山西省吕梁市交城职业中学2023-2024学年加强班高二上学期期末数学试卷

2023-2024学年山西省吕梁市交城职业中学加强班高二（上）期末数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．（3分）下列命题正确的是（　　） A．任何直线都有唯一的斜率 B．每一条直线都有唯一的倾斜角，也有唯一的斜率 C．两条直线的斜率相等，则它们的倾斜角相等 D．倾斜角相同的直线一定是同一条直线 2．（3分）已知不重合的直线l1和l2的斜率都不存在，则l1和l2的位置关系是（　　） A．相交 B．平行 C．垂直 D．无法确定 3．（3分）已知点P（2，﹣1）到直线x﹣2y+C＝0的距离等于2，则C＝（　　） A．6 B．6或﹣14 C．7或﹣13 D．7 4．（3分）已知x2+y2﹣2x+y+k＝0是圆的方程，则实数k的取值范围是（　　） A．k＜5 B．k＜ C．k＞ D．k＜ 5．（3分）直线l：x+与圆C：x2+y2＝4的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 6．（3分）以下关于几何体的三视图的叙述中，正确的是（　　） A．正四面体的三视图都是正三角形 B．正方体的三视图总是三个全等的正方形 C．球的三视图总是三个全等的圆 D．圆锥的左视图是一个圆 7．（3分）已知三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，若三棱柱的正视图（如图所示），则左视图的面积为（　　） A．8 B．4 C． D． 8．（3分）用斜二测法画简单几何体的直观图时，不一定有的步骤是（　　） A．建立空间直角坐标系 B．画底面的直观图 C．过底面顶点作平行于z轴的平行线 D．去掉辅助线 9．（3分）已知用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为（　　） A． B． C．8π D． 10．（3分）已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是（　　） A．16 B．64 C．16或64 D．都不对 二、填空题（每空4分，共32分） 11．（4分）已知直棱柱的侧棱长为4，底面是边长为5的正六边形，该直棱柱的侧面积为 　 　． 12．（4分）已知正四棱锥的侧面积为80，斜高为10，则该正四棱锥的底面边长为 　 　． 13．（4分）与定点A（﹣5，3）的距离等于4的点的轨迹方程为 　 　． 14．（4分）过点P（4，5）且与直线y＝2x﹣7平行的直线的方程为 　 　． 15．（4分）设直线x+3y﹣2＝0与直线ax﹣y+2＝0垂直，则a＝　 　. 16．（4分）已知圆的方程为x2+y2+2x﹣8y+8＝0，过点P（2，0）作该圆的一条切线，则线段PA的长度为 　 　． 17．（4分）一圆锥形物体的高为4，底面半径为3，则这个物体的体积为 　 　． 18．（4分）已知球的直径为3，则球的体积为 　 　． 三、解答题（共38分） 19．（6分）若圆锥的表面积为27π，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面圆的直径． 20．（6分）已知正三棱锥S﹣ABC的侧棱长为5，底面边长为8，求此正三棱锥的表面积． 21．（6分）如果一个长方体的八个顶点都在一个球的球面上，则称这个球为这个长方体的外接球，此时长方体的体对角线就是球的直径．已知一个长方体的三条棱长分别为1cm，3cm，求它的外接球的表面积． 22．（6分）若圆锥的母线长为10cm，轴截面的顶角为60°，求它的体积． 23．（6分）求过直线x﹣2y+2＝0和x+2y﹣4＝0的交点，且与圆x2+y2﹣2x+6y+5＝0的圆心相同的圆的方程． 24．（8分）已知点P（1，﹣2）在圆（x+1）2+（y﹣2）2＝4外，经过点P作圆的切线，求切线的方程． 2023-2024学年山西省吕梁市交城职业中学加强班高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．（3分）下列命题正确的是（　　） A．任何直线都有唯一的斜率 B．每一条直线都有唯一的倾斜角，也有唯一的斜率 C．