第8章 微点突破18 活用抛物线焦点弦的四个结论（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

微点突破18　活用抛物线焦点弦的四个结论 [对应学生用书P196] 设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1·x2＝；(2)y1·y2＝－p2；(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝(α是直线AB的倾斜角)；(4)＋＝为定值(F是抛物线的焦点). [例]过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(　　) A．4 B． C．5 D．6 B　解析：方法一(一般解法)　易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为y＝k(x－1). 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，则xA·xB＝1，① 因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得xA＋1＝2(xB＋1)，即xA＝2xB＋1，② 由①②解得xA＝2，xB＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝. 方法二(应用结论(3))　由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于点E， 设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，则|AB|＝3m，由抛物线的定义知|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，|AE|＝|AD|－|BC|＝m，所以cos θ＝＝，所以sin θ＝，所以sin2θ＝.故利用弦长公式|AB|＝＝. 方法三(应用结论(4))　因为|AF|＝2|BF|，所以＋＝＋＝＝＝1，解得|BF|＝，|AF|＝3，故|AB|＝|AF|＋|BF|＝. [训练]如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为(　　) A．5 B．6 C． D． C　解析：如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D， 由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AD|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x. 方法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，可得y1＝2，所以A(3，2)，又因为F(1，0)，所以直线AF的斜率k＝＝，所以直线AF的方程为y＝(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝，|AB|＝x1＋x2＋p＝. 方法二　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，又x1x2＝＝1，所以x2＝， 所以|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋＋2＝. 方法三　因为＋＝，|AF|＝4，所以|BF|＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$