第4章 第2讲 抛体运动-【创新教程】2025年高考物理总复习大一轮课件PPT（人教版）

第2讲 抛体运动 第四章 曲线运动 万有引力与航天 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 课前 双基落实 课堂 师生互动 01 02 提升 学科素养 03 课后 素养提能 04 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 课前 双基落实 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 课堂 师生互动 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 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物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 提升 学科素养 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第四章 曲线运动 万有引力与航天 高考总复习 物理（新教材） [知识点一]　平抛运动　 1．定义 将物体以一定的初速度沿　水平方向　抛出，物体只在　重力　作用下所做的运动． 2．性质 加速度为　重力加速度　的匀变速曲线运动，轨迹是　抛物线　. 3．条件：v0≠0，沿　水平方向　；只受　重力　作用． [知识点二]　平抛运动的基本规律　 1．研究方法 平抛运动可以分解为水平方向的　匀速直线　运动和竖直方向的　自由落体　运动． 2．基本规律 (1)位移关系 (2)速度关系 [知识点三]　斜抛运动　 1．定义：将物体以初速度v0　斜向上方　或斜向下方抛出，物体只在　重力　作用下的运动． 2．性质：斜抛运动是加速度为g的　匀变速　曲线运动，运动轨迹是　抛物线　. 3．研究方法：运动的合成与分解 (1)水平方向：　匀速　直线运动； (2)竖直方向：　匀变速　直线运动． 4．基本规律(以斜上抛运动为例，如图所示) (1)水平方向：v0x＝　v0cos θ　，F合x＝0； (2)竖直方向：v0y＝　v0sin θ　，F合y＝mg. 一、思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) 1．以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动．(×) 2．平抛运动的轨迹是抛物线，速度方向时刻变化，加速度方向也可能时刻变化．(×) 3．两个做平抛运动的物体，初速度大的落地时速度大．(×) 4．做平抛运动的物体初速度越大，在空中运动的时间越短．(×) 5．无论初速度是斜向上方还是斜向下方的斜抛运动都是匀变速曲线运动．(√) 二、走进教材 1.(人教版必修第二册 P13第1题改编)某同学用如图所示的装置研究平抛运动．在实验中，小球每次都从斜面上的同一高度下落，而放有复写纸和白纸的木板离水平桌面的高度依次调为h、2h、3h，根据小球撞击木板时在白纸上留下的点迹，可得小球平抛时的水平位移分别为x1、x2、x3，已知平抛运动在竖直方向的运动规律与自由落体运动相同，则(　　) A．若x1∶x2∶x3＝1∶2∶3，则能说明小球在水平方向做匀速直线运动 B．若x1∶x2∶x3＝1∶eq \r(2)∶eq \r(3)，则能说明小球在水平方向做匀速直线运动 C．若x1∶x2∶x3＝1∶4∶9，则能说明小球在水平方向做匀速直线运动 D．若x3－x2＝x2－x1，则能说明小球在水平方向做匀速直线运动 解析：B　[已知平抛运动在竖直方向的运动规律与自由落体运动相同，根据自由落体运动规律有h＝eq \f(1,2)gt2，得t＝eq \r(\f(2h,g))，则下降高度分别为h、2h、3h时，所用的时间之比为1∶eq \r(2)∶eq \r(3)，则当水平位移之比为1∶eq \r(2)∶eq \r(3)时，说明小球在水平方向上做匀速直线运动，选项B正确．] 2．(人教版必修第二册 P17例2改编)无人机在距离水平地面高度h处，以速度v0水平匀速飞行并释放一包裹，不计空气阻力，重力加速度为g. (1)求包裹释放点到落地点的水平距离x； (2)求包裹落地时的速度大小v； (3)以释放点为坐标原点，初速度方向为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立平面直角坐标系，写出该包裹运动的轨迹方程． 