课时跟踪检测(57) 双曲线（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

课时跟踪检测(57)　双曲线 基础强化练 1．(2024·江苏扬州中学模拟)双曲线y2－3x2＝3的离心率为(　　) A． B．2 C． D． D　解析：由题意知－x2＝1，故离心率为＝. 2．已知点F1(－3，0)和F2(3，0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为(　　) A．－＝1(y>0) B．－＝1(x>0) C．－＝1(y>0) D．－＝1(x>0) B　解析：由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为－＝1(x>0，a>0，b>0)，由题设知c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5，所以点P的轨迹方程为－＝1(x>0). 3．(2024·黑龙江哈尔滨模拟)已知焦点在x轴上的双曲线，其中一条渐近线方程为y＝2x，则双曲线的离心率为(　　) A． B． C．2 D． D　解析：设双曲线实轴为2a，虚轴为2b，焦距为2c.则c2＝a2＋b2，又由题可得＝2，则e2＝＝＝5，故e＝. 4．(2024·山东菏泽模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为，该双曲线过点P(4，3)，则该双曲线的右焦点F到渐近线的距离为(　　) A． B． C． D． D　解析：因为一条渐近线的倾斜角为，所以此渐近线的斜率为，所以＝，该渐近线为y＝x，即x－y＝0，因为该双曲线过点P(4，3)，所以－＝1，将b＝a代入得－＝1，得a2＝13，b2＝39，c2＝a2＋b2＝52，c＝2，所以F(2，0)，右焦点F到渐近线的距离为＝. 5．(多选)(2024·河北联考)已知双曲线C：－y2＝1(a>0)，若圆M：(x－2)2＋y2＝1与双曲线C的渐近线相切，则(　　) A．双曲线C的渐近线方程为x±y＝0 B．双曲线C的实轴长为6 C．双曲线C的离心率e＝ D．过双曲线C的右焦点的直线与圆M交于A，B两点，则弦长|AB|＝2 ACD　解析：由题意得双曲线C的渐近线方程为x±ay＝0，因为圆M的圆心为(2，0)，半径为1，所以圆心到渐近线的距离d＝＝1，得a＝(负值舍去)，所以双曲线C的渐近线方程为x±y＝0，故A正确；双曲线方程为－y2＝1，双曲线C的实轴长为2，故B错误；因为c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以双曲线的离心率e＝＝＝，故C正确；因为双曲线C的右焦点是圆M的圆心，所以弦长|AB|＝2，故D正确． 6．(2024·湖南益阳模拟)若m>0，双曲线C1：－＝1与双曲线C2：－＝1的离心率分别为e1，e2，则(　　) A．e1e2的最小值为 B．e1e2的最小值为 C．e1e2的最大值为 D．e1e2的最大值为 B　解析：由题意可得e＝，e＝，则(e1e2)2＝·＝＋＋，由基本不等式，(e1e2)2＝＋＋≥＋2＝，即e1e2≥，e1e2≤－(舍)当且仅当＝，即m＝4时等号成立，故e1e2的最小值为. 7．(2024·重庆统考)若双曲线的焦距为6，实轴长为2，则该双曲线的虚轴长为__________． 答案：4　解析：依题意可得2c＝6，2a＝2，则c＝3，a＝1，所以该双曲线的虚轴长为2b＝2＝4. 8．(2024·山东高三联考)如图，已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是C1上任意一点，△MF1F2的面积的最大值为，椭圆C1的焦距为2，则双曲线C2：－＝1的实轴长为________． 答案：4　解析：因为△MF1F2的面积为×2c×|yM|≤cb，由题意知所以故双曲线C2的方程为－＝1，则C2的实轴长为4. 9．(2024·云南保山期末)已知双曲线M：－＝1的焦距为4，焦点到渐近线的距离是1，则双曲线M的标准方程为__________． 答案：－y2＝1　解析：由题意得：双曲线的焦点坐标为(－2，0)，(2，0)，渐近线方程为y＝±x，即ay±bx＝0，则＝＝1，解得b＝1，则a2＝c2－b2＝4－1＝3，所以双曲线M的标准方程为－y2＝1. 10．(2024·安徽宣城期末)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，过点F2作倾斜角为θ的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，若|AB|＝|AF1|，且双曲线C的离心率为，则cos θ＝________． 