第2章 函数的概念与基本初等函数 易错小练-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习（人教B版2019）

见此图标围然信/料骨扫码添加智能学习伙伴，突破一轮复习难点。 第二章 函数概念与基本初等函数 易错点1应用换元法求函数的解析式忽略新 [错因分析]对字母a的讨论不全而造成了漏解， 元的取值范围 实际上应先对3a一1与1的大小进行探讨.即参数 【例1】已知f(x-1)=3-x,则f(x) 。的分界点应该有2个a=号或a=1,所以在分段 [错解]令x-I=t,则x=t+1,所以f(t)=3 函数中若出现字母且其取值不明确时，应先进行分 -(2+1)=2-1, 类讨论 即有f(x)=2-x [正解] ①当a<号时a)=a-11,a) [错因分析]本例的错误是由于忽视了已知条件 中“”作用的对象“、工一工”是有范围限制的，利用 =3(3a-1)-1=9a-4,21=21,显然f(f(a) 换元法求函数的解析式时，一定要注意换元后新元 ≠2m: 的限制条件。 @当号≤a<1时fa)=8a-1>1,ff(a) [正解]令√x一1=t,则≥0，且x=+1,所以 f(t)=3-(1+1)=2-(t≥0)，即f(x)=2-x 2-,24=2-l,故f(f(a)=2”； (x≥0). ③当a≥1时，f(a)=2>1,f(f(a)=2",2 [答案]f(x)=2-x(x≥0) 2,故f(f(a)=2a 易错点击 利用换元法求函数解析式时，一定要注意保持换元前后自 综合①②③知。≥号 变量的取值范周。 [答案]C 见固练习 易错点击 已知f(Wx+1)=x+2x,则f(x)= 求分段函数应注意的问题：在求分段函数的值f(x)时， A.x2-1(x≥1D B.x2-1 首先要判断，属于定义城的哪个子集，然后再代人相应 C.x2+1(.x≥1) D.x+1 的关系式：分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各 [解析]令t=√反+1.则x=(1一1)，所以f(t)= 关系式的取值范围的并集。 (1-1)+2(1-1)=r-1(1≥1)，所以f(x)=x2-1 (x≥1).故选A 现固练习 [答案]A (a-3)xr十5，x≤1， 易错点2忽略分段函数中参数的范围致错 已知函数f(x）= 24.x>] 是 3x-1.x<1, 【例2】设函数∫(x)= 则满足 2,x≥1， (一∞，+∞)上的减函数，则4的取值范围是( f(f(a)=2a'的a的取值范围是 A.(0,3) B.(0,3] A[层 B.[0,1] C.(0,2) D.(0,2] c[3+) [解析]：f(x)为R上的减函数，x≤1时，f(x) D.[1,+o) 单调递减，即a一3<0，则a<3:x>1时，f(x)单调递 [错解]当a<1时，f(a)=3a-1,此时f(f(a) =3(3a-1)-1=9a-4,2=2-1,方程无解。 减，即a>0,且(a-3)X1+5≥4，即a<2, 当a≥1时，f(a)=2">1,此时f(f(a)=2”,2 综上，a的取值范围是0<a≤2，故选D. =2“,方程恒成立，故选D. [答案]D 见比闲标甄微信/料音扫码添加智能学习伙伴，突破一轮复习难点。 易错点3混淆函数的单调区间和在某区间上 [错解]1)=(-)·√写-F. 单调 f(一x)=√(-x)-1=f(x),.f(x)为偶 【例3】若函数f(x)=x+2ax十4的单调递减区间 是（一o∞，2]，则实数a的取值范围是 函数 [错解]函数f(x)的图象的对称轴为直线x= (2)f(-x)= /1-(-)1-x -x+21-2x-21-2 一a,由于函数在区间（一∞，2]上单调递减，因此 :f(-x)≠一f(x)且f(-x)≠f(x),∴.f(x)为非 -a≥2，即a≤-2. 奇非偶函数. [错因分析]错解中把单调区间误认为是在区间 [错因分析]要判断函数的奇偶性，必须先求函数 上单调. 