解析：(1)包裹脱离无人机后做平抛运动，在竖直方向做自由落体运动，则有 h＝eq \f(1,2)gt2，解得t＝eq \r(\f(2h,g))， 水平方向上做匀速直线运动，所以水平距离x＝v0t＝v0eq \r(\f(2h,g)). (2)包裹落地时，竖直方向速度vy＝gt＝eq \r(2gh)， 落地时速度v＝eq \r(v\o\al(2,0)＋v\o\al(2,y))＝eq \r(v\o\al(2,0)＋2gh)， (3)包裹做平抛运动，分解位移，水平方向上有x＝v0t′， 竖直方向上有y＝eq \f(1,2)gt′2， 联立上式解得包裹的轨迹方程为y＝eq \f(g,2v\o\al(2,0))x2. 答案：(1)v0eq \r(\f(2h,g))　(2)eq \r(v\o\al(2,0)＋2gh)　(3)y＝eq \f(g,2v\o\al(2,0))x2 3．(人教版必修第二册 P20第7题改编)如图所示，跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从O点水平飞出，经过3.0 s落到斜坡上的A点．已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，运动员的质量m＝50 kg.不计空气阻力(sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80，g取10 m/s2)．求： (1)A点与O点的距离L； (2)运动员离开O点时的速度大小． 解析：(1)运动员在竖直方向做自由落体运动，有 y＝Lsin 37°＝eq \f(1,2)gt2. 得A点与O点的距离L＝eq \f(gt2,2sin 37°)＝75 m. (2)设运动员离开O点时的速度大小为v0，运动员在水平方向做匀速直线运动，即x＝Lcos 37°＝v0t，解得v0＝eq \f(Lcos 37°,t)＝20 m/s. 答案：(1)75 m　(2)20 m/s 考点一　平抛运动规律的基本应用 1．飞行时间：由t＝eq \r(\f(2h,g))知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关． 2．水平射程：x＝v0t＝v0eq \r(\f(2h,g))，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关． 3．落地速度：v＝eq \r(v\o\al(2,x)＋v\o\al(2,y))＝eq \r(v\o\al(2,0)＋2gh)，以θ表示落地速度与x轴正方向的夹角，有tan θ＝eq \f(vy,vx)＝eq \f(\r(2gh),v0)，所以落地速度只与初速度v0和下落高度h有关． 4．速度改变量：物体在任意相等时间内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示． [典例1]　(2022·全国甲卷)将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔0.05 s发出一次闪光．某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示．图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3个影像，所标出的两个线段的长度s1和s2之比为3∶7.重力加速度大小取g＝10 m/s2，忽略空气阻力．求在抛出瞬间小球速度的大小． 解析：设s1对应的水平位移为x，对应的竖直位移为y，则根据平抛运动的特点可知，s2对应的水平位移也为x，对应的竖直位移为3y 有y＝eq \f(1,2)g(4T)2＝0.2 m， s1＝eq \r(x2＋y2)， s2＝eq \r(x2＋3y2)， eq \f(s1,s2)＝eq \f(3,7)， 解得x＝eq \r(0.032) m 抛出瞬间小球的速度大小为v0＝eq \f(x,4T)， 解得v0＝eq \f(2\r(5),5) m/s. 答案：eq \f(2\r(5),5) m/s 1．(2023·浙江6月选考，3)铅球被水平推出后的运动过程中，不计空气阻力，下列关于铅球在空中运动时的加速度大小a、速度大小v、动能Ek和机械能E随运动时间t的变化关系中，正确的是(　　) 解析：D　[A.