专题02 计数原理期末专项复习讲义-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

【高二下学期数学】【期末专项复习】【专题02】计数原理 【知识点回顾】 1.分类加法计数原理 1）完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n 种不同的方法. 2）推广：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法. 2.分步乘法计数原理 1）完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法. 2） 推广：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法,……,做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法. 3.分类加法计数原理与分步乘法计数原理的比较与选择 1）分类加法计数原理与分步乘法计数原理的比较 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 不同点 分类完成，类类相加 分步完成，步步相乘 每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件事(每步中的每一种方法都不能独立完成这件事) 相同点 两个计数原理都可以用来计算完成某件事的方法种数，最终的目的都是完成某件事 注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，步骤完整 4.排列、排列数与排列数公式 1）一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫 做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 2）从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同 元素中取出m个元素的排列数，用符号表示. 3） 排列数公式： =n(n-1)(n-2)…(n-m+1) (m，n∈N*，且m≤n). 5.全排列、阶乘的概念及相关结论 1）把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，记作. 2）正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示. 3） 阶乘的相关结论 (1)规定：0!=1. (2) =n!(n∈N*). (3) =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)= (n，m∈N*，且m≤n). 6.排列数及其运算 1） =n(n-1)…(n-m+1)= (m，n∈N*，且m≤n)； =n=m+. 7.组合与组合数 1）一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 2） 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同 元素中取出m个元素的组合数，用符号表示. 组合数还可以用符号 表示. 8.组合数公式与组合数性质 1）组合数公式： === (n，m∈N*，且m≤n). 2） 规定： =1. 3）组合数的性质： ==+. 9.二项式定理 1）概念：公式(a+b)n= an+ an-1b1+…+ an-kbk+…+ bn，n∈N*叫做二项式定理 2） (a+b)n的二项展开式：an+ b1+…+ an-kbk+…+ bn 3） 二项式系数：展开式中各项的系数 (k=0，1，2，…，n) 4） 通项：展开式的第k+1项：Tk+1= an-kbk 5） 备注：在二项式定理中，若设a=1，b=x，则得到公式： (1+x)n= + x+ x2+…+ xk+…+ xn 10.二项式系数的性质 1）对称性 与首末两段“等距离”的两个二项式系数相等。即 。 2）单峰性， 是单峰序列。 （1）当n为偶数时，中间一项的二项式系数 取得最大值。 （2）当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大。 3）二项式系数的和 【专项训练】 一、单选题 1．某学校5个班分别从3个景点中选择一处游览，则不同选法的种数是（    ） A． B． C． D． 2．有3个旅游爱好者分别从4个不同的景点中选择一处游览，则不同的选择方法数为（   ） A．81 B．64 C．24 D．12 3．如图，已知每条线路仅含一条通路，当一条电路从处到处接通时，不同的线路可以有（    ）    A．6条 B．7条 C．8条 D．9条 4．甲、乙、丙三名高一学生都已选择物理、化学两科作为自己的高考科目，三人独自决定从政治、历史、地理、生物、技术中任选一科作为自己的第三门高考选考科目，则不同的选法种数为（    ） A． B． C． D． 5．2024年4月22日至23日，习近平总书记在重庆市考察调研，某街道办派甲、乙等6名志愿者到三个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口两位引导员，若甲和乙不能去同一个路口，则不同的安排方案总数为（    ） A．10