的定义域（看定义域是否关于原点对称）.有时还需 [正解]因为函数f(x)的单调递减区间为（一©， 要在定义域制约条件下将(x)进行变形，以利于 2],且函数f(x)的图象的对称轴为直线x=一a, 判断其奇偶性， 所以有-a=2,即a=一2. [答案]a=-2 [正解] （D由>0得xx>1或x≤-1山. 易错点击 ,f(x)的定义域关于原点不对称，，f(x)为非奇 单湖区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是 非偶函数， 1,指的是函数递减的最大范用为区间工而两数在某一区 1-x≥0， 间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间.所以我 (2)由 得一1≤x≤1且x≠0，定义 |x+21-2≠0 们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条 件的含义， 域关于原点对称.又一1≤x≤1且x≠0时，f(x)= 见固练习 -x- x+2-2 已知函数f(.x)=x一kx一6在[2,8]上是单调 :f-==D=工=-fx. 函数，则k的取值范围是 -t A.(4,16) B.[4,16] f(x)为奇函数， C.[16,+∞) D.(-∞，4]U[16,+o∞) 易错点击 [解析]根据题意，函数f(x)=x一kx一6的对称 判断函数的奇偶性，应先求函数的定义域，奇函数、偶函数 的定义域应关于原点对称，不关于原点对称的既不是奇函 轴为x=合，若f(x)在[2,8]上是单调函数，必有会 数也不是偶函数.再找f(x)与f(一x)的关系，若f(一x) ≤2或夸≥8，解得≤4或≥16，即k的取值范阴是 =f(x),则函数f(x)为偶函数：若f(一x)=一f(x),则函 数f(为奇函数. (-∞，4]U[16,十∞)，故选D. 风固练习 [答案]D 易错点4判断函数的奇偶性忽略函数的定 下列函数是奇函数的是 A.y=c0sx十x B.y=rsin 义域 【例4】判断下列函数的奇偶性： C.y=ln(√x+1-x) D.y=e'+e [解析]，cosx十x≠cos(-x)-x,cosx十x≠ 1-x 1z+2-2 一[cos(一x)一x],.A为非奇非偶函数 见此图标甄然信/林音扫码添加智能学习伙伴，突破一轮复习难点。 r'sin x=[(-x)sin(-x)],x∈R,∴.B为偶函数. 现固练习 :√+I-x>x-x≥0，∴x∈k 函数f(x)=√3十2x一x的单调递增区间是 :ln(√+1-x)+ln(√(-x)+1-(-x)=ln1 () A.(-∞，1] B.[1,+o∞) =0,C为奇函数. C.[1,3] D.[-1,1] ,e'十e=er十e-,x∈R,∴D为偶函数，故 [解析]设=3+2x一x2,侧y=√. 选C. 由3+2.x-x≥0，解得-1≤x≤3. [答案]C 由于=3+2x-x2在[-1,1]上递增，在(1,3]上递 易错点5 求函数的单调区间忽略函数的定 减，又y=,在定义域上递增 义域 可得f(x)=√3+2x一x的单调递增区间 【例5】函数f(x)=log4(x2一4.x)的单调递减区 为[-1,1]. 间为 [答案]D A.(-∞，2) B.(2,+o∞) 易错点6不理解复合函数的意义致错 【例6】已知函数y=log,(x”-x一a)的值域为R,求 C.(-oo,0) D.(4,十co) 实数a的取值范围. [错解]设函数4=x一4x,可知为二次函数，且 [错解]设f(x)=x2一x-a.则y=log:f(x).依 开口向上，则函数u=x2一4.x在区间（一∞，2）内为 题意，f(x)>0恒成立，.