第8章 第2节 圆的方程（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

第二节　圆的方程 课标解读 1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程. 2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想. [对应学生用书P174] 知识点一　圆的方程 1.圆的定义及方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心：(a，b) 半径：r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F>0) 圆心：(－，－) 半径：r＝ 2.点与圆的位置关系 点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 理论依据 点到圆心的距离与半径的大小关系 三种情况 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点在圆内 知识点二　直线与圆、圆与圆的位关系 1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 (1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系(最重要). d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离. (2)代数法： 2.圆与圆的位置关系 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0). 位置 关系 方法 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：联立两圆方程求方程组解的情况 外离 d>r1＋r2 无解 外切 d＝r1＋r2 一组实数解 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 两组不同的实数解 内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解 内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解 不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆. 圆的三个性质 (1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线. 若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)表示圆，则有： (1)当F＝0时，圆过原点. (2)当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上. (3)当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；当E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点. (4)当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切. 直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，代数法与几何法是不同的方向和思路，解题时要根据题目特点灵活选择. 1.圆相关切线方程结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)·(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2.圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时： (1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程； (2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦； (3)x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2). 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径.(　　√　　) (2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(　　√　　) (3)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0. (　　√　　) (4)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆.(　　×　　) (5)若两圆相切，则有且只有一条公切线.(　　×　　) (6)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切.(　　√　　) 二、版本互鉴 1.(人教B版选择性必修第一册P106 练习B T2改编)经过点A(1，0)，B(0，1)，且圆心在直线x＋y＝0上的圆的方程为(　　) A.x2＋(y－1)2＝1 B.(x－1)2＋y2＝1 C.(x－1)2＋(y－1)2＝1 D.x2＋y2＝1 答案：D 2.(苏教版选择性必修第一册P52例1改编)圆心坐标为(2，－3)且过原点的圆的方程是(　　) A.(x－2)2＋(y＋3)2＝ B.(x＋2)2＋(y＋3)2＝ C.(x＋2)2＋(y－3)2＝13 D.(x－2)2＋(y＋3)2＝13 答案：D 3.(湘教版选择性必修第一册P89 T4改编)圆x2＋y2＋8x－16y＋16＝0的圆心坐标和半径是(　　) A.(4，8)，8 B.(－4，8)，10 C.(－4，－8)，64 D.(－4，8)，8 答案：D 4.(人教B版选择性必修第一册P104 T4改编)若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(　　) A.(－1，1) B.(0，1) C.(－∞，－1)∪(1，＋∞) D.{－1，1} 答案：A 5.(苏教版选择性必修第一册P61 T1改编)直线l：x－y＋1＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的位置关系是(　　) A.相离 B.相切 C.相交且过圆心 D.相交但不过圆心 答案：D 6.(苏教版选择性必修第一册P60例3改编)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0截得的弦长为(　　) A. B.2 C. D.2 答案：D 7.(苏教版选择性必修第一册P56 T3改编)已知A(1，0)，B(0，3)，则以AB为直径的圆的方程是________________. 答案：x2＋y2－x－3y＝0 8.(人教A版选择性必修第一册P98 T9改编)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦的长为________. 答案：2 学科网（北京）股份有限公司 $$