第7章 微专题系列9 立体几何中的截面问题（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

微专题系列❾——立体几何中的截面问题 [对应学生用书P145] 在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体(包括圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等)，得到的平面图形.首先，我们要清楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截.其次，我们要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图形有哪些. 1.正六面体的基本截面 横截：正方形；竖截：正方形、矩形；斜截：如下图所示. 正六面体斜截面不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形. 2.圆柱体的基本截面 横截：圆形，如图①；竖截：矩形，如图②；斜截：如图③④⑤. 常在六面体中考查立体图形的截面问题，有时也会在六面体的基础上再叠加一些圆柱、三棱锥等其他图形.在备考过程中，只需要把常见立体图形的截面记住，并在考试中熟练应用即可. 【例1】 一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能是(　　) D　解析：考虑过球心的平面在转动过程中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形. 【例2】 能否用一个平面去截一个正方体，使得截面为五边形？进一步，截面能否为正五边形呢？ 解：可以用一个平面截一个正方体ABCD­A1B1C1D1，使得截面为一个凸五边形. 如图所示，点I是B1B延长线上一点，使得IB＝B1B，E为A1D1的中点，F为AA1上的点，使得＝.则截面C1EFGH为过直线EF与C1I(易证EF∥C1I)的平面与正方体ABCD­A1B1C1D1相截所得的凸五边形截面. 用一个平面去截一个正方体所得截面不能是一个正五边形.事实上，若截面为一个正五边形，则此五边形的五条边分属于此正方体的五个不同的面.我们将正方体的每两个相对的面作为一个抽屉，则上述包含正五边形的边的五个面中，必有两个面为相对的平面，它们是平行的，由面面平行的性质定理，可知此五边形中有两条边是平行的.但是正五边形的五条边是彼此不平行的，矛盾. 【例3】 已知一个平面截一个棱长为1的正方体所得的截面是一个六边形(如图所示).证明：此六边形的周长≥3. 证明：如图，我们将正方形的各个面依次展开，从正方形PQQ′P′出发， 依次经过PP′Q′Q，Q′QRR′，Q′R′S′P′，R′S′SR，S′SPP′，PSRQ. 从上述展开图可知截面六边形的周长大于等于AA′，而AA′＝＝3，得证. 【例4】 已知正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，BE＝BB1＝2，4AB＝3AA1，则该四棱柱被过点A1，C，E的平面截得的截面面积为________. 答案：12　解析：由题意，正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，BE＝BB1＝2，4AB＝3AA1， 可得AA1＝BB1＝CC1＝8，BE＝2， 在DD1上取点F，使得D1F＝2， 连接A1F，CF，则有A1F＝CE，A1F∥CE， 所以四边形A1ECF是平行四边形， 由勾股定理可得A1E＝＝6，CE＝＝2， A1C＝＝2， 所以cos ∠A1EC＝＝＝－， 所以sin ∠A1EC＝， 所以平行四边形A1ECF的面积为 A1E×EC×sin ∠A1EC＝6×2×＝12. 分级练(42)　构成空间几何体的基本元素、平面的基本事实与推论 分级一　提能强化 1.(2023·山东烟台二中高三期末)在空间中，“直线AB与CD没有公共点”是“直线AB与CD异面”的(　　) A.必要不充分条件 B.充要条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 A　解析：在空间中，若直线AB与CD没有公共点，则直线AB与CD平行或异面.