第8章 微专题系列13 活用抛物线焦点弦的四个结论（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

微专题系列——活用抛物线焦点弦的四个结论 [对应学生用书P190] 设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1·x2＝； (2)y1·y2＝－p2； (3)|AB|＝x1＋x2＋p＝(α是直线AB的倾斜角)； (4)＋＝为定值(F是抛物线的焦点). 【例】过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|＝(　　) A.4 B. C.5 D.6 B　解析：方法一：一般解法　易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为y＝k(x－1). 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，则xA·xB＝1.① 因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义，得xA＋1＝2(xB＋1)，即xA＝2xB＋1，② 由①②，解得xA＝2，xB＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝. 方法二：应用结论(3)　由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图， 设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于点E. 设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，则|AB|＝3m， 由抛物线的定义知|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，|AE|＝|AD|－|BC|＝m，所以cos θ＝＝，所以sin2θ＝.故利用弦长公式|AB|＝＝. 方法三：应用结论(4)　因为|AF|＝2|BF|， 所以＋＝＋＝＝＝1， 解得|BF|＝，|AF|＝3，故|AB|＝|AF|＋|BF|＝. [思维过程] 明确目标→求弦长|AB|. 提取信息→直线l过抛物线焦点，且满足“|AF|＝2|BF|”. 建立联系→(方法一)将直线方程与抛物线方程联立并结合已知得出A，B的横坐标再求解；(方法二)利用结论(3)求解；(方法三)利用结论(4)求解. 【练1】如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为(　　) A.5 B.6 C. D. C　解析：如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D. 由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AD|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x. 方法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，可得y1＝2，所以A(3，2).又F(1，0)，所以直线AF的斜率k＝＝，所以直线AF的方程为y＝(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x，得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝，|AB|＝x1＋x2＋p＝. 方法二　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4， 所以x1＝3.又x1x2＝＝1，所以x2＝，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋＋2＝. 方法三　因为＋＝，|AF|＝4，所以|BF|＝， 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝. 【练2】 已知以F为焦点的抛物线C：y2＝4x上的两点A，B满足＝λ，则弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是(　　) A.2 B. C. D.4 B　解析：方法一　抛物线y2＝4x的焦点坐标为F(1，0)，准线方程为x＝－1， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由|AF|＝λ|BF|及抛物线定义可知x1＋1＝λ(x2＋1)，①　又＝λ，∴(1－x1，－y1)＝λ(x2－1，y2)，即1－x1＝λ(x2－1)，②　由①②可得x1＝λ，x2＝， ∴|AB|＝AF＋BF＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝λ＋＋2.∵≤λ≤3， 当λ＝3时，|AB|＝λ＋＋2＝，当λ＝时，|AB|＝λ＋＋2＝， ∴＝，则弦AB的中点到C的准线的距离d＝，d的最大值是. ∴弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是. 方法二　弦AB的中点到C的准线的距离d＝＝＝＝， 根据结论，得|cosθ|＝＝∈，sin2θ＝1－cos2θ∈， d＝∈.即弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是. 分级练(55)　抛物线 分级一　提能强化 1.(2022·湖北十堰三模)下列四个抛物线中，开口朝左的是(　　) A.y2＝5x B.x2＝－5y C.y2＝－5x D.x2＝5y C　解析：抛物线y2＝5x的开口朝右，抛物线x2＝－5y的开口朝下，抛物线y2＝－5x的开口朝左，抛物线x2＝5y的开口朝上.