△=1十4a<0,.a< 减函数，在区间(2，十©○)内为增函数 ，即a的取值范围为（一∞，一） 而对数函数y=0g44在(0，十)上为减函数， 由复合函数单调性“同增异减”可知，函数∫(x)= =x) log4(x2-4.x)的单调递减区间为(2，十o∞). [正解]解不等式x2-4x>0,解得x<0或r>4, 所以函数y=f(x)的定义域为（一∞，0）U [错因分析]以上解法错误在于没有准确地理解 (4,十0∞). y=log(x一x一4)值域为R的含义.根据对数函 设函数u=x2一4x>0,可知为二次函数，且开口向 数的图象和性质，我们知道，当且仅当f(x)=x一 上，则函数u=x2一4x在区间（一∞，0）内为减函 x一a的值能够取遍一切正实数时，y= log(x一r一a)的值域才为R.而当△<0时，f(.x) 数，在区间(4，十∞)内为增函数. >0恒成立，仅仅说明函数定义域为R,而f(x)不 而对数函数y=10g1u在(0，十∞)上为减函数， 一定能取遍一切正实数（一个不漏），要使f(x)能 由复合函数单调性“同增异减”可知，函数f(x)= 取遍一切正实数，作为二次函数，f(x)图象应与x log4(.x2一4.x)的单调递减区间为(4.十o∞). 轴有交点（但此时定义域不再为R). [答案]D [正解]要使函数y=log(x2一x一a)的值域为 易错点击 R,应使f(x)=x一x一a能取遍一切正实数，要使 求复合函数的单调区间时，除了要注意两个函数的单调 f(x)=x2一x一a能取遍一切正实数，应有A=1十 性，遵循“同增异减”原则外，还要特别注意函数的定义域， 4如≥0，a>-子所求a的取值范围 要在函数的定义域内求单调区间，离开了函数的定义域讨 论函数的性质是没有意义的. 为[-}+ 6 见此图标跟微信/料音扫码添加智能学习伙伴，突破一轮复习难点。 易籍流击 域.通过作图（图略），可知函数f(x)=x十的图 对于复合函数来说，内函数的值城就是外函数的定义域， 而外函数的值域则依赖于内函数的值域来确定， 象不是连续不断的，而零点存在性定理不能在包含 风固练习 间断点的区间上使用。 [正解]函数f(x)的定义域为{xx≠0}，当x>0 设函数f(x)=2-√+4，g(x)=ln(a.x2-4.x 时，f(x)>0:当x<0时，f(x)<0.所以函数f(.x) 十1)，若对任意的x1∈R,都存在实数2，使得(x) 没有零点，故选A. =g(x,)成立，则实数a的取值范围为 [答案]A A.(-00,4] B.(0,4] 易错点击 C.[0,4] D.(0.2] 零点存在性定理成立的条件缺一不可，如果其中一个条件 [解析]设g(x)的值域为A,而f(x)的值域为 不成立，那么就不能使用该定理。 (一∞，0]，由已知有（一∞，0]二A,所以(0,1是y= 巩固练习 a.x2-4x十1值域的子集. x十3r0. 当4<0时，y开口向下且对称轴x=2<0,又yl,。 若函数f(x)= 在其定义域内 d 34x十a20 =1,显然(0,1门是y值域上的子集，符合题设： 只有一个零点，则实数a的取值范围为 () 当a=0时，y=一4x+1,显然(0,1]是y值域上的子 集，符合题设： A2号 B.ai 当4>0时，y开口向上且对称轴x=2>0,此时只需 16 C.a73 n≥9 △=16-4a≥0，即a≤4时，(0,1门是y值城上的子集. [解析] 当x≤0时，则f(x)=x十3在（一o∞，0]上 综上，a≤4. 单调递增，且f0)=1>0,(-1)=-号<0， [答案]A 易错点7忽略函数零点存在的条件 ∴.f(x)在（一o∞，0]内存在唯一零点 【例7】函数f(x)=x+1的零点个数为 ( 当x>0时x)=号-4十a无零点， f(x)=x-4,令f(x)>0,则x>2或x<-2(舍 A.0 B.1 C.2 D.3 去)，f(x)在(0,2]上单调递减，在(2，十∞)上单洞 [错解]因为f(一1)=一2<0，f(1)=2>0,所以 函数f(x)有一个零点，故选B. 递增，则≥2)-a一9>0，即。>9放选C [错因分析]函数的定义域决定了函数的一切性 :[答案]C 质，分析函数的有关问题时必须先求出函数的定义