课时跟踪检测(17) 函数模型及其应用（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

课时跟踪检测(17)　函数模型及其应用 基础强化练 1．(2023·山西朔州模拟)为研究每平方米平均建筑费用与楼层数的关系，某开发商收集了一栋住宅楼在建筑过程中，建筑费用的相关信息，将总楼层数x与每平米平均建筑成本y(单位：万元)的数据整理成如图所示的散点图： 则下面四个回归方程类型中最适宜作为每平米平均建筑费用y和楼层数x的回归方程类型的是(　　) A．y＝a＋bx B．y＝a＋bex C．y＝a＋ D．y＝a＋bx2 C　解析：观察散点图，可知是一个单调递减的曲线图，结合选项函数的类型可得回归方程类型是反比例类型，故C正确．故选C. 2．(2024·湖北高三阶段练习)研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位：m/s)可以表示为v＝log3，其中Q表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则鲑鱼以1 m/s游动时的耗氧量是它静止时的耗氧量的(　　) A．7倍 B．8倍 C．9倍 D．10倍 C　解析：由v＝log3得Q＝100×32v.当v＝0时，Q0＝100，当v＝1时，Q1＝900，故＝9，故选C. 3．(2024·山东枣庄模拟)某种动物繁殖量y(单位：只)与时间x(单位：年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们将发展到(　　) A．200只 B．300只 C．400只 D．500只 A　解析：由题意，繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，又这种动物第2年有100只，即当x＝2时，y＝100，所以100＝alog3(2＋1)，解得a＝100，故y＝100log3(x＋1)，所以当x＝8时，y＝100log3(8＋1)＝100×2＝200.故选A. 4. (2023·广东广州模拟)如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是(　　) B　解析：函数h＝f(t)是关于t的减函数，故排除C，D，一开始，h随着时间的变化，变化缓慢，水排出超过一半时，h随着时间的变化，变化加快，故对应的图象为B，故选B. 5．(2024·山东烟台二中模拟)地震震级是对地震本身能量大小的相对量度，用M表示，M可通过地震面波质点运动最大值(A/T)max进行测定，计算公式如下：M＝lg (A/T)max＋1.66lg Δ＋3.5(其中Δ为震中距).若某地发生6.0级地震，测得(A/T)max＝0.001，则可以判断(参考数据：20.313≈1.24，50.313≈1.65)(　　) A．震中距在2 000～2 020之间 B．震中距在2 040～2 060之间 C.震中距在2 070～2 090之间 D．震中距在1 040～1 060之间 B　解析：依题意，6.0＝lg 0.001＋1.66lg Δ＋3.5，则5.5＝1.66lg Δ，则lg Δ＝≈3.313，故Δ≈103.313＝103×20.313×50.313≈1 000×1.24×1.65＝2 046.故选B. 6．(2024·重庆渝北阶段练习)如图，树人中学欲利用原有的墙(墙足够长)为背面，建造一间长方体形状的房屋作为体育器材室．房屋地面面积为18 m2，高度为3 m.若房屋侧面和正面每平方米的造价均为1 000元，屋顶的造价为6 000元，且不计房屋背面和地面的费用，则该房屋的最低总造价为(　　) A．40 000元 B．42 000元 C．45 000元 D．48 000元 B　解析：设房屋的长为x m，则宽为 m，则总造价y＝6 000＋1 000×(3x＋×2×3)，∴y＝6 000＋3 000×(x＋)≥6 000＋3 000×2＝42 000，当且仅当x＝，即x＝6时取等号．故当长等于6 m，宽等于3 m时，房屋的最低总造价为42 000元，故选B. 7．如图所示，学校要建造一面靠墙(墙足够长)的2个面积相同的矩形花圃，如果可供建造围墙的材料总长是60 m，要所建造的每个花圃的面积最大，则宽x应为________m. 答案：10　解析：设每个花圃的面积为y，则y＝x·＝－x2＋30x＝－(x－10)2＋150(0<x<20)，所以当x＝10时，y最大． 能力提升练 8. (多选)如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y＝at，关于下列说法正确的是(　　) A．