由于不计空气阻力，铅球被水平推出后只受重力作用，加速度等于重力加速度，不随时间改变，故A错误；B.铅球被水平推出后做平抛运动，竖直方向有vy＝gt， 则抛出后速度大小为v＝eq \r(v\o\al(2,0)＋gt2)， 可知速度大小与时间不是一次函数关系，故B错误；C.铅球抛出后的动能Ek＝eq \f(1,2)mv2＝eq \f(1,2)m[veq \o\al(2,0)＋(gt)2]，可知动能与时间不是一次函数关系，故C错误；D.铅球水平抛出后由于忽略空气阻力，所以抛出后铅球机械能守恒，故D正确．故选D.] 2. (多选)如图为自动喷水装置的示意图．喷头高度为H，喷水速度为v，若要增大喷洒距离L，下列方法中可行的有(　　) A．减小喷水的速度v　 B．增大喷水的速度v C．减小喷头的高度H D．增大喷头的高度H 解析：BD　[根据H＝eq \f(1,2)gt2得t＝ eq \r(\f(2H,g))，则喷洒的距离L＝vt＝v eq \r(\f(2H,g))，则增大喷水的速度，增大喷头的高度可以增大喷洒距离，故B、D正确，A、C错误．] 3．如图所示，两玩具枪的枪口水平正对，A、B两小球以相同大小的速度同时被水平射出，经过时间t在空中相遇．若调节两玩具枪使两球射出枪口的速度都减为原来的一半，则两球从射出到相遇经过的时间为(　　 ) A．t　 B．eq \f(t,2)　　C．2t　　 D.eq \f(\r(2),2) t 解析：C　[根据题意可知，A、B两小球在水平方向上始终做匀速直线运动，则有x＝(vA＋vB)t，若调节两玩具枪使两球射出枪口的速度都减为原来的一半，则时间变为2t.故选C.] 　化曲为直思想求解(类)平抛运动 (1)求解(类)平抛运动的基本思想是将平抛运动分解为两个直线运动，即水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动．此类问题一般画出合位移与两个分位移、合速度与两个分速度的矢量分解图，依据三角形知识即可求解． (2)在解题过程中要注意：两个分运动具有等时性、独立性，即时间相等、独立进行互不影响．分运动的时间就是合运动的时间，两个分运动与合运动遵循平行四边形定则． 　(多选)在水平路面上做匀速直线运动的小车上有一个固定的竖直杆，其上的三个光滑水平支架上有三个完全相同的小球A、B、C，它们离地的高度分别为3h、2h和h.当小车遇到障碍物M时，立即停下来，三个小球同时从支架上水平抛出，落到水平路面上的第一落点分别是a、b、c点，如图所示．不计空气阻力，则下列说法正确的是(　　) A．三个小球从平抛至落地的时间之比tA∶tB∶tC＝eq \r(3)∶eq \r(2)∶1 B．三个小球从平抛至落地的时间之比tA∶tB∶tC＝3∶2∶1 C．三个小球落点的间距之比L1∶L2＝(eq \r(3)－eq \r(2))∶(eq \r(2)－1) D．三个小球落点的间距之比L1∶L2＝1∶1 解析：AC　[由题意可知，A、B、C三个小球下落高度之比为3∶2∶1，由于竖直方向上做自由落体运动，由t＝eq \r(\f(2h,g))可知，三个小球从平抛至落地的时间之比为eq \r(3)∶eq \r(2)∶1，A正确，B错误；三个小球在水平方向上做速度相同的匀速直线运动，可知A、B、C三个小球的水平位移之比为eq \r(3)∶eq \r(2)∶1，因此由题图可知L1∶L2＝(eq \r(3)－eq \r(2))∶(eq \r(2)－1)，C正确，D错误．] 考点二　斜抛运动 1．斜抛运动的条件及性质 (1)条件： ①只受重力． ②初速度方向斜向上或斜向下． (2)性质：匀变速曲线运动． 2．抛体运动的规律 (1)共同点：物体均只受重力作用，加速度均为重力加速度g，且保持不变． (2)不同点：竖直方向上的抛体运动为匀变速直线运动，平抛、斜抛为匀变速曲线运动． (3)研究方法：对平抛、斜抛运动，通过分解将其转化为直线运动，根据分运动遵循的规律列方程，要注意区分合运动与分运动． [典例2]　(2023·湖南卷，2)如图(a)，我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种．某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图(b)所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上．忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是(　　) A．谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度 B．谷粒2在最高点的速度小于v1 C．两谷粒从O到P的运动时间相等 D．两谷粒从O到P的平均速度相等 [审题指导]　(1)本题中两谷粒水平位移相同，可根据运动时间比较水平分速度． (2)谷粒2在最高点的速度就是水平速度，从最高点到P点竖直分运动是自由落体运动，下落高度更大，与谷粒1比较可看出t1＜t2. 解析：B　[A.抛出的两谷粒在空中均仅受重力作用，加速度均为重力加速度，故谷粒1的加速度等于谷粒2的加速度，A错误；C.谷粒2做斜向上抛运动，谷粒1做平抛运动，均从O点运动到P点，故位移相同．在竖直方向上谷粒2做竖直上抛运动，谷粒1做自由落体运动，竖直方向上位移相同，故谷粒2运动时间较长，C错误；B.谷粒2做斜抛运动，水平方向上为匀速直线运动，故运动到最高点的速度即为水平方向上的分速度．与谷粒1比较水平位移相同，但运动时间较长，故谷粒 2水平方向上的速度较小即最高点的速度小于v1，B正确；D.两谷粒从O点运动到P点的位移相同，运动时间不同，故平均速度不相等，谷粒1的平均速度大于谷粒2的平均速度，D错误．故选B.] 1．在某次跳投表演中，篮球以与水平面成45°角的方向落入篮圈，设投球点和篮圈正好在同一水平面上．已知投球点到篮圈的距离为10 m，不考虑空气阻力，篮球、篮圈均可视为质点，g取10 m/s2，则篮球投出后的最高点相对篮圈的竖直高度为(　　) A．2.5 m　 B．5 m　　C．7.5 m　 D．10 m 解析：A　[设篮球落入篮圈时的速度为v0，投球点距篮圈的距离为s，篮球投出后的最高点相对篮圈的竖直高度为h，篮球抛出后经时间t落入篮圈，根据运动的分解及运动学规律可知，在水平方向上有v0cos 45°·t＝s，在竖直方向上有(v0sin 45°)2＝2gh，v0sin 45°＝eq \f(gt,2)，解得h＝2.5 m，选项A正确．] 2．由消防带水龙头的喷嘴喷出水的流量是0.28 m3/min，水离开喷口时的速度大小为16eq \r(3) m/s，方向与水平面夹角为60°，在最高处正好到达着火位置，忽略空气阻力，则空中水柱的高度和水量分别是(重力加速度g取10 m/s2)(　　) A．28.8 m　1.12×10－2 m3 B．28.8 m　0.672 m3 C．38.4 m　1.29×10－2 m3 D．38.4 m　0.776 m3 解析：A　[水离开喷口后做斜抛运动，将运动沿水平方向和竖直方向分解，在竖直方向上： vy＝vsin θ，代入数据可得vy＝24 m/s， 故水柱能上升的高度h＝eq \f(v\o\al(2,y),2g)＝28.8 m； 水从喷出到最高处着火位置所用的时间t＝eq \f(vy,g) 代入数据可得t＝2.4 s， 故空中水柱的水量为V＝eq \f(0.28,60)×2.4 m3＝1.12×10－2 m3，A项正确．] 　斜抛运动的对称性 (1)时间对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的上升时间等于下降时间． (2)速度对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的两点速度大小相等． (3)轨迹对称：斜抛运动的轨迹相对于过最高点的竖直线对称． (多选)以相同的初速率，不同的抛射角同时抛出三个小球，A、B、C三球在空中的运动轨迹如图所示，下列几句话中正确的是(不计空气阻力)(　　) A．A、B、C三球在运动过程中，加速度都相同 B．B球的射程最远，所以最迟落地 C．A球的射高最大，所以最迟落地 D．A、C两球的射程相等，两球的抛射角互为余角，即θA＋θC＝eq \f(π,2) 解析：ACD　[A、B、C三球在运动过程中，只受到重力作用，故具有相同的加速度g，A项正确．斜抛运动可以分成上升和下落两个过程，下落过程就是平抛运动，根据平抛物体在空中运动的时间只取决于 抛出点的高度可知，A球从抛物线顶点落至地面所需的时间最长，再由 对称性可知，斜抛物体上升和下落所需的时间是相等的，所以A球最迟落地，故B项错误，C项正确．已知A、C两球的射程相等，根据射程公式x＝eq \f(v\o\al(2,0)sin 2θ,g)可知sin 2θA＝sin 2θC，在θA≠θC的情况下，必有θA＋θC＝eq \f(π,2)才能使等式成立，故D项正确．] 