两条直线的斜率相等，则它们的倾斜角相等 D．倾斜角相同的直线一定是同一条直线 【答案】C 【分析】根据直线的倾斜角与斜率可逐一判断． 【解答】解：∵每一条直线都有唯一倾斜角，当倾斜角为90°时， ∴A、B错误； ∵两条直线的斜率相等， ∴它们的倾斜角相等， ∴C正确； ∵倾斜角相同的直线不一定是同一条直线，比如y＝x和y＝x+1， ∴D错误． 故选：C． 【点评】本题考查直线的倾斜角与斜率，难度不大． 2．（3分）已知不重合的直线l1和l2的斜率都不存在，则l1和l2的位置关系是（　　） A．相交 B．平行 C．垂直 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据题干信息和点到直线的基本性质求解即可． 【解答】解：∵不重合的直线l1和l2的斜率都不存在， ∴不重合的直线l6和l2的倾斜角均为90°， ∴l1和l6的位置关系是平行， 故选：B． 【点评】本题主要考查直线的位置关系，解题的关键在于掌握直线的基本性质，为基础题． 3．（3分）已知点P（2，﹣1）到直线x﹣2y+C＝0的距离等于2，则C＝（　　） A．6 B．6或﹣14 C．7或﹣13 D．7 【答案】B 【分析】根据点P（2，﹣1）到直线x﹣2y+C＝0的距离d＝，点P（2，﹣1）到直线x﹣2y+C＝0的距离等于2计算求解即可． 【解答】解：∵点P（2，﹣1）到直线x﹣8y+C＝0的距离d＝，﹣1）到直线x﹣2y+C＝2的距离等于2， ∴d＝＝2， ∴4+C＝10或4+C＝﹣10， ∴C＝2或C＝﹣14， 故选：B． 【点评】本题主要考查点到直线的距离公式，解题的关键在于掌握点到直线的距离公式，为基础题． 4．（3分）已知x2+y2﹣2x+y+k＝0是圆的方程，则实数k的取值范围是（　　） A．k＜5 B．k＜ C．k＞ D．k＜ 【答案】D 【分析】根据题干信息和圆的标准方程求解即可． 【解答】解：∵x2+y2﹣3x+y+k＝0可化为（x﹣1）6+（y+）5＝，x2+y2﹣2x+y+k＝5是圆的方程， ∴6， ∴k＜， 故选：D． 【点评】本题主要考查圆的标准方程，解题的关键在于掌握圆的标准方程，为基础题． 5．（3分）直线l：x+与圆C：x2+y2＝4的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】B 【分析】先根据圆的标准方程，求出圆心的坐标与半径，再根据点到直线的距离公式，求出圆心到直线l的距离d，再根据距离d与半径r的大小关系，判断直线与圆的位置关系。 【解答】解：∵圆C：x2+y2＝6， ∴圆心坐标为（0，0）， 又∵直线l：x+， ∴圆心到直线l的距离d＝＝2， ∴d＝r＝5， ∴直线l与圆C相切， 故选：B。 【点评】本题考查了圆的标准方程，以及直线与圆的位置关系的判断，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离是解题的关键，属于基础题。 6．（3分）以下关于几何体的三视图的叙述中，正确的是（　　） A．正四面体的三视图都是正三角形 B．正方体的三视图总是三个全等的正方形 C．球的三视图总是三个全等的圆 D．圆锥的左视图是一个圆 【答案】C 【分析】由几何体的三视图，即可得出答案． 【解答】解：对于A：正四面体的三视图可能出现等腰（非等边）三角形，故A错误； 对于B：主视的方向不同，正方体的三视图不一定是三个全等的正方形，故B错误； 对于C：球的三视图总是三个全等的圆，故C正确； 对于D：圆锥的左视图可能是一个三角形，故D错误． 故选：C． 【点评】本题考查几何体的三视图，属于基础题． 7．（3分）已知三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，若三棱柱的正视图（如图所示），则左视图的面积为（　　） A．8 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求出三棱柱的侧棱，画出左视图，其左视图为一个矩形，根据矩形的长和宽，即可得出答案． 【解答】解：设该三棱柱的侧棱长为a，则2a＝8， 所以a＝2， 该三棱柱的左视图是一个矩形，如图所示： 一边长为4，其相邻边长等于三棱柱底面等边三角形的高， 所以左视图的面积为7． 