A． B． C． D． 5．（3分）复平面内表示复数z＝i（﹣2+i）的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（3分）下列各式的运算结果为纯虚数的是（　　） A．i（1+i）2 B．i2（1﹣i） C．（1+i）2 D．i（1+i） 7．（3分）已知z＝1+i，则＝（　　） A．1﹣i B．1+i C．2i D．﹣2i 8．（3分）已知z＝i（2+3i），则z的实部为（　　） A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2 9．（3分）棱长都是1的三棱锥的表面积为（　　） A． B．2 C．3 D．4 10．（3分）已知＝（1，2），＝（x，﹣2），若⊥，则x＝（　　） A．﹣1 B．1 C．4 D．﹣4 11．（3分）若长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为（　　） A．22 B．20 C．10 D．11 12．（3分）关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是（　　） A．棱柱的侧棱长都相等 B．四棱锥有5个顶点 C．三棱台的上、下底面是相似三角形 D．有的棱台的侧棱长都相等 二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，共计24分） 13．（4分）已知复数z满足z+i＝3﹣i，则|z|是 　 　． 14．（4分）在△ABC中，若b＝5，∠B＝，则a＝　 　． 15．（4分）正方体的内切球和外接球的半径之比为 　 　． 16．（4分）一个多面体最少有 　 　个面，此时这个多面体是 　 　． 17．（4分）利用平行投影，人们获得了画直观图的方法，名为 　 　． 18．（4分）正四棱锥的底面边长和侧棱都为2，则体积为 　 　． 三、解答题（本题共4个小题，共计40分，解答题应写出文字说明或演算步骤） 19．（12分）当实数m取什么值时，复数z＝m+1+（m﹣1）i是下列数？ （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数． 20．（8分）计算（1+i）2+（2+i）（2﹣i）﹣． 21．（8分）计算并将结果化为代数式． 3（cos20°+isin20°）[2（cos50°+isin50°）][10（cos40°+isin40°） 22．（12分）△ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c，已知． （1）A的大小； （2）2sinBcosC﹣sin（B﹣C）． 2021-2022学年山西省吕梁市交城职业中学艺文班高一（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共计36分） 1．（3分）如果，是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由单位向量的概念，即可得出答案． 【解答】解：对于A：如果，是两个单位向量，但是方向不一定相同； 对于B：由于，的夹角位置，则•，故B错误； 对于C：2＝2＝3，故C错误； 对于D：||2＝||2＝4，故D正确． 故选：D． 【点评】本题考查单位向量的概念，属于基础题． 2．（3分）在下列各组向量中，可以作为基底的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由平面向量基底的概念，即可得出答案． 【解答】解：对于A：因为＝（0，＝（1， 所以与共线，故A错误； 对于B：因为＝（﹣1，＝（5， 所以≠λ， 所以，不共线，故B正确； 对于C：因为＝（3，＝（4， 所以＝2，， 所以，共线，故C错误； 对于D：因为＝（2，＝（，﹣）， 所以＝， 所以，共线，故D错误． 故选：B． 【点评】本题考查平面向量基底的概念，属于基础题． 3．（3分）在△ABC中，已知 a＝2，b＝2，则B等于（　　） A．60° B．60°或120° C．30°或150° D．120° 【答案】B 【分析】由正弦定理可求得sinB的值，进而可得B. 【解答】解：由正弦定理可得，， 所以， 又B为△ABC的内角，且b＞a， 所以B＝60°或B＝120°. 故选：B。 【点评】本题考查正弦定理的运用，考查运算求解能力，属于基础题. 4．（3分）在△ABC中，若a＝2，b＝5，则cosB＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦定理即可求解． 【解答】解：cosB＝＝＝． 故选：A． 