考点三　抛体运动中的临界、极值问题 　在平抛运动中，由于时间由高度决定，水平位移由高度和初速度决定，因而在越过障碍物时，有可能会出现恰好过去或恰好过不去的临界状态，还会出现运动位移的极值等情况． 1．临界点的确定 (1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点． (2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点． (3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值点，这些极值点也往往是临界点． 2．求解平抛运动临界问题的一般思路 (1)找出临界状态对应的临界条件． (2)分解速度或位移． (3)若有必要，画出临界轨迹． [典例3]　(2023·新课标卷，24)将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”．要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ.为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出，抛出速度的最小值为多少？(不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g) [解析]　石子做平抛运动，落到水面时竖直方向的速度为vy，由veq \o\al(2,y)＝2gh，得vy＝eq \r(2gh) 又由题意可知，速度夹角为θ，有eq \f(vy,v0)≤tan θ，则初速度v0≥eq \f(\r(2gh),tan θ)，即抛出时的最小速度为eq \f(\r(2gh),tan θ). [答案]　抛出时的最小速度为eq \f(\r(2gh),tan θ) ◆[迁移1]　运用极端分析法求解平抛运动中的临界、极值问题　 1.如图所示，排球场的长为18 m，球网的高度为2 m．运动员站在离网3 m远的线上，正对球网竖直跳起，把球垂直于网水平击出．(不计空气阻力，g取10 m/s2) (1)设击球点的高度为2.5 m，问球被水平击出时的速度在什么范围内才能使球既不触网也不出界？ (2)若击球点的高度小于某个值，那么无论球被水平击出时的速度为多大，球不是触网就是出界，试求出此高度． 解析：(1)如图甲所示，排球恰不触网时其运动轨迹为Ⅰ，排球恰不出界时其运动轨迹为Ⅱ，根据平抛运动的规律，由x＝v0t和h＝eq \f(1,2)gt2可得，当排球恰不触网时有 图甲 x1＝3 m，x1＝v1t1① h1＝2.5 m－2 m＝0.5 m，h1＝eq \f(1,2)gt1′2② 由①②可得v1＝3eq \r(10) m/s. 当排球恰不出界时有 x2＝3 m＋9 m＝12 m，x2＝v2t2③ h2＝2.5 m，h2＝eq \f(1,2)gteq \o\al(2,2)④ 由③④可得v2＝12eq \r(2) m/s 所以排球既不触网也不出界的速度范围是 3eq \r(10) m/s<v0≤12eq \r(2) m/s. (2)如图乙所示为排球恰不触网也不出界的临界轨迹．设击球点的高度为h，根据平抛运动的规律有 图乙 x1＝3 m，x1＝v0t1′⑤ h1′＝h－2 m，h1′＝eq \f(1,2)gt′eq \o\al( 2,1)⑥ x2＝3 m＋9 m＝12 m，x2＝v0t2′⑦ h2′＝h＝eq \f(1,2)gt2′2⑧ 由⑤⑥⑦⑧式可得，所求高度h＝eq \f(32,15) m. 答案：(1)3eq \r(10)m/s<v0≤12eq \r(2)m/s　(2)eq \f(32,15) m ◆[迁移2]　运用对称法求解平抛运动的临界、极值问题　 2．抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动．现讨论乒乓球发球问题，设球台长2L、网高h，乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力．(设重力加速度为g) (1)若球在球台边缘O点正上方高度为h1处以速度v1水平发出，落在球台上的P1点(如图实线所示)，求P1点距O点的距离x1. (2)若球从O点正上方以速度v2水平发出，恰好在最高点时越过球网落在球台上的P2点(如图虚线所示)，求v2的大小． (3)若球从O点正上方水平发出后，球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘P3点，求发球点距O点的高度h3. 