第8章 第7节 第3课时 定点问题（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

第❸课时　定点问题 圆锥曲线中的定点问题一般是指与解析几何有关的直线或圆过定点的问题(其他曲线过定点太复杂，高中阶段一般不涉及)，是高考重要的考点和热点之一.其实质是当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点转动. [对应学生用书P198] 考点 定点问题 (精研通) 【例】 (2023·全国乙卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点A(－2，0)在C上. (1)求C的方程； (2)过点(－2，3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点. (1)解：因为点A(－2，0)在C上，所以＝1，得b2＝4. 因为椭圆的离心率e＝＝，所以c2＝a2，又a2＝b2＋c2＝4＋a2， 所以a2＝9，c2＝5，故椭圆C的方程为＋＝1. (2)证明：由题意知，直线PQ的斜率存在且不为0， 设lPQ：y－3＝k(x＋2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由得(4k2＋9)x2＋(16k2＋24k)x＋16k2＋48k＝0， 则Δ＝(16k2＋24k)2－4(4k2＋9)(16k2＋48k)＝－36×48k>0，解得k<0， 故x1＋x2＝－，x1x2＝. 直线AP：y＝(x＋2)，令x＝0，解得yM＝，同理得yN＝， 则yM＋yN＝2 ＝2 ＝2 ＝2 ＝2×＝6. 所以线段MN的中点的纵坐标为＝3，所以线段MN的中点为定点(0，3). 求定点问题的解题策略 (1)求解直线或曲线过定点问题的基本思路：把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点. (2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m). 1.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点(，1)，且渐近线方程为y＝±x. (1)求C的方程； (2)若抛物线x2＝2py(p>0)与C的右支交于点A，B，证明：直线AB过定点. (1)解：因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点(，1)，且渐近线方程为y＝±x， 所以－＝1，＝1，解得a＝b＝，所以C的方程为－＝1， (2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x＝2py1，x＝2py2， 由可得y2－2py＋2＝0，Δ＝4p2－8>0，所以y1＋y2＝2p，y1y2＝2， 所以x1x2＝·＝2p. 因为kAB＝＝，所以直线AB的方程为y－y1＝(x－x1)， 即y＝x－x1＋y1＝x－＝x－， 所以直线AB过定点(0，－). 2.已知抛物线C：x2＝－2py过点(2，－1). (1)求抛物线C的方程及其准线方程； (2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点. (1)解：由抛物线C：x2＝－2py过点(2，－1)，得p＝2. 所以抛物线C的方程为x2＝－4y，其准线方程为y＝1. (2)证明：抛物线C的焦点为F(0，－1).设直线l的方程为y＝kx－1(k≠0). 联立得x2＋4kx－4＝0，Δ＝16k2＋16>0恒成立. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2＝－4.直线OM的方程为y＝x. 令y＝－1，得点A的横坐标xA＝－. 同理，得点B的横坐标xB＝－. 设点D(0，n)，则＝(－，－1－n)，＝(－，－1－n)， ·＝＋(n＋1)2＝＋(n＋1)2＝＋(n＋1)2 ＝－4＋(n＋1)2. 令·＝0，即－4＋(n＋1)2＝0，得n＝1或n＝－3. 综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0，1)和(0，－3). 分级练(59)　定点问题 分级一　提能强化 1.(2023·宁夏石嘴山模拟)已知F是抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，点M(x0，4)在抛物线上，且|MF|＝x0. (1)求抛物线C的标准方程； (2)若A，B是抛物线C上的两个动点，且OA⊥OB，O为坐标原点，求证：直线AB过定点. (1)解：由题意得，|MF|＝x0＋＝x0，解得x0＝2p. 因为点M(x0，4)在抛物线C上，所以42＝2px0＝4p2，解得p2＝4. 又p>0，所以p＝2， 即拋物线C的标准方程为y2＝4x. (2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2). 因为OA⊥OB，所以·＝0，即x1x2＋y1y2＝0. 因为点A，B在抛物线C上，所以y＝4x1，y＝4x2，代入得＋y1y2＝0. 