答案：－　解析：如图，由双曲线的定义知，|AF1|－|AF2|＝2a，因为|AB|＝|AF1|，所以|AB|－|BF2|＝|AF1|－|BF2|＝|AF2|，即|AF1|－|AF2|＝|BF2|＝2a， 所以|BF1|＝|BF2|＋2a＝4a，在△BF1F2中，由余弦定理知，cos θ＝，所以cos θ＝＝，因为e＝＝，所以cos θ＝＝－. 能力提升练 11．(2024·湖南联考模拟)过双曲线x2－＝1的左焦点作直线l交双曲线于A，B两点，若实数λ使得|AB|＝λ的直线l恰有3条，则λ＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 C　解析：左支内最短的焦点弦＝＝4，又因为2a＝2，所以与左、右两支相交的焦点弦长≥2a＝2，因为实数λ使得|AB|＝λ的直线l恰有3条，根据双曲线对称性可知，其中一条与实轴垂直，另两条关于x轴对称．如图所示， 所以当λ＝4时，有3条直线满足题意． 12．(2024·江苏南京一中模拟)如图，已知F1，F2是双曲线－＝1的左、右焦点，P，Q为双曲线C上两点，满足F1P∥F2Q，且|F2Q|＝|F2P|＝3|F1P|，则双曲线C的离心率为(　　) A． B． C． D． D　解析：如图，延长QF2与双曲线交于点P′，因为F1P∥F2P′， 根据对称性可知|F1P|＝|F2P′|，设|F2P′|＝|F1P|＝t，则|F2P|＝|F2Q|＝3t，可得|F2P|－|F1P|＝2t＝2a，即t＝a，所以|P′Q|＝4t＝4a，则|QF1|＝|QF2|＋2a＝5a，|F1P′|＝|F2P|＝3a，即|P′Q|2＋|F1P′|2＝|QF1|2，可知∠F1P′Q＝∠F1PF2＝90°，在Rt△P′F1F2中，由勾股定理得|F2P′|2＋|F1P′|2＝|F1F2|2，即a2＋(3a)2＝4c2，解得e＝＝. 13．(2022·全国甲卷)记双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值______________. 答案：2(答案不唯一，(1，]内的任意值均可) 解析：双曲线C的渐近线方程为y＝±x，若直线y＝2x与双曲线C无公共点，则2≥，∴≤4， ∴e2＝＝1＋≤5，又∵e＞1， ∴e∈(1，]，∴填写(1，]内的任意值均可． 14．(2024·海安高级中学模拟)如图，F1，F2是平面上两点，|F1F2|＝10，图中的一系列圆是圆心分别为F1，F2的两组同心圆，每组同心圆的半径依次是1，2，3，…，点A，B，C分别是其中两圆的公共点．请写出一个圆锥曲线的离心率的值为________，使得此圆锥曲线可以同时满足： ①以F1，F2为焦点；②恰经过A，B，C中的两点． 答案：5(或)(答案不唯一)　解析：因为|F1F2|＝2c＝10，若过A，C两点，则由题意得|AF1|＋|AF2|＝|CF1|＋|CF2|＝12，此时离心率e＝＝＝＝.若过B，C两点，则由题意得|BF2|－|BF1|＝|CF1|－|CF2|＝2，此时离心率e＝＝＝＝5. 15．(2024·山东泰安模拟)已知直线l过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点F1，与双曲线的左右两支分别交于P，Q两点，若，其中∠PQF2∈[，π)，则的取值范围为________． 答案：[，2)　解析：如图， ∵，∴|QP|＝|QF2|，又|QF1|－|QF2|＝2a＝|PF1|，则有|PF1|＝2a，|PF2|＝4a，不妨假设∠F1PF2＝θ，则有∠F1QF2＝π－2(π－θ)∈[，π)，可得θ∈[，π)，在△F1PF2中，由余弦定理可知，cos θ＝∈(－1，－]，7a2≤c2<9a2，则6a2≤b2<8a2，即∈[，2). 素养养成练 16．(2023·辽宁锦州渤海大学附中模拟)已知一族双曲线En：x2－y2＝(n∈N*，且n≤2 023)，设直线x＝2与En在第一象限内的交点为An，由An向An的两条渐近线作垂线，垂足分别为Bn，Cn.记△AnBnCn面积为an，则a1＋a2＋…＋a2 023＝(　　) A． B． C． D． D　解析：由题意知，双曲线渐近线方程为y＝±x，即x＋y＝0，x－y＝0，两条渐近线互相垂直，设An(x0，y0)是双曲线上的点，则x－y＝，An(x0，y0)到两条渐近线的距离分别为|AnBn|＝，|AnCn|＝，由于AnBn⊥AnCn，所以△AnBnCn的面积为an＝|AnBn|·|AnCn|＝··＝(x－y)＝×，即an＝×(－)，所以a1＋a2＋…＋a2 023＝×[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1－)＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$