解析：(1)如图甲所示，根据平抛规律得： h1＝eq \f(1,2)gteq \o\al(2,1)，x1＝v1t1，联立解得：x1＝v1eq \r(\f(2h1,g)) (2)根据平抛规律得：h2＝eq \f(1,2)gteq \o\al(2,2)，x2＝v2t2 且h2＝h,2x2＝L，联立解得v2＝eq \f(L,2) eq \r(\f(g,2h)). (3)如图乙所示，得h3＝eq \f(1,2)gteq \o\al(2,3)，x3＝v3t3 且3x3＝2L 设球从恰好越过球网到达到最高点时所用的时间为t，水平距离为s，有h3－h＝eq \f(1,2)gt2 s＝v3t 由几何关系得：x3＋s＝L，解得：h3＝eq \f(4,3)h. 答案：(1)v1eq \r(\f(2h1,g))　(2)eq \f(L,2) eq \r(\f(g,2h))　(3)eq \f(4,3)h 　平抛运动临界极值问题的分析方法 (1)确定研究对象的运动性质； (2)根据题意确定临界状态； (3)确定临界轨迹，画出轨迹示意图； (4)应用平抛运动的规律结合临界条件列方程求解． 　(多选)(2024·湖北名师联盟月考)飞镖运动于15世纪兴起于英格兰，20世纪初，成为人们日常休闲的必备活动．一般投飞镖的靶上共标有10环，第10环的半径最小．现有一靶的第10环的半径为1 cm，第9环的半径为2 cm，……以此类推，若靶的半径为10 cm，在进行飞镖训练时，若人离靶的距离为5 m，将飞镖对准第10环中心以水平速度v投出，g取10 m/s2.则下列说法中正确的是(　　) A．当v≥50 m/s时，飞镖将射中第8环的线内 B．当v＝50 m/s时，飞镖将射中第6环线 C．若要击中第10环的线内，飞镖的速度v至少为50eq \r(2) m/s D．若要击中靶子，飞镖的速度v至少为25eq \r(2) m/s 解析：BD　[当v＝50 m/s时，运动的时间t＝eq \f(x,v)＝0.1 s，则飞镖在竖直方向上的位移y＝eq \f(1,2)gt2＝0.05 m＝5 cm，将射中第6环线，当v≥50 m/s时，飞镖将射中第6环线以内，A错误，B正确；若要击中第10环的线内，飞镖下降的最大高度为0.01 m，根据h＝eq \f(1,2)gt2得t1＝eq \f(\r(5),50) s，则飞镖的最小初速度vm1＝eq \f(x,t1)＝50eq \r(5) m/s，C错误；若要击中靶子，飞镖下降的高度不能超过0.1 m，根据h＝eq \f(1,2)gt2，得t2＝eq \f(\r(2),10) s，则飞镖的最小速度vm2＝eq \f(x,t2)＝25eq \r(2) m/s，D正确．] 有约束条件的抛体运动 常见模型及分析方法 图示 方法 基本规律 运动时间 分解速度，构建速度的矢量三角形 水平vx＝v0 竖直vy＝gt 合速度v＝eq \r(v\o\al(2,x)＋v\o\al(2,y)) 由tan θ＝eq \f(v0,vy)＝eq \f(v0,gt)得t＝eq \f(v0,g tan θ) 分解位移，构建位移的矢量三角形 水平x＝v0t 竖直y＝eq \f(1,2)gt2 合位移x合＝eq \r(x2＋y2) 由tan θ＝eq \f(y,x)＝eq \f(gt,2v0)得t＝eq \f(2v0tan θ,g) 在运动起点同时分解v0、g 由0＝v1－a1t,0－veq \o\al(2,1)＝－2a1d得t＝eq \f(v0tan θ,g)， d＝eq \f(v\o\al(2,0)sin θtan θ,2g) 分解平行于斜面的速度v 由vy＝gt得t＝eq \f(v0tan θ,g) ◆[考向1]　斜面约束的平抛运动　 [典例1]　(多选)(2024·烟台模拟)如图所示，固定斜面PO、QO与水平面MN的夹角均为45°，现由PO斜面上的A点分别以v1、v2先后沿水平方向抛出两个小球(可视为质点)，不计空气阻力，其中以v1抛出的小球恰能垂直于QO落于C点，飞行时间为t，以v2抛出的小球落在PO斜面上的B点，且B、C在同一水平面上，则(　　) A．落于B点的小球飞行时间为t B．v2＝gt C．落于C点的小球的水平位移为gt2 D．