故选：C． 【点评】本题考查三视图，属于基础题． 8．（3分）用斜二测法画简单几何体的直观图时，不一定有的步骤是（　　） A．建立空间直角坐标系 B．画底面的直观图 C．过底面顶点作平行于z轴的平行线 D．去掉辅助线 【答案】D 【分析】由斜二测画法，即可得出答案． 【解答】解：用斜二测法画简单几何体的直观图时，不一定有的步骤是去掉辅助线， 故选：D． 【点评】本题考查斜二测画法，属于基础题． 9．（3分）已知用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为（　　） A． B． C．8π D． 【答案】C 【分析】根据题意可求得球的半径，进而得到其表面积． 【解答】解：依题意，截面圆的半径为1，则， ∴球的表面积为． 故选：C． 【点评】本题考查球的表面积计算，考查运算求解能力，属于基础题． 10．（3分）已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是（　　） A．16 B．64 C．16或64 D．都不对 【答案】C 【分析】利用直观图的画法，分两种情况，即可得出答案． 【解答】解： ①若直观图中平行四边形的边A′B′＝4， 则原正方形的边长AB＝A′B′＝4， 所以该正方形的面积S＝22＝16． ②若直观图中平行四边形的边A′D′＝4， 该正方形的边长AD＝7A′D′＝8， 故该正方形的面积是S＝84＝64． 故选：C． 【点评】本题考查平面图形的直观图，计算能力，属于基础题． 二、填空题（每空4分，共32分） 11．（4分）已知直棱柱的侧棱长为4，底面是边长为5的正六边形，该直棱柱的侧面积为 　120　． 【答案】120． 【分析】根据题干信息和直棱柱的侧面积公式求解即可． 【解答】解：∵直棱柱的侧棱长为4，底面是边长为5的正六边形， ∴直棱柱的侧面积为6×4×5＝120， 故答案为：120． 【点评】本题主要考查直棱柱的侧面积公式，解题的关键在于掌握直棱柱的侧面积公式，为基础题． 12．（4分）已知正四棱锥的侧面积为80，斜高为10，则该正四棱锥的底面边长为 　4　． 【答案】4． 【分析】根据题干信息和正四棱锥的侧面积公式求解即可． 【解答】解：设正四棱锥的底面边长为a， ∵正四棱锥的侧面积为80，斜高为10， ∴＝80， ∴a＝4， 故答案为：4． 【点评】本题主要考查正四棱锥的侧面积公式，解题的关键在于掌握正四棱锥的侧面积公式，为基础题． 13．（4分）与定点A（﹣5，3）的距离等于4的点的轨迹方程为 　（x+5）2+（y﹣3）2＝16　． 【答案】（x+5）2+（y﹣3）2＝16． 【分析】根据题干信息求解圆的标准方程即可． 【解答】解：与定点A（﹣5，3）的距离等于8的点的轨迹方程为（x+5）2+（y﹣4）2＝16， 故答案为：（x+5）3+（y﹣3）2＝16． 【点评】本题主要考查圆的标准方程，解题的关键在于掌握圆的标准方程，为基础题． 14．（4分）过点P（4，5）且与直线y＝2x﹣7平行的直线的方程为 　2x﹣y﹣3＝0　． 【答案】2x﹣y﹣3＝0． 【分析】先求出所求直线的斜率，再根据直线的点斜式即可求解． 【解答】解：∵直线y＝2x﹣7的斜率为4， ∴所求直线的斜率为2， ∴所求直线方程为y﹣5＝4（x﹣4），即2x﹣y﹣7＝0． 故答案为：2x﹣y﹣4＝0． 【点评】本题考查两直线平行的条件以及直线的点斜式方程，难度不大． 15．（4分）设直线x+3y﹣2＝0与直线ax﹣y+2＝0垂直，则a＝　3　. 【答案】3. 【分析】由两直线垂直斜率乘积为﹣1，可建立关于a的方程，解出即可. 【解答】解：依题意，，解得a＝3. 故答案为：3. 【点评】本题考查两直线垂直的条件，属于基础题. 16．（4分）已知圆的方程为x2+y2+2x﹣8y+8＝0，过点P（2，0）作该圆的一条切线，则线段PA的长度为 　4　． 【答案】4． 【分析】根据圆x2+y2+2x﹣8y+8＝0的标准方程为（x+1）2+（y﹣4）2＝9，圆心坐标（﹣1，4）与点P（2，0）间的距离为，圆的半径为3求解即可． 【解答】解：∵圆x2+y2+3x﹣8y+8＝7的标准方程为（x+1）2+（y﹣3）2＝9， ∴圆心坐标（﹣3，4）， ∵圆心坐标（﹣1，8）与点P（2，圆的半径为5， ∴切线的长为． 