【点评】本题考查余弦定理，难度不大． 5．（3分）复平面内表示复数z＝i（﹣2+i）的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据题干信息和复数的运算法则求解即可． 【解答】解：∵z＝i（﹣2+i）， ∴z＝﹣1﹣4i， ∴复数z＝i（﹣2+i）复平面内表示的点位（﹣1，﹣4）， ∴复平面内表示复数z＝i（﹣2+i）的点位于第三象限， 故选：C． 【点评】本题主要考查复数的运算法则，解题的关键在于掌握复数的运算法则，为基础题． 6．（3分）下列各式的运算结果为纯虚数的是（　　） A．i（1+i）2 B．i2（1﹣i） C．（1+i）2 D．i（1+i） 【答案】C 【分析】根据题干信息和复数的运算法则求解即可． 【解答】解：i（1+i）2＝i（5i）＝﹣2，i2（2﹣i）＝i﹣1，（1+i）5＝2i，i（1+i）＝i﹣6， 故选：C． 【点评】本题主要考查复数的运算法则，解题的关键在于掌握复数的运算法则，为基础题． 7．（3分）已知z＝1+i，则＝（　　） A．1﹣i B．1+i C．2i D．﹣2i 【答案】A 【分析】根据题干信息和复数的运算法则求解即可． 【解答】解：∵z＝1+i， ∴＝1﹣i， 故选：A． 【点评】本题主要考查复数的运算法则，解题的关键在于掌握复数的运算法则，为基础题． 8．（3分）已知z＝i（2+3i），则z的实部为（　　） A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2 【答案】B 【分析】根据题干信息和复数的运算法则求解即可． 【解答】解：∵z＝i（2+3i）， ∴z＝﹣5+2i， ∴z的实部为﹣3， 故选：B． 【点评】本题主要考查复数的运算法则，解题的关键在于掌握复数的运算法则，为基础题． 9．（3分）棱长都是1的三棱锥的表面积为（　　） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据棱锥的表面积公式求解即可． 【解答】解：依题意，该三棱锥的四个面均是以1为边长的正三角形，则． 故选：A． 【点评】本题考查三棱锥的表面积计算，考查运算求解能力，属于基础题． 10．（3分）已知＝（1，2），＝（x，﹣2），若⊥，则x＝（　　） A．﹣1 B．1 C．4 D．﹣4 【答案】C 【分析】根据题干信息和向量的运算法则求解即可． 【解答】解：∵＝（1，＝（x，⊥， ∴x﹣4＝8， ∴x＝4， 故选：C． 【点评】本题主要考查向量的运算法则，解题的关键在于掌握向量的运算法则，为基础题． 11．（3分）若长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为（　　） A．22 B．20 C．10 D．11 【答案】A 【分析】根据题干信息和长方体的表面积公式求解即可． 【解答】解：∵长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，2， ∴长方体的表面积为2（1×7+1×3+7×3）＝22， 故选：A． 【点评】本题主要考查长方体的表面积公式，解题的关键在于掌握长方体的表面积公式，为基础题． 12．（3分）关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是（　　） A．棱柱的侧棱长都相等 B．四棱锥有5个顶点 C．三棱台的上、下底面是相似三角形 D．有的棱台的侧棱长都相等 【答案】B 【分析】由几何体的特征，即可得出答案． 【解答】解：对于A：根据棱柱的几何特性质可得棱柱的侧棱长都相等，故A正确； 对于B：根据棱锥顶点的定义可知，四棱锥只有1个顶点； 对于C：根据棱台的定义可知，棱台的上下底面是相似多边形； 对于D：正的棱台的侧棱长都相等，故D正确． 故选：B． 【点评】本题考查几何体的特征，属于基础题． 二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，共计24分） 13．（4分）已知复数z满足z+i＝3﹣i，则|z|是 　　． 【答案】． 【分析】根据题干信息和复数的运算法则求解即可． 【解答】解：∵z+i＝3﹣i， ∴z＝3﹣7i， ∴|z|＝＝， 故答案为：． 【点评】本题主要考查复数的运算法则，解题的关键在于掌握复数的运算法则，为基础题． 14．（4分）在△ABC中，若b＝5，∠B＝，则a＝　　． 【答案】． 【分析】根据正弦定理即可求解． 【解答】解：∵＝， ∴a＝＝＝． 故答案为：． 【点评】本题考查正弦定理，难度不大． 15．（4分）正方体的内切球和外接球的半径之比为 　：3　． 【答案】：3． 【分析】设正方体棱长为a，其内切球的半径为r，外接球的半径为R，求出r和R，即可得出答案． 