大题突破04 整式的乘除（八大题型）-2023-2024学年七年级数学下册同步备考系列卷（北师大版）

专题04 整式的乘除 整式的乘除包括整式的乘法和整式的除法两个主要部分。整式的乘法涉及幂的运算、单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式、平方差公式、完全平方公式等，其中幂的运算包括同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方等。整式的除法则包括单项式除以单项式、多项式除以单项式、单项式除以多项式、多项式除以多项式等，其中单项式除以单项式和多项式除以单项式是初中数学教材中专门涉及的内容。大题一般主要考察完全平方公式的变形的实际应用，和平方差公式的实际应用。 题型一：完全平方公式的应用 完全平方公式的变形包括以下几种： (a+b)²=a²+2ab+b²，两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍。 (a-b)²=a²-2ab+b²，两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍。 a²+b²=(a+b)²-2ab，完全平方和减去两倍的乘积项。 a²+b²=(a-b)²+2ab，完全平方差加上两倍的乘积项。 (a+b)²+(a-b)²=2(a²+b²)，两数和的平方加上两数差的平方等于两数平方和的两倍。 (a+b)²-(a-b)²=4ab，两数和的平方减去两数差的平方等于四倍的乘积项。 1．阅读理解： 若x满足，求的值． 解：设，，则，， 所以 解决问题 （1）若x满足，求的值； （2）若x满足，求的值； （3）如图，正方形ABCD的边长为x，AE=1，CG=2，长方形EFGD的面积是5，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）．    2．乘法公式的探究及应用． 数学活动课上，老师准备了若干张如图所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形，并用一张种纸片，一张种纸片，两张种纸片拼成了如图所示的大正方形． (1)请用两种不同的方法求图中大正方形的面积：（用含的式子表示） 方法： ； 方法： ． (2)观察图，请写出代数式，，之间的等量关系式 ； (3)根据（）中的等量关系，解决如下问题： 已知，，求的值； 已知，求的值． 3．数学活动课上，老师准备了若干张如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你写出下列三个代数式：之间的等量关系 (2)若要拼出一个面积为的矩形，则需要号卡片1张，号卡片2张，号卡片 张． (3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，求的值； ②已知：，求的值． 4．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．    (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和． 方法1：___________； 方法2：___________． (2)请你直接写出三个代数式：，，之间的等量关系． 根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： (3)已知，，求___________． (4)已知，求的值． 5．用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些不规则图形的面积．    (1)如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______； (2)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的大正方形，试用不同形式表示这个大正方形的面积，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为______； (3)利用（2）中的结论解决以下问题：已知，，求的值； (4)如图3，由两个边长分别为m，n的正方形拼在一起，点B，C，E在同一直线上，连接BD、BF，若，，请利用（1）中的结论，求图3中阴影部分的面积． 6．阅读理解： 若满足，求的值． 解：设，， 则，． ∴ ； 类比探究： （1）若满足，求的值． （2）若满足，求的值．友情提示（2）中的可通过逆用积的乘方公式变成． （3）若满足，求的值． 解决问题： （4）如图，正方形和长方形重叠，重叠部分是长方形其面积是，分别延长、交和于、两点，构成的四边形和都是正方形，四边形是长方形设，，，，延长至，使，延长至，使，过点、作、垂线，两垂线交于点，求正方形的面积（结果是一个具体的数值）    7．通过第14章的学习，我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式：如图1可以得到；如图2可以得到：；现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)【探索发现】根据图中条件，猜想并验证与之间的关系