故“直线AB与CD没有公共点”是“直线AB与CD异面”的必要不充分条件.故选A. 2.(2023·山东临沂模拟)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是BC的中点，则异面直线CD和D1E所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. A　解析：取AD的中点为F，连接EF，D1F(图略)，显然CD∥EF， 所以异面直线CD和D1E所成角就是直线EF和D1E所成角， 设正方体棱长为a，EF＝a，D1E＝＝， 所以cos ∠D1EF＝＝.故选A. 3.(2023·江苏南京模拟)若异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝l，则直线l(　　) A.与直线a，b都相交 B.至少与a，b中的一条相交 C.至多与a，b中的一条相交 D.与a，b中的一条相交，另一条平行 B　解析：因为α∩β＝l，所以l⊂α，l⊂β，则l与a平行或相交，l与b平行或相交，又a，b为异面直线，所以l不能与a，b同时平行，即l与a，b可都相交，也可能与一条相交，所以A，C，D错误，故选B. 4.(2022·江苏徐州模拟)如图所示，平面α∩平面β＝l，点A，B∈α，点C∈β，直线AB∩l＝R.设过A，B，C三点的平面为γ，则β∩γ＝(　　) A.直线AC B.直线BC C.直线CR D.以上均不正确 C　解析：∵AB∩l＝R，平面α∩平面β＝l， ∴R∈l，l⊂β，R∈AB，∴R∈β. 又∵A，B，C三点确定的平面为γ， ∴C∈γ，AB⊂γ，∴R∈γ. 又∵C∈β，∴C，R是平面β和γ的公共点， ∴β∩γ＝直线CR.故选C. 5.(2022·湖南雅礼中学模拟)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，则平面AD1E与平面ABCD的交线与直线C1D1所成角的正切值为(　　) A. B. C. D.2 A　解析：延长D1E与直线CD相交于点F，连接AF， 则平面AD1E与平面ABCD的交线为AF，又C1D1∥CD， ∴∠AFD为平面AD1E与平面ABCD的交线与直线C1D1所成的角， ∵E是棱CC1的中点，且DD1∥CC1，∴CD＝CF， ∴tan ∠AFD＝＝.故选A. 6.(2023·山东潍坊模拟)学校手工课上同学们分组研究正方体的表面展开图.某小组得到了如图所示表面展开图，则在正方体中，AB，CD，EF，GH这四条线段所在的直线中，异面直线有(　　) A.1对 B.3对 C.5对 D.2对 B　解析：作出正方体的图形如图所示. 则AB与CD，AB与GH，EF与GH是异面直线，共3对.故选B. 7.(2022·福建福州三模)在底面半径为1的圆柱OO1中，过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB＝2，E是的中点，F是AB的中点，则(　　) A.AE＝CF，AC与EF是共面直线 B.AE≠CF，AC与EF是共面直线 C.AE＝CF，AC与EF是异面直线 D.AE≠CF，AC与EF是异面直线 D　解析：由题意，圆柱的轴截面ABCD为边长为2的正方形，E是的中点，F是AB的中点，所以AC⊂平面ABC，EF与平面ABC相交，且与AC无交点，所以AC与EF是异面直线；有CF＝＝，AE＝＝，所以AE≠CF.故选D. 8.如图，在四面体A­BCD中作截面PQR，若PQ，CB的延长线交于点M，RQ，DB的延长线交于点N，RP，DC的延长线交于点K，则M，N，K三点的位置关系是________. 答案：共线　解析：因为M∈PQ，直线PQ⊂平面PQR，M∈BC，直线BC⊂平面BCD， 所以M是平面PQR与平面BCD的一个公共点， 所以M在平面PQR与平面BCD的交线上. 同理可证，N，K也在平面PQR与平面BCD的交线上.所以M，N，K三点共线. 9.在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且异面直线AB与CD所成的角为60°，E，F分别为边BC和AD的中点，则异面直线EF和AB所成的角为________. 答案：30°或60°　解析：如图，设G是AC的中点，连接EG，GF， 由已知得EG∥AB，FG∥CD，EG＝AB，FG＝CD， ∴∠EGF或其补角是AB和CD所成的角，∠GEF或其补角是AB和EF所成的角. ∵AB＝CD，∴EG＝GF，∴∠GEF＝∠GFE. 