故选C. 2.(2022·江苏海安高级中学二模)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，准线为l.点P在C上，直线PF交x轴于点Q，且＝3，则点P到准线l的距离为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 C　解析：设P(x0，y0)，Q(t，0)，∵F(0，1)，＝3，∴1－y0＝3×(－1)， ∴y0＝4，∴P到l的距离d＝5，故选C. 3.(2022·江苏宿迁模拟)已知抛物线C：x2＝－2py(p>0)的焦点为F，点M是C上的一点，M到直线y＝2p的距离是M到C的准线距离的2倍，且|MF|＝6，则p＝(　　) A.4 B.6 C.8 D.10 A　解析：设M(x0，y0)，由题意得解得p＝4，故选A. 4.设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l.P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线(　　) A.经过点O B.经过点P C.平行于直线OP D.垂直于直线OP B　解析：如图所示，P为抛物线上异于O的一点， 则|PF|＝|PQ|，∴QF的垂直平分线经过点P. 5.设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为(　　) A.(，0) B.(，0) C.(1，0) D.(2，0) B　解析：方法一　∵抛物线C关于x轴对称，∴D，E两点关于x轴对称.可得出直线x＝2与抛物线的两交点的坐标分别为(2，2)，(2，－2).不妨设D(2，2)，E(2，－2)，则＝(2，2)，＝(2，－2).又∵OD⊥OE，∴·＝4－4p＝0，解得p＝1，∴C的焦点坐标为(，0). 方法二　∵抛物线C关于x轴对称，∴D，E两点关于x轴对称.∵OD⊥OE，∴D，E两点横、纵坐标的绝对值均相等.不妨设点D(2，2)，将点D的坐标代入C：y2＝2px，得4＝4p，解得p＝1，故C的焦点坐标为(，0). 6.(2022·湖南长郡中学模拟)已知A(2，1)，抛物线C：y2＝4x的焦点为F，P是抛物线C上任意一点，则△PAF周长的最小值为(　　) A.3 B.1＋2 C.3＋ D.3＋2 C　解析：抛物线的准线为x＝－1，过点P作PH垂直于准线，如图所示.由题可知，△PAF的周长为|AF|＋|PA|＋|PF|＝|AF|＋|PA|＋|PH|，|AF|＝，易知当A，P，H三点共线时，△PAF的周长最小，且最小值为3＋.故选C. 7.(多选)(2023·山东德州三模)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，直线l与x轴交于点P，过点F的直线与抛物线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，O为坐标原点，则(　　) A.若x1＋x2＝8，则|AB|＝12 B.·＝－27 C.＋＝ D.△PAB面积的最小值为16 ACD　解析：抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2，0)，准线l：x＝－2，P(－2，0)， 设直线AB为x＝my＋2，则得y2－8my－16＝0， Δ＝64m2＋64>0，故yy＝64x1x2＝162，故x1x2＝4， 对选项A，|AB|＝x1＋2＋x2＋2＝x1＋x2＋4＝12，正确； 对选项B，·＝x1x2＋y1y2＝4－16＝－12，错误； 对选项C，＋＝＋＝＝＝，正确； 对选项D，S△PAB＝×|PF|×|y2－y1|＝2＝2≥16， 当m＝0时等号成立，正确；故选ACD. 8.(2023·江苏徐州模拟)抛物线C：x2＝4ay的焦点坐标为(0，2)，则C的准线方程为________. 答案：y＝－2　解析：因为抛物线C：x2＝4ay的焦点坐标为(0，2)，所以C的准线方程为y＝－2. 9.(2023·山东临沂模拟)已知抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－2与抛物线交于点A，且|AF|＝.写出抛物线的一个标准方程____________. 答案：y2＝2x或y2＝8x或y2＝－2x或y2＝－8x(写出一个即可) 解析：设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝px(p≠0)，A(m，－2)， 由抛物线定义得＝|AF|＝.又∵(－2)2＝2pm， ∴p＝±1或p＝±4，故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±8x. 10.已知直线l是抛物线y2＝2px(p>0)的准线，半径为3的圆过抛物线顶点O和焦点F与l相切，求抛物线的方程. 解：∵半径为3的圆与抛物线的准线l相切，∴圆心到准线的距离等于3，又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|＝，∴＋＝3，∴p＝4，故抛物线的方程为y2＝8x. 分级二　知能探究 11.(2022·广东梅州模拟)点P在曲线y2＝4x上，过P分别作直线x＝－1及y＝x＋3的垂线，垂足分别为G，H，则|PG|＋|PH|的最小值为(　　) A. B.2 C.＋1 D.＋2 B　解析：由题可知x＝－1是抛物线的准线，焦点F(1，0)，由抛物线的性质可知|PG|＝|PF|，∴|PG|＋|PH|＝|PF|＋|PH|，如图，当F，P，H在一条直线上时，|PF|＋|PH|取得最小值为|FH|，利用点到直线距离公式可以求出|FH|＝＝2，所以|PG|＋|PH|的最小值为2.故选B. 12.(多选)(2023·山东省齐鲁名校 3月大联考)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，直线l过点F且与抛物线C交于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，其中y1>0，且＝，则(　　) A.