A点距水平面MN的高度为eq \f(3,4)gt2 [解析]　ACD　[落于C点的小球速度垂直于QO，则两分速度相等，即v1＝gt，得出水平位移x＝v1t＝gt2，故选项C正确；落于B点的小球分解位移如图所示， 其中，B、C在同一水平面，故飞行时间都为t，由图可得tan 45°＝eq \f(\f(1,2)gt2,v2t)＝eq \f(gt,2v2)，所以v2＝eq \f(gt,2)，故选项A正确，B错误；设C点距水平面MN的高度为h，由几何关系知x＝2h＋v2t，联立以上几式可得h＝eq \f(1,4)gt2，故A距水平面高度 H＝h＋eq \f(1,2)gt2＝eq \f(3,4)gt2，故选项D正确．] ◆[考向2]　曲面约束的平抛运动　 [典例2]　(2024·大连模拟)如图所示为一半球形的坑，其中坑边缘两点M、N与圆心等高且在同一竖直面内．现甲、乙两位同学分别站在M、N两点，同时将两个小球以v1、v2的速度沿图示方向水平踢出，发现两球刚好落在坑中同一点Q，已知∠MOQ＝60°，忽略空气阻力．则下列说法正确的是(　　) A．两球踢出的速率之比为1∶4 B．若仅增大v1，则两球将在落入坑中之前相撞 C．两球的初速度无论怎样变化，只要落在坑中的同一点，两球踢出的速率之和不变 D．若仅从M点水平踢出小球，改变小球踢出的速度，小球可能垂直坑壁落入坑中 解析：B　[由几何关系得，M、N的水平位移分别为eq \f(R,2)、eq \f(3,2)R，运动时间相等，由平抛运动规律得xM＝v1t，xN＝v2t，可得v1∶v2＝1∶3，A错误；若只增大v1，M运动轨迹将向右一些，两球在空中相遇，B正确；只要两球落在坑中同一点，水平位移之和为2R，则(v1＋v2)t＝2R，落点不同，竖直位移不同，t不同，v1＋v2不是定值，C错误；如果能垂直落入坑中，速度反向延长线过圆心，而平抛运动速度反向延长线必过水平位移的中点，可知水平位移为2R即应打在N点，但由平抛知识，不可能打在N点，故不可能垂直落入坑中，D错误．] 1．第24届冬奥会已于2022年2月4日在中国北京和张家口联合举行，如图所示为某滑雪运动员备战的示意图，运动员(可视为质点)四次从曲面QP上不同位置由静止滑下，到达P点后以不同的速度水平飞出，分别落到直线斜坡滑道A、B、C、D点，不计空气阻力，下列说法正确的是(　　 ) A．运动员落到C处在空中运动的时间最长 B．运动员落到A、B两处时速度方向相同 C．运动员落到A、C两处时，速度改变量不同 D．运动员落到C、D两处时速度的方向可能相同 解析：B　[在竖直方向上，根据h＝eq \f(1,2) gt2可得运动时间为t＝eq \r(\f(2h,g))，由题图可知hD＜hA＝hC＜hB，则有tD＜tA＝tC＜tB，即运动员落在B处时在空中运动的时间最长，故A错误；如题图可知，运动员落在A、B、D时，落在了同一倾角为θ的斜面上，根据平抛运动规律有tan θ＝eq \f(\f(1,2) gt2,v0t)＝eq \f(gt,2v0)，设速度与水平方向夹角为α，根据平抛运动规律有tanα＝eq \f(gt,v0)＝2 tanθ， 因此可知，运动员落在A、B、D时，速度方向相同，由题图根据vy＝gt可知，运动员落在A、C处竖直分速度相等，但水平分速度不等，可知，A、C两处的速度方向不同，则运动员落到C、D两处的速度方向一定不同，故B正确，D错误；运动员落到A、C两处时，由于都做平抛运动，加速度均为重力加速度，因此相同时间内，速度改变量相同，故C错误．] 2.如图所示，a、b两个小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度同时水平向左、右抛出，已知半圆轨道的半径与斜面的竖直高度h相等，斜面倾角为30°，重力加速度为g，要使两球同时落到半圆轨道上和斜面上，小球抛出的初速度的大小为(　　) A.eq \f(\r(6gh),2)　　　　　 B．eq \f(\r(3\r(3)gh),2) C.eq \r(\f(3\r(3)gh,2)) D．eq \f(3,2) eq \r(gh) 解析：B　[将半圆轨道和斜面重合放置，会发现两轨道交于A点，也就是说当抛出小球的速度恰好为某一值时，两小球会同时落到半圆轨道上和斜面上，如图 图中的x和y分别为小球做平抛运动的水平位移和竖直位移，y＝hcos30°＝eq \f(\r(3),2)h，eq \f(y,x)＝tan30°，y＝eq \f(1,2)gt2，x＝v0t，得v0＝eq \f(\r(3\r(3)gh),2)，故选B.] $$