第01讲 空间向量及其线性运算（三大题型归纳+易错+分层练）-2024年新高二数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019选修一）

第01讲 空间向量及其线性运算 目录 题型归纳 1 题型01 空间向量的有关概念 4 题型02 空间向量的加减运算 7 题型03 空间向量的数乘运算 9 易错归纳 12 分层练习 14 夯实基础 14 能力提升 22 创新拓展 28 一、空间向量的有关概念 1．在空间，把具有 和 的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的 或 空间向量用字母a，b，c，…表示，也用有向线段表示，有向线段的 表示空间向量的模，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为|a|或||. 2．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫做 ，记为0 单位向量 的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度 而方向 的向量，叫做a的相反向量，记为－a 共线向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线 ，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量 ，即对于任意向量a，都有0 a 相等向量 方向 且模 的向量叫做相等向量．在空间， 且 的有向线段表示同一向量或相等向量 注意点： (1)平面向量是一种特殊的空间向量． (2)两个空间向量相等的充要条件为长度相等，方向相同． (3)空间向量不能比较大小． (4)空间向量共线不具备传递性(非零向量除外)． 二、空间向量的加减运算 加法运算 三角形 法则 语言叙述 首尾顺次相接， 为和 图形叙述 平行四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形， 为和 图形叙述 减法运算 三角形 法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向 向量 图形叙述 加法运算 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 注意点： (1)求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，可以共起点． (2)三角形法则、平行四边形法则在空间向量中也适用． (3)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即＋＋＋…＋＝. (4)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即＋＋＋…＋＝0. 三、空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何意义 λ>0 λa与向量a的方向 λa的长度是a的长度的 倍 λ<0 λa与向量a的方向 λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 运算律 结合律 λ(μa)＝(λμ)a 分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb 注意点： (1)当λ＝0或a＝0时，λa＝0. (2)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度． (3)向量λa与向量a一定是共线向量． 题型01空间向量的有关概念 【解题策略】 空间向量的概念与平面向量的概念类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念 【典例分析】 例1　(1)下列关于空间向量的说法中正确的是(　　) A．单位向量都相等 B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足||>||，则> D．相等向量其方向必相同 (2)(多选)下列命题为真命题的是(　　) A．若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b B．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝ C．若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p D．空间中，若a∥b，b∥c，则a∥c 【变式演练】 【变式1】（多选）（2023全国·专题练习）下列命题为真命题的是（　　） A．若空间向量，满足，则 B．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝ C．若空间向量，，满足，，则 D．空间中，，，则 【变式2】（多选）（22-23广东惠州·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．若，则 C．若，满足，且，同向，则 D．对于任意向量，，必有 【变式3】　(多选)下列说法错误的是(　　) A．任意两个空间向量的模能比较大小 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 题型02 空间向量的加减运算 【解题策略】 　空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用