浮萍每月的增长率为1 B．第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2 C．浮萍每月增加的面积都相等 D．若浮萍蔓延到2 m2，3 m2，6 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3 ABD　解析：因为图象过(1，2)，所以由2＝a1，解得a＝2，故原题中函数关系为y＝2t.对于A，所以每个月的增长率为＝2－1＝1，故A正确；对于B，当t＝5时，y＝25＝32>30，故B正确；对于C，第二个月比第一个月增加y2－y1＝22－2＝2，第三个月比第二个月增加y3－y2＝23－22＝4≠y2－y1，故C错误；对于D，由题意得2＝2t1，3＝2t2，6＝2t3，所以t1＝log22，t2＝log23，t3＝log26，所以t1＋t2＝log22＋log23＝log26＝t3，故D正确． 9．(2024·河北石家庄阶段练习)如图，某房地产开发公司计划在一栋楼区内建造一个矩形公园ABCD，公园由矩形的休闲区(阴影部分)A1B1C1D1和环公园人行道组成，已知休闲区A1B1C1D1的面积为1 000 m2，人行道的宽分别为4 m和10 m，设休闲区的长为x m. (1)求矩形ABCD所占面积S(单位：m2)关于x的函数解析式； (2)要使公园所占面积最小，问休闲区A1B1C1D1的长和宽应分别为多少m? 解：(1)因为休闲区的长为x m，休闲区A1B1C1D1的面积为1 000 m2，所以休闲区的宽为 m；从而矩形ABCD长与宽分别为(x＋20)m，(＋8)m， 因此矩形ABCD所占面积S＝(x＋20)(＋8)(x>0). (2)S＝(x＋20)(＋8)＝1160＋＋8x≥1 160＋2＝1 960，当且仅当＝8x，即x＝50时取等号，此时＝20.因此要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽应分别为50 m，20 m． 10．(2024·云南昆明阶段练习)某企业于2023年投入200万元研发资金，用于蔬菜的种植及开发，并计划今后十年内在此基础上，每年投入的资金比上一年增长10%. (1)写出第x年(2024年为第一年)该企业投入的资金数y(万元)与x的函数关系式，并指出函数的定义域； (2)该企业从第几年开始(2024年为第一年)，每年投入的资金数将超过400万元？ (参考数据lg 0.11≈－0.959，lg 1.1≈0.041，lg 11≈1.041，lg 2≈0.301) 解：(1)第一年投入的资金数为200(1＋10%)万元， 第二年投入的资金数为200(1＋10%)＋200(1＋10%)10%＝200(1＋10%)2万元， 第x年(2024年为第一年)该企业投入的资金数y(万元)与x的函数关系式y＝200(1＋10%)x万元，其定义域为{x∈N*|x≤10}． (2)由200(1＋10%)x>400可得1.1x>2， 即x>≈≈7.3， 即企业从第8年开始(2024年为第一年)，每年投入的资金数将超过400万元． 素养养成练 11．用水清洗果蔬上残留的农药．对用一定量的水清洗一次的效果做如下假定：用1个单位量的水可以洗掉果蔬上残留农药的一半，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在果蔬上．设用x单位量的水清洗一次以后，果蔬上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量的比值为函数φ(x). (1)试规定φ(0)的值，并解释其实际意义； (2)设φ(x)＝，现有m(m>0)单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问：用哪种方案清洗后果蔬上残留的农药比较少？说明理由． 解：(1)φ(0)＝1表示没有用水清洗时，果蔬上的农药量没有变化． (2)设清洗前果蔬上的农药量为1，那么用m单位量的水清洗1次后，残留的农药量为W1＝1×φ(m)＝，如果用单位量的水清洗1次后， 残留的农药量为1×φ()＝， 此后再用单位量的水清洗1次后，残留的农药量为 W2＝·φ()＝[]2＝， 由于W1－W2＝－＝， 当m>2时，W1>W2，此时把m单位的水平均分成2份后，清洗两次，残留的农药量较少； 当m＝2时，W1＝W2，此时两种清洗方式效果相同； 当0<m<2时，W1<W2，此时用m单位量的水清洗一次，残留的农药量较少． 学科网（北京）股份有限公司 $$