故答案为：7． 【点评】本题主要考查直线与圆相切的性质，解题的关键在于掌握直线与圆相切的性质，为基础题． 17．（4分）一圆锥形物体的高为4，底面半径为3，则这个物体的体积为 　12π　． 【答案】12π． 【分析】根据题干信息和圆锥的体积公式计算求解即可． 【解答】解：∵圆锥形物体的高为4，底面半径为3， ∴这个物体的体积为＝12π， 故答案为：12π． 【点评】本题主要考查圆锥的体积公式，解题的关键在于掌握圆锥的体积公式，为基础题． 18．（4分）已知球的直径为3，则球的体积为 　　． 【答案】． 【分析】根据题干信息和球的体积公式求解即可． 【解答】解：已知球的直径为3，则球的体积为＝， 故答案为：． 【点评】本题主要考查球的体积公式，解题的关键在于掌握球的体积公式，为基础题． 三、解答题（共38分） 19．（6分）若圆锥的表面积为27π，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面圆的直径． 【答案】6． 【分析】根据题干信息和圆锥的表面积公式求解即可． 【解答】解：设圆锥母线长为r， ∵圆锥的侧面展开图是一个半圆， ∴圆锥的底面半径为＝， ∵圆锥的表面积为27π， ∴＝27π， ∴r＝6． 【点评】本题主要考查圆锥的表面积公式，解题的关键在于掌握圆锥的表面积公式，为基础题． 20．（6分）已知正三棱锥S﹣ABC的侧棱长为5，底面边长为8，求此正三棱锥的表面积． 【答案】16+36． 【分析】根据题干信息和正三棱锥的表面积公式求解即可． 【解答】解：∵正三棱锥S﹣ABC的侧棱长为5，底面边长为8， ∴正三棱锥S﹣ABC的斜高为＝3， ∴正三棱锥的表面积为3×+＝16． 【点评】本题主要考查正三棱锥的表面积公式，解题的关键在于掌握正三棱锥的表面积公式，为基础题． 21．（6分）如果一个长方体的八个顶点都在一个球的球面上，则称这个球为这个长方体的外接球，此时长方体的体对角线就是球的直径．已知一个长方体的三条棱长分别为1cm，3cm，求它的外接球的表面积． 【答案】14πcm2． 【分析】根据题干信息和球的表面积公式求解即可． 【解答】解：∵长方体的三条棱长分别为1cm，2cm， ∴它的外接球的半径为＝cm， ∴它的外接球的表面积为3＝14πcm2． 【点评】本题主要考查球的表面积公式，解题的关键在于掌握球的表面积公式，为基础题． 22．（6分）若圆锥的母线长为10cm，轴截面的顶角为60°，求它的体积． 【答案】cm3． 【分析】根据题干信息和圆锥的体积公式求解即可． 【解答】解：∵圆锥的母线长为10cm，轴截面的顶角为60°， ∴圆锥的底面半径为10×sin30°＝5cm， ∴圆锥的体积为＝cm3． 【点评】本题主要考查圆锥的体积公式，解题的关键在于掌握圆锥的体积公式，为基础题． 23．（6分）求过直线x﹣2y+2＝0和x+2y﹣4＝0的交点，且与圆x2+y2﹣2x+6y+5＝0的圆心相同的圆的方程． 【答案】x2+y2﹣2x+6y﹣＝0． 【分析】先求出直线x﹣2y+2＝0和x+2y﹣4＝0的交点，再设圆的方程即可求解． 【解答】解：∵， ∴， ∴直线x﹣2y+2＝6和x+2y﹣4＝2的交点为（1，）， 设与圆x2+y2﹣4x+6y+5＝8的圆心相同的圆的方程为x2+y2﹣3x+6y+m＝0， ∵5+﹣7+9+m＝0， ∴m＝﹣， ∴所求方程为x2+y2﹣8x+6y﹣＝2． 【点评】本题考查两直线的交点以及圆的一般方程，难度不大． 24．（8分）已知点P（1，﹣2）在圆（x+1）2+（y﹣2）2＝4外，经过点P作圆的切线，求切线的方程． 【答案】x﹣1＝0或3x+4y+5＝0． 【分析】分直线斜率存在和直线不存在两种情况讨论求解即可． 【解答】解：当直线斜率不存在时，直线方程为x＝12+（y﹣2）2＝4相切， 当直线斜率存在时，设直线方程为y＝k（x﹣5）﹣2， 圆（x+1）2+（y﹣2）2＝8的圆心到直线y＝k（x﹣1）﹣2的距离d＝， ∵直线与圆相切， ∴d＝r＝2， ∴4＝d＝， ∴k＝﹣， ∴切线的方程为3x+5y+5＝0， ∴切线的方程为x﹣3＝0或3x+2y+5＝0． 【点评】本题主要考查直线与圆相切的性质，解题的关键在于掌握直线与圆相切的性质，为基础题． 学科网（北京）股份有限公司 $$