【解答】解：设正方体棱长为a，其内切球的半径为r， 则r＝，正方体的一条体对角线是外接球的一条直径， 所以（2R）2＝a2+a2+a7，则R＝a， 所以正方体的内切球和外接球的半径之比为r：R＝：3． 故答案为：：3． 【点评】本题考查正方体的外接球和内切球的半径，属于基础题． 16．（4分）一个多面体最少有 　4　个面，此时这个多面体是 　三棱锥或四面体　． 【答案】4；三棱锥或四面体． 【分析】多面体的定义，即可得出答案． 【解答】解：根据多面体的定义可知，一个多面体最少有4个面，它的名称是三棱锥或四面体． 故答案为：4；三棱锥或四面体． 【点评】本题考查几何体的特征，属于基础题． 17．（4分）利用平行投影，人们获得了画直观图的方法，名为 　斜二测　． 【答案】斜二测． 【分析】由斜二测画法的定义，即可得出答案． 【解答】解：利用平行投影，人们获得了画直观图的方法． 故答案为：斜二测． 【点评】本题考查斜二测画法的定义，属于基础题． 18．（4分）正四棱锥的底面边长和侧棱都为2，则体积为 　　． 【答案】． 【分析】先根据正四棱锥的底面边长和侧棱都为2求得正四棱锥的高为＝，再根据题干信息和正四棱锥的体积公式求解即可． 【解答】解：∵正四棱锥的底面边长和侧棱都为2， ∴正四棱锥的高为＝， ∴正四棱锥的体积为＝ 故答案为：． 【点评】本题主要考查正四棱锥的体积公式，解题的关键在于掌握正四棱锥的体积公式，为基础题． 三、解答题（本题共4个小题，共计40分，解答题应写出文字说明或演算步骤） 19．（12分）当实数m取什么值时，复数z＝m+1+（m﹣1）i是下列数？ （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数． 【答案】（1）m＝1； （2）m≠1； （3）m＝﹣1． 【分析】（1）根据题干信息和复数的运算法则得到并求解m﹣1＝0即可； （2）根据题干信息和复数的运算法则得到并求解m﹣1≠0即可； （3）根据题干信息和复数的运算法则得到并求解m+1＝0且m﹣1≠0即可． 【解答】解：（1）∵z＝m+1+（m﹣1）i是实数， ∴m﹣5＝0， ∴m＝1； （2）∵z＝m+3+（m﹣1）i是虚数， ∴m﹣1≠3， ∴m≠1； （3）∵z＝m+1+（m﹣4）i是纯虚数， ∴m+1＝0且m﹣3≠0， ∴m＝﹣1． 【点评】本题主要考查复数的运算法则，解题的关键在于掌握复数的运算法则，为基础题． 20．（8分）计算（1+i）2+（2+i）（2﹣i）﹣． 【答案】+i． 【分析】由复数的运算，即可得出答案． 【解答】解：（1+i）2+（6+i）（2﹣i）﹣ ＝1+2i+i8+（4﹣i2）﹣ ＝1+7i+（﹣1）+[4﹣（﹣3）]﹣ ＝6+2i﹣1+6﹣ ＝5i+5﹣ ＝4i+5﹣ ＝2i+2﹣ ＝+i． 【点评】本题考查复数的运算，属于基础题． 21．（8分）计算并将结果化为代数式． 3（cos20°+isin20°）[2（cos50°+isin50°）][10（cos40°+isin40°） 【答案】60cos110°+i60sin110°． 【分析】根据题干信息和复数的运算法则求解即可． 【解答】解：3（cos20°+isin20°）[2（cos50°+isin50°）][10（cos40°+isin40°）＝5（cos20°cos50°+isin20°cos50°+icos20°sin50°﹣sin20°sin50°）[10（cos40°+isin40°）]＝6（cos70°+isin70°）10（cos40°+isin40°）＝60（cos70°cos40°+isin70°cos40°+icos70°sin40°﹣sin40°sin70°）＝60cos110°+i60sin110°． 【点评】本题主要考查复数的运算法则，解题的关键在于掌握复数的运算法则，为基础题． 22．（12分）△ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c，已知． （1）A的大小； （2）2sinBcosC﹣sin（B﹣C）． 【答案】（1）30°；（2）． 【分析】（1）根据余弦定理即可求解； （2）2sinBcosC﹣sin（B﹣C）＝2sinBcosC﹣sinBcosC+cosBsinC＝sinBcosC+cosBsinC＝sin（B+C）＝sinA即可求解． 【解答】解：（1）∵， ∴cosA＝＝， ∵0°＜A＜180°， ∴A＝30°； （2）2sinBcosC﹣sin（B﹣C）＝2sinBcosC﹣sinBcosC+cosBsinC＝sinBcosC+cosBsinC＝sin（B+C）＝sinA＝． 【点评】本题考查解三角形，难度不大． 学科网（北京）股份有限公司 $$