27.2.1.4 相似三角形的判定(3)-【中考123】2024-2025学年九年级下册数学全程导练（人教版）

0中香123 全程导练矿数学·九年级下册 第4课时 相似三角形的判定(3) 。过基础知识要点分类练 5.如图，∠1=∠2，添加一个条件使得△ADE 知识点1相似三角形的判定定理4 △ACB,添加的条件可以是 1,下列说法正确的是 A.所有的等腰三角形都相似 B.所有的直角三角形都相似 C.有一个角是100的两个等腰三角形相似 5题图 6题图 D.有一个角是70的两个等腰三角形相似 6.如图，若∠BEF=∠CDF,则 2.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD,∠C= 90°，∠BDA=90°，AB=a,BD=b,CD=c,BC= 7.如图，点D,E在△ABC的边AB,AC上 d,AD=e.下列等式成立的是 (1)若∠1=∠2，则 A.b2 ac (2)若∠2=∠B.则 B.b2=ce C.be ac 2题图 D.bd=ae 3.在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90° 7题图 8题图 下列条件中不能判定这两个三角形相似的是 8.如图，点D,E分别在AB,AC上，且∠ABC= ( ∠AED.若DE=4,AE=5,BC=8,则AB的长 A.∠A=55°，∠D=35 为 B.AC=9,BC=12,DF=6,EF=8 9.如图，在△ABC中，D为边AB C.AC=3,BC=4,DF=6,DE=8 上一点，要使△ACD∽△ABC,B D.AB=10,AC=8,DE=15,EF=9 可添加的一个条件是 9题图 4.如图，图①和图②中各有两个三角形，其边长 10.如图，已知BE,CD交于点A,∠E=∠C 和角的度数已在图上标注，图②中AB,CD交 求证：AD·AC=AB·AE. 于点O,对于各图中的两个三角形而言，下列 说法正确的是 75 36 10题图 709 75 4题图① 4题图② A.都相似 B.都不相似 C.只有图①相似 D.只有图②相似 回.42 见此闲标围科音/露信扣码领取你的考场冲制攻暗！ 第二十七章 11.已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3,BC=4. 知识点2相似三角形的判定定理5 点Q是线段AC上的一个动点（不与A,C两 12.一个直角三角形的两边长分别是3和6，另 点重合)，过点Q作AC的垂线交线段AB(如 一个直角三角形的两边长分别是2和4，那 图①)或线段AB的延长线（如图②）于点P. 么这两个三角形 相似（填“一定” (1)当点P在线段AB上时，求证：△4PQ∽△ACB: “不一定”或“一定不”) (2)当△PQB为等腰三角形时，求AP的长 13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC上 一点.已知CD=1,AD=√5，AB=25. 求证：Rt△ADC∽Rt△BAC. I1题图① 11题图② 13题图 14.如图，在△ABC中，CD,AE是三角形的两条 高，写出图中所有相似的三角形，并证明其中 的一个结论， 14题图 见此图标弱科音/微估扫码领取你的考场冲刺政略！ 43⊙ 。中春123全程号练了数学·九年级下册 15.如图，已知∠1=∠2=∠3. 。过能力规律方法综合练 求证：△ABC∽△ADE. 17.如图，给出下列条件：①AC=AD·AB:②∠ADC =L4AC:③S-:④LB=乙A0m其中能 够单独判定△ABC△ACD的条件有() 15题图 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 17题图 18题图 18.如图，AB∥CD,AE∥FD,AE,FD分别交BC 于点G,H,则图中共有相似三角形() A.4对B.5对 C.6对 D.7对 19.如图，在边长为9的等边△ABC中，BD=3, ∠ADE=60°，求AE的长 16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜 边AB上的高. (1)图中有哪几对相似三角形？