当∠EGF＝60°时，AB和EF所成的角为∠GEF＝60°； 当∠EGF＝120°时，AB和EF所成的角为∠GEF＝30°. 10.已知平面α过正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点A，平面α∥平面A1BD，平面α∩平面ABCD＝l，则直线l与直线CD1所成的角为________. 答案：60°　解析：如图所示，易知l∥BD，又CD1∥BA1，所以直线l与直线CD1所成的角即为直线BD与直线BA1所成的角.在等边三角形A1BD中，∠A1BD＝60°，即直线l与直线CD1所成的角为60°. 分级二　知能探究 11.(多选)已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且m，n⊄α，m，n⊄β，给出下列四个论断：①α∥β；②m∥n；③m∥α；④n∥β.以其中三个论断为条件，剩余论断为结论组成四个命题，其中正确的命题有(　　) A.①②③⇒④ B.①③④⇒② C.①②④⇒③ D.②③④⇒① AC　解析：A，C显然正确；对B选项，若①α∥β，③m∥α，④n∥β，则m，n可能相交、平行或异面，则B错误；对D选项，若②m∥n，③m∥α，④n∥β，则平面α，β可能相交、平行，则D错误.故选AC. 12.(2023·湖南高三开学考试)一封闭的正方体容器ABCD­A1B1C1D1，P，Q，R分别是AB，BC和C1D1的中点，由于某种原因，P，Q，R处各有一个小洞，当此容器内存水的表面恰好经过这三个小洞时，容器中水的上表面形状是(　　) A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 D　解析：如图，设过P，Q，R三点的平面为平面α.分别取A1D1，A1A，CC1的中点F，E，M，连接RF，FE，EP，PQ，QM，MR，EM，QF，RP.由正方体性质知RF∥PQ，所以F∈平面α.又RP∥MQ，所以M∈平面α.又EF∥RP，所以E∈平面α.所以六边形RFEPQM为容器中水的上表面的形状.故选D. 13.(多选)在通用技术课上，某小组将一个直三棱柱ABC­A1B1C1展开，得到的平面图如图所示.其中AB＝4，AC＝3，BC＝AA1＝5，M是BB1上的点，则(　　) A.AM与A1C1是异面直线 B.AC⊥A1M C.平面AB1C将三棱柱截成两个四面体 D.A1M＋MC的最小值是 ABD　解析：由题设，可得如图所示的直三棱柱.由直三棱柱的结构特征知，AM与A1C1是异面直线，A正确；因为AA1⊥AC，BA⊥AC，且AA1∩BA＝A，则AC⊥平面AA1B1B，又A1M⊂平面AA1B1B，故AC⊥A1M，B正确； 由图知平面AB1C将三棱柱截成四棱锥B1­ACC1A1和三棱锥B1­ABC，一个五面体和一个四面体，C错误；将平面AA1B1B和平面CC1B1B展开为一个平面，如图. 当A1，M，C共线时，A1M＋MC最小，最小值为，D正确.故选ABD. 14.如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P为平面ACC1A1上一动点，且满足D1P⊥CP，则满足条件的所有点P围成的平面区域的面积为________. 答案：　解析：设O是A1C1的中点，如图，连接PO，由正方体的性质易知D1在平面ACC1A1上的射影为O，所以要使平面ACC1A1上一动点P满足D1P⊥CP，只需PO⊥CP即可，连接OC，所在点P的轨迹是以OC为直径的圆，而OC＝，所以满足条件的所有点P围成的平面区域的面积为S＝π·()2＝. 分级三　素能创新 15.如图，在侧棱长为3的正三棱锥A­BCD中，每个侧面都是等腰直角三角形，在该三棱锥的表面上有一个动点P，且点P到点B的距离始终等于2，则动点P在三棱锥表面形成的曲线的长度为________. 答案：π　解析：设动点P在三棱锥表面形成的曲线是，，，，如图所示，则BE＝BH＝2.在直角三角形BAH中， cos ∠HBA＝＝，∴∠HBA＝，∠HBG＝－＝， ∴＝2×＝π，同理＝π.在直角三角形HAE中，∠HAE＝，AH＝AE＝＝，∴＝×＝.在等边三角形BCD中，∠CBD＝，∴＝2×＝.则所求曲线的长度为π＋π＋π＋π＝π. 学科网（北京）股份有限公司 $$