分级练(47) 利用空间向量求空间角（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

分级练(47)　利用空间向量求空间角 分级一　提能强化 1.(2023·江苏高邮中学高三开学考试)在四棱锥P­ABCD中，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，AC⊥PB. (1)证明：平面PAC⊥平面PBC； (2)若PB⊥BC，直线PB与平面PAC所成的角为30°，求PD的长. (1)证明：在平面四边形ABCD中，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，所以四边形ABCD是等腰梯形，过点C作CE⊥AB于点E，因为四边形ABCD是等腰梯形， 所以BE＝，AE＝，CE＝＝＝， AC＝＝＝， 所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC， 又AC⊥PB，BC∩PB＝B，BC，PB⊂平面PBC，所以AC⊥平面PBC， 又AC⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBC. (2)解：因为PB⊥BC，AC⊥PB，BC∩AC＝C，BC，AC⊂平面ABCD， 所以PB⊥平面ABCD，由(1)知，AC⊥BC，以C为原点，CA，CB所在直线分别为x轴、y轴，建立空间直角坐标系Cxyz，如图所示， 则C(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，1，0)，D(，－，0)， 因为AC⊥平面PBC，PB⊥BC，可设PB＝a(a>0)，所以P(0，1，a)， 则＝(，0，0)，＝(0，1，a)， 设平面PAC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即令y＝a， 则x＝0，z＝－1， 所以n＝(0，a，－1)，因为直线PB与平面PAC所成的角为30°， 所以sin 30°＝|cos 〈，n〉|＝＝， 解得a＝或a＝－(舍去)， 所以P(0，1，)，又D(，－，0)， 所以PD＝＝. 2.(2023·江苏宝应高三开学考试)如图，在四棱锥P­ABMN中，△PNM是边长为2的正三角形，AN⊥NP，AN∥BM，AN＝3，BM＝1，AB＝2，C，D分别是线段AB，NP的中点. (1)求证：平面ANMB⊥平面NMP； (2)求直线CD与平面ABP所成角的正弦值. (1)证明：如图，在四边形ABMN中，过B作BE∥MN交AN于E， 在△AEB中，得AE＝2，BE＝2，AB＝2， 则AB2＝AE2＋BE2，得AE⊥BE，∵BE∥MN，∴AN⊥NM， 又AN⊥NP，NM∩NP＝N，NM，NP⊂平面NMP，故AN⊥平面NMP， 又AN⊂平面ANMB，∴平面ANMB⊥平面NMP. (2)解：∵△PMN是等边三角形，∴DM⊥NP，又AN⊥平面MNP，以D为原点，DP，DM所在直线分别为x轴，y轴，以D与AP中点连线所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图， 可得D(0，0，0)，P(1，0，0)，N(－1，0，0)，M(0，，0)，A(－1，0，3)，B(0，，1)，C，＝(1，，－2)， 设平面ABP的一个法向量为n＝(x，y，z)，＝(2，0，－3)， 则得令x＝3，得y＝，z＝2，得n＝， 又＝，设直线CD与平面ABP所成角为θ， 则sin θ＝|cos 〈，n〉|＝＝＝， 故直线CD与平面ABP所成角的正弦值为. 分级二　知能探究 3.(2022·浙江卷)如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，DC∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F­DC­B的平面角为60°.设M，N分别为AE，BC的中点. (1)证明：FN⊥AD； (2)求直线BM与平面ADE所成角的正弦值. (1)证明：因为ABCD是直角梯形，∠BAD＝60°， 所以∠ABC＝90°，即AB⊥BC. 因为CDEF是直角梯形，∠CDE＝60°， 所以∠DCF＝90°，即DC⊥FC. 如图，在AB边上作AH＝2，连接DH，易得DH⊥AB， 在Rt△DAH中，因为∠DAH＝60°， 所以AD＝2AH＝4，DH＝2＝BC. 在DC边上作DG＝2，连接EG，易得GE⊥DC，在Rt△EGD中， 因为∠EDG＝60°，所以DE＝2DG＝4，EG＝2＝FC. 易知二面角F­DC­B的平面角为∠FCB＝60°， 又FC＝BC＝2，故△FBC为等边三角形. 又N为BC的中点，所以FN⊥BC. 因为DC⊥FC，DC⊥BC，FC∩BC＝C，FC，BC⊂平面BCF， 所以DC⊥平面BCF. 又FN⊂平面BCF，所以DC⊥FN. 因为BC⊥FN，BC∩DC＝C，BC，DC⊂平面ABCD，故FN⊥平面ABCD， 又AD⊂平面ABCD，故FN⊥AD. (2)解：如图，取AD的中点K，连接NK，以N为坐标原点， 以NK，NB，NF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则B(0，，0)，A(5，，0)，D(3，－，0)，E(1，0，3)，M(3，，). 设平面ADE的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则即 取x＝，则y＝－1，z＝，即n＝(，－1，). 设直线BM与平面ADE所成角为θ， 因为＝(3，－，)， 所以sin θ＝|cos 〈，n〉|＝＝. 4.(2022·新高考Ⅱ卷)如图，PO是三棱锥P­ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E是PB的中点. (1)证明：OE∥平面PAC； (2)若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C­AE­B的正弦值. (1)证明：如图，取AB的中点D，连接DP，DO，DE. 因为AP＝PB，所以PD⊥AB. 因为PO为三棱锥P­ABC的高， 所以PO⊥平面ABC， 因为AB⊂平面ABC，所以PO⊥AB. 又PO，PD⊂平面POD，且PO∩PD＝P， 所以AB⊥平面POD. 因为OD⊂平面POD，所以AB⊥OD， 又AB⊥AC，所以OD∥AC， 因为OD⊄平面PAC，AC⊂平面PAC， 所以OD∥平面PAC. 因为D，E分别为BA，BP的中点，所以DE∥PA， 因为DE⊄平面PAC，PA⊂平面PAC， 所以DE∥平面PAC. 又OD，DE⊂平面ODE，OD∩DE＝D， 所以平面ODE∥平面PAC. 又OE⊂平面ODE， 所以OE∥平面PAC. (2)解：连接OA，因为PO⊥平面ABC，OA，OB⊂平面ABC， 所以PO⊥OA，PO⊥OB， 所以OA＝OB＝＝＝4. 易得在△AOB中，∠OAB＝∠ABO＝30°， 所以OD＝OA sin 30°＝4×＝2， AB＝2AD＝2OA cos 30°＝2×4×＝4. 又∠ABC＝∠ABO＋∠CBO＝60°， 所以在Rt△ABC中，AC＝AB tan 60°＝4×＝12. 以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x轴，y轴，以过A且垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(0，12，0)，P(2，2，3)，E(3，1，)， 所以＝(3，1，)，＝(4，0，0)，＝(0，12，0). 设平面AEC的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令z＝2，则n＝(－1，0，2). 设平面AEB的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 则即 令z1＝2，则m＝(0，－3，2).所以|cos 〈n，m〉|＝＝. 设二面角C­AE­B的大小为θ，则sin θ＝＝. 所以二面角C­AE­B的正弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$