请用符号把 它们表示出来，并说明理由： 19题图 (2)AC是哪两条线段的比例中项？为什么？ 类似的等积线段还有哪些？ (3)若AD=9,BD=4,求CD和BC的长， D 16题图 44 兄此国标豆科音/露信扫码领取你的考场冲刺政路！ 第二十七章 20.如图，△ABC是等边三角形，∠DAE=120°，。过提升拓展探究创新练 D,B,C,E四点在同一直线上 21.如图，在矩形ABCD中，AB=m(m是大于0 (1)图中有哪几对相似三角形？请选择其中 的常数)，BC=8,E为线段BC上的动点（不 的一对说明理由： 与点B,C重合).连接DE,作EF⊥DE,EF与 (2)当∠E=30°时，△ACE与△ABD有什么 射线BA交于点F,连接DF.设CE=x,BF=y 关系？为什么？ (1)求y关于x的函数解析式： (3)求证：BC2=DB·CE. (2)若m=8,当x为何值时，y的值最大？最 大值是多少？ (3)若y=是，则要使△DEF为等腰三角形。 20题图 m的值应为多少？ 21题图 见此图标弱科音/微估扫码领取你的考场冲刺政略！ 45数学·九年级下册·参考答案 19.解：在Ri△ABC中，∠C=90°，AC=4cm,BC=3cm, ②当点P在线段AB的延长线上时， 根据勾股定理，得AB=√AC+BC=5(m). .∠QBP为钝角， (1)以A,P,M为顶点的三角形与△ABC相似，分两种 ,当△PQB为等腰三角形时，只可能是B即=BQ. 情况： BP=BQ,.∠BQP=∠P. ①当△AWp△4C时，记-即 ·∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°， ∴.∠AQB=∠A,∴.BQ=AB, 5之号解得1= .AB=BP,∴.B为线段AP的中点， 4 .AP=2AB=2×3=6. 2当AP△4c时船-把即 综上所述，当△PQB为等腹三角形时.AP的长为号 5；之4母解得1=0，不合题意含去 或6 5 12.一定 3 综上所述，当1=立时，以A,P,M为顶点的三角形 13.证明：∠C=90°，CD=1,AD=5,AB=25. 与△ABC相似 .AC=√(5)2-1=2.BC=√(25)2-2=4， (2)如答图，过点P作PH⊥BC于点H,则PH∥AC, 肥熙器 0品-子A0cAC 14.解：△ADF∽△AEBn△CEF∽△CDB. m= 在△ADF和△AEB中， ∠DAF=∠EAB,∠ADF=∠AEB=90°， S=SAA-Sa时 △ADF∽△AEB. =x3x4-×3-0 19题答图 15.证明：，∠1=∠3，∴，∠1+∠DAC=∠3+∠DAG -号+6 即∠BAG=∠IDAE. ∠ADC是△ABD的外角，.∠ADC=∠B+∠I, 第4课时相似三角形的判定(3) 即∠B+∠1=∠ADE+∠2. 1.C2.A3.C4.A 又：∠I=∠2∴.∠B=∠ADE,,△ABC△ADE. 5.∠D=∠C(答案不唯一) 16.解：(1)3对，△ABC△ACD∽△CBD 6.△BEF△CDF△ABD△ACE CD是斜边AB上的高， 7.(I)△ADE△ACD(2)△ADE△ABC ∠ADC=90°，.∠ACB=∠ADC=90 8.10 又，∠A=∠A,∴.△ABC△ACD 9.∠ACD=∠B(答案不唯一) 同理△ABC∽△CBD,△ACD∽△CBD, 10.证明：，'∠DAE=∠BAC.∠E=∠C. ∴.△ABC∽△ACD∽△CBD △ADE∽△ABC, (2(1)知△ABc△4D.把-6 裙-装04C=~4 AC2=AD·AB 11.(1)证明：PQ⊥AC,∠ABC=90°， 类似的还有BC2=BD·AB,CD=AD·BD. .∠PQA=∠ABC. (3)由)知△4CD△c0品2品 又，∠A=∠A. .CD=AD·BD=4×9=36,则CD=6. ∴.△APQ∽△ACB. 同理.由BC=BD·AB=52,得BC=213 (2)解：在Rt△ABC中，AB=3,BC=4,由勾股定理， 17.C18.C 得AC=5, 19.