因为y1y2≠0，所以y1y2＝－16. 设直线AB的方程为x＝my＋n，联立得y2－4my－4n＝0， 则y1y2＝－4n，所以n＝4， 所以直线AB的方程为x＝my＋4，过定点(4，0). 2.(2023·河北邢台高三开学考试)已知A1，A2为椭圆C：x2＋＝1的左、右顶点，直线x＝x0与C交于A，B两点，直线A1A和直线A2B交于点P. (1)求点P的轨迹方程； (2)直线l与点P的轨迹交于M，N两点，直线NA1的斜率与直线MA2斜率之比为－，证明：以MN为直径的圆一定过C的左顶点. (1)解：由题意得A1(－1，0)，A2(1，0)，设A(x0，y0)，B(x0，－y0)(y0≠0)，P(x，y)， 则kPA1＝kAA1，kPA2＝kBA2，即＝，＝，得＝， 又∵点(x0，y0)在C上，即x－1＝－，得＝3， ∴点P的轨迹方程为x2－＝1(y≠0). (2)证明：∵kNA1＝－kNA2，设直线NA1的方程为x＝－3my－1(m≠0)， 则MA2方程为x＝my＋1， 联立得(27m2－1)y2＋18my＝0(27m2－1≠0且Δ>0)， 设N(xN，yN)，得xN＝－1，yN＝， 同理设M(xM，yM)，得xM＝＋1，yM＝， kMA1＝＝＝3m，kNA1＝＝＝－， ∴kMA1·kNA1＝－1，即MA1⊥NA1， ∴以MN为直径的圆一定过C的左顶点. 分级二　知能探究 3.(2023·山东新高考4月联合模拟)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的长轴长为4，由E的三个顶点构成的三角形的面积为2. (1)求椭圆E的标准方程； (2)记椭圆E的右顶点和上顶点分别为A，B，点P在线段AB上运动，垂直于x轴的直线PQ交椭圆E于点M(点M在第一象限)，P为线段QM的中点，设直线AQ与椭圆E的另一个交点为N，证明：直线MN过定点. (1)解：由题意可知2a＝4，则a＝2， 椭圆E的三个顶点构成的三角形要么是短轴的一个顶点和长轴的两个顶点构成的三角形，面积为×2ab＝ab； 要么是短轴的两个顶点和长轴的一个顶点构成的三角形，面积为×2ba＝ab， 所以ab＝2，即b＝1， 故椭圆E的标准方程为＋y2＝1. (2)证明：因为MQ⊥x轴，所以MN不可能垂直于x轴，故直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y＝kx＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0， 则Δ＝(8km)2－4(1＋4k2)(4m2－4)>0，x1＋x2＝，x1x2＝ ， 直线AB的方程为＋y＝1， 当x＝x1时，y＝1－，所以P，P是MQ的中点，所以Q(x1，2－x1－y1)， kQA＝＝ ，即－1－＝，所以－1＝＋， 则－(x1－2)(x2－2)＝y2(x1－2)＋y1(x2－2)，从而(kx2＋m)(x1－2)＋(kx1＋m)(x2－2)＝－(x1－2)·(x2－2)化简得 (2k＋1)x1x2－(2＋2k－m)(x1＋x2)－4m＋4＝0， 代入x1＋x2＝，x1x2＝， 得(2k＋1)－(2＋2k－m)－4m＋4＝0， 故(m＋2k)(m＋2k－1)＝0，所以m＝－2k或m＝－2k＋1， 故直线NM的方程为y＝kx－2k或y＝kx－2k＋1， 由于M不与A重合， 所以直线不经过(2，0)，故直线NM的方程为y＝kx－2k＋1， 此时Δ＝(8km)2－4(1＋4k2)·(4m2－4)＝64k2－16m2＋16＝64k2－16(－2k＋1)2＋16＝64k，故k>0，此时直线过定点(2，1). 4.已知P是圆F1：(x＋1)2＋y2＝16上任意一点，F2(1，0)，线段PF2的垂直平分线与半径PF1交于点Q，当点P在圆F1上运动时，记点Q的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)记曲线C与x轴交于A，B两点，M是直线x＝1上任意一点，直线MA，MB与曲线C的另一个交点分别为D，E，求证：直线DE过定点H(4，0). (1)解：由线段PF2的垂直平分线与半径PF1交于点Q， 得|QF1|＋|QF2|＝|QF1|＋|QP|＝|PF1|＝4>|F1F2|＝2， 所以点Q的轨迹为以F1，F2为焦点，长轴长为4的椭圆， 故2a＝4，a＝2，2c＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3. 曲线C的方程为＋＝1. (2)证明：由(1)可设A(－2，0)，B(2，0)，点M的坐标为(1，m)，直线MA的方程为y＝(x＋2)， 将y＝(x＋2)与＋＝1联立整理得，(4m2＋27)x2＋16m2x＋16m2－108＝0， 设点D的坐标为(xD，yD)，则－2xD＝， 故xD＝，则yD＝(xD＋2)＝， 直线MB的方程为y＝－m(x－2)， 将y＝－m(x－2)与＋＝1联立整理得，(4m2＋3)·x2－16m2x＋16m2－12＝0， 设点E的坐标为(xE，yE)，则2xE＝， 故xE＝，则yE＝－m(xE－2)＝， HD的斜率为k1＝＝＝－， HE的斜率为k2＝＝＝－， 因为k1＝k2，所以直线DE经过定点H(4，0). 学科网（北京）股份有限公司 $$