直线l的斜率为－ B.x1x2＝4 C.|MN|＝9 D.△MON(点O为坐标原点)的面积为6 BC　解析：因为y1>0，所以点M在第一象限，显然直线l不与x轴垂直，设直线l：x＝my＋2(m≠0)，联立可得y2－8my－16＝0，由根与系数的关系可得y1＋y2＝8m，y1y2＝－16. 如图，作MA，NB分别垂直x轴于点A，B，则△MAF∽△NBF， 得＝＝＝，又y1y2＝－16，则y1＝2，y2＝－4. A选项，y1＋y2＝8m＝－2，即m＝－，则直线斜率为＝－2，故A错误； B选项，因y＝8x1，y＝8x2，则x1x2＝·＝4，故B正确； C选项，由抛物线定义，|MN|＝|MF|＋|NF|＝x1＋x2＋4， 又x＝my＋2，则x1＋x2＋4＝m(y1＋y2)＋8＝－·(－2)＋8＝9，故C正确； D选项，由图得S△MON＝|OF|(|MA|＋|NB|)＝×2×(y1－y2)＝6，故D错误.故选BC. 13.(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C：x2＝2py(p>0)上，过点B(0，－1)的直线交C于P，Q两点，则(　　) A.C的准线为y＝－1 B.直线AB与C相切 C.|OP|·|OQ|>|OA|2 D.|BP|·|BQ|>|BA|2 BCD　解析：将点A代入抛物线方程得1＝2p，所以抛物线方程为x2＝y，故准线方程为y＝－，A错误；kAB＝＝2，所以直线AB的方程为y＝2x－1，联立可得x2－2x＋1＝0，解得x＝1，故B正确；设过B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，所以直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx－1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立得x2－kx＋1＝0，所以所以k>2或k<－2，y1y2＝(x1x2)2＝1，又|OP|＝＝，|OQ|＝＝，所以|OP|·|OQ|＝＝＝|k|>2＝|OA|2，故C正确；因为|BP|＝|x1|，|BQ|＝|x2|，所以|BP|·|BQ|＝(1＋k2)|x1x2|＝1＋k2>5，而|BA|2＝5，故D正确.故选BCD. 14.(2023·广东汕头模拟)已知抛物线C：y2＝6x的焦点为F，A为C上一点且在第一象限，以F为圆心，线段FA的长度为半径的圆交C的准线于M，N两点，且A，F，M三点共线，则|AF|＝________. 答案：6　解析：如图所示，连接AN.因为A，F，M三点共线，所以AM为圆F的直径，所以AN⊥MN，点F到抛物线C的准线的距离为3，则易知|AN|＝6，由抛物线定义知|AF|＝|AN|＝6. 15.直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F(1，0)，且与C交于A，B两点，则p＝________，＋＝________. 答案：2　1　解析：由题意知＝1，即p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.当直线AB的斜率不存在时，将x＝1代入抛物线方程，解得|AF|＝|BF|＝2，即＋＝1；当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y＝k(x－1)，联立整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则从而＋＝＋＝＝＝1.综上，＋＝1. 16.(2022·山东德州教育科学研究院二模)已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，A(t，1)是抛物线第一象限上的点，|AF|＝5，直线AF与抛物线的另一个交点为B，求S△AOB的面积. 解：∵|AF|＝1＋＝5，则p＝8，∴抛物线方程为x2＝16y，把A(t，1)代入抛物线方程得，t2＝16且t>0，则t＝4，∵A(4，1)，F(0，4)，则直线AF的斜率k＝＝－，∴直线AF的方程为y＝－x＋4，即3x＋4y－16＝0.联立方程解得或即B(－16，16)，则|AB|＝＝25，又O到直线AF：3x＋4y－16＝0的距离d＝＝，∴S△AOB＝|AB|×d＝40. 分级三　素能创新 17.探照灯、汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面(其纵断面是拋物线的一部分)，正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出.根据光路可逆图，在平面直角坐标系中，抛物线C：y2＝8x，一条光线经过M(8，－6)，与x轴平行射到抛物线C上，经过两次反射后经过N(8，y0)射出，则y0＝________，光线从点M到N经过的总路程为________. 　 答案：　20　解析：如图，设第一次射到抛物线上的点记为P，第二次射到抛物线上的点记为Q，易得P(，－6)，因为F(2，0)，所以直线PF的方程为12x＋5y－24＝0.联立消去x整理得3y2＋10y－48＝0，可设Q(x0，y0)，显然－6和y0是该方程的两个根，则－6y0＝－16，所以y0＝. 方法一　光线从点M到N经过的总路程为|MP|＋|PQ|＋|QN|＝(xM－xP)＋(xP＋xQ＋4)＋(xN－xQ)＝xM＋xN＋4＝20. 方法二　设抛物线的准线为l，则其方程为x＝－2，分别过点P，Q作准线l的垂线，垂足分别为G，H，则|PF|＝|PG|，|QF|＝|QH|，所以|PQ|＝|PF|＋|QF|＝|PG|＋|QH|，故光线从点M到N经过的总路程为|MP|＋|PQ|＋|QN|＝|MG|＋|NH|＝8＋2＋8＋2＝20. 学科网（北京）股份有限公司 $$