解：△ABC是等边三角形， ①当点P在线段AB上时： ∠B=∠C=60°，AB=BC, ∠BPQ为钝角， .CD=BC-BD=9-3=6, ,当△POB为等腰三角形时，只可能是PB=PQ ∠DAB+∠ADB=120°. 由(I)可知△APQ∽△ACB ∠ADE=60°，，∠ADB+∠EDC=120°， =即3-PE_B AC CB' 5 4 ∴.∠DAB=∠EDC 4 又，∠B=∠C=60°，∴△ABD△DCE, 解得PB=3· 45 小品瓷号总解得E=2 AP=AB-PB=3-3=31 .∴.AE=AC-CE=9-2=7. ·10 20.(1)解：3对.△ADE∽△BDA∽△CAE. (2)解：由(1)知△ADF△CAE40=C ,△ABC是等边三角形，∴.∠ABC=60°， AFCE ∴.∠DBA=120 .AD=8,DC=6,∠ADC=90°， ∠DAE=I20°，∴.∠DAE=∠DBL ,AC=√8+6=10. ∠D=∠D,.△ADE∽△BDM 同理△ADE∽△CAE,△CAE△BDA. :F是AC的中点=了4C=5, ,∴，△ADE∽△BDA∽△CME. (2)解：△ACE≌△ABD ∠DAE=120°，∠E=30°. E是BC的中点BC=2CE=25 21 .∠D=∠E=30°，∴.AD=AE :,直角梯形ABCD的面积是 ·∠DBA=∠EGA, x(2+8)x6=器 ∴，△AGE≌△ABD （3证明：△m4△C股-提 9.证明：5a度=E·AB=号BF:AC, .AC·AB=DB·EC 2CB,AB=R·AC, 又：△ABC是等边三角形， ,∴.AC=AB=BC. 儒-指器-6a .BC2=DB·CE 则AE=√AC-CE 21.解：(1)，EF⊥DE. =√(a·AB)-(a·BF), ∴.∠BEF=90°-∠CED=∠CDE. 又.·∠B=∠C=90,.△BEF∽△CDE. a√AB-BF=a·AF=AE, 小常器即子8解得y“三 AE 心AF= m m (2)当m=8时y=g+=-g(-8) X报-…6-长 又∠A=∠A,.△AFE△ABC =-8(x-4)2+2 10.(1)证明：：AB是⊙O的直径，.∠ADB=90 ∴当x=4时，y的值最大，最大值是2 AC是⊙O的切线，.∠BAC=90°， (3),·∠DEF=90°， .∠BAC=∠ADC=90. ∴当DE=EF时，△DEF为等腰三角形， :∠BCM=∠ACD,∴.△CAD∽△CBA ∴，△BEFY△CDE.∴，BE=CD=m. (2)解：由(1)知△CAD△CBA, 此时m=8-,解方程二_8=工，得 m m 8能设m=则 x=6或x=2, x 六当x=2时，m=6:当x=6时，m=2 -5解得与=4=9（含去 滚动练习（二）(27.1~27.2) .CD的长为4. 1.B2.D3.B4.C5.B6.C 11.证明：，CD平分∠ACB.,∴.∠ACD=∠BCD. 7.C解析：：AB=AC,∠A=36°，÷∠ABC=∠C=72°.由平 又，∠DAB与∠BCD对者同一条弧， .∠DAE=∠BCD=∠ACD. 分可知LABD=LCBD=∠AC=36, .∠A=∠CBD,∠C=∠C,,△BDC∽△ABC.故①正确. 又：∠D=∠).ADE△DC品=器 ,.AD=DE·DC ,∠A=∠A,∠ABD≠∠C,∴，△ABD与△ABC不相仅故②错误 △BCD∽△ACB,,BC=DC·AC. 12.证明：(1)四边形ABCD是正方形， ∠C=72°，∠CBD=36°，∠BDC=72°， .AB=BC.∠ABC=∠BCD=90°， 六.∠BDC=∠C,BD=BC,∴.BD=AC·DC.故③正确. ∴，∠ABE=∠BCF=90°， 又.BE=CF.∴.△ABE≌△BCF. AD=BD=BC,∴.AD=AC·DC.故④正确. 8.(1)证明：AD∥BC, ∴，∠E=∠F, ,∠EBW=∠FBC,∴.△BEM∽△BFC ,.∠DAF=∠ACE ∠DFC=∠AEB （②)(，得△E△BFC=-器 .∠DFA=∠AEC ·.△ADF∽△CAE. E=C8乐-SGF=B.E ·11-