分级练(58) 范围问题（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

分级练(58)　范围问题 分级一　提能强化 1.(2022·江苏南通模拟)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，虚轴长为，两准线间的距离为. (1)求双曲线C的方程； (2)设动直线l与双曲线C交于P，Q两点，已知AP⊥AQ，设点A到动直线l的距离为d，求d的最大值. 解：(1)依题意可得解得所以双曲线方程为x2－2y2＝1. (2)由(1)可知A(1，0)，依题意可知kAP·kAQ＝－1， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x－2y＝1，x－2y＝1， 则有kAP＝＝，kAQ＝＝， 所以·＝－1，·＝－1， 所以x2y1＋2x1y2＝2y2－y1，y2x1＋2y1x2＝2y1－y2， 作差得x2y1－x1y2＝3(y1－y2)，又PQ的方程为(x2－x1)y＝(y2－y1)x＋x2y1－x1y2， 所以PQ过定点M(3，0)，所以d≤|AM|＝2，即d的最大值为2. 2.(2022·山东肥城模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，四点P1(，)，P2(0，1)，P3(1，)，P4(1，－)中恰有三点在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程； (2)设O为坐标原点，过点Q(2，0)的直线l与椭圆C相交于M，N两点，求△OMN面积的取值范围. 解：(1)由对称性可知P3，P4都在椭圆C上， 对于椭圆C在第一象限的图象上的点(x，y)， 易知y随x的增大而减小，故P1，P2中只有P2符合. 所以P2，P3，P4三点在椭圆C上， 故b＝1，将P3的坐标代入椭圆C方程得a＝，所以椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)由已知直线l斜率不为0，故设方程为x＝my＋2， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立得(m2＋2)y2＋4my＋2＝0， ∴Δ＝16m2－8(m2＋2)＝8(m2－2)>0，即m2>2，y1＋y2＝－，y1y2＝. 故S△OMN＝·2·|y1－y2|＝|y1－y2|＝＝， 令＝t>0，则m2＝t2＋2， 令S△OMN＝＝≤＝，当且仅当t＝2，即m2＝6时取等号， ∴△OMN面积的取值范围为(. 分级二　知能探究 3.(2023·四川成都模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为4. (1)求椭圆C的方程； (2)若过点P(0，1)的直线交椭圆C于A，B两点，求·的取值范围. 解：(1)∵e＝＝，2b＝4，∴b＝2， 又a2＝b2＋c2，即a2＝4＋a2，解得a＝4，c＝2， ∴椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)当直线AB的斜率不存在时，AB：x＝0， 不妨设A(0，2)，B(0，－2)，则·＝－4； 当直线AB的斜率存在时， 设AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得(4k2＋1)x2＋8kx－12＝0，Δ＝64k2＋48(4k2＋1)>0恒成立， 故x1＋x2＝－，x1x2＝－， ∴·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝ (k2＋1)·(－)－＋1＝＝ ＝－4－∈[－11，－4)， 综上·∈[－11，－4]， 故·的取值范围为[－11，－4]. 4.(2023·辽宁大连模拟)已知抛物线C：x2＝2py的焦点为F，抛物线上一点A(m，2)(m>0)到F的距离为3. (1)求抛物线C的方程和点A的坐标； (2)设过点B(2，0)且斜率为k的直线l与抛物线C交于不同的两点M，N.若＝λ，λ∈(，4)，求斜率k的取值范围. 解：(1)由题意知2＋＝3，得p＝2，所以抛物线C的方程为x2＝4y. 将点A(m，2)(m>0)代入x2＝4y，得m＝2，所以点A的坐标为(2，2). (2)直线l：y＝k(x－2)与抛物线C：x2＝4y联立，消去y得x2－4kx＋8k＝0， Δ＝16k2－32k>0，解得k<0或k>2.设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则有x1＋x2＝4k，x1x2＝8k，＝，(x2－2，y2)， 则y1＝λy2，即λ＝，又x＝4y1，x＝4y2. 所以λ＝＝()2∈(，4)，则∈(－2，－)∪(，2)， 因为＝＋＋2＝＝2k，设t＝，则2k＝t＋＋2， 因为t∈(－2，－)∪(，2)，则t＋∈(∪， 所以k∈(∪)，因为k<0或k>2， 所以k的取值范围是(－，0)∪(2，). 学科网（北京）股份有限公司 $$