1.3 等式性质与不等式性质（讲义）-2025年高考数学一轮复习《一隅三反》系列（新高考新题型）

1.3 不等式性质与三个一元二次 一元二次方程根的分布 设方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，Δ>0)有不相等的两根为x1，x2，且x1<x2，相应的二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c，方程的根即为二次函数的图象与x轴交点的横坐标，它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)． （1）两根与0的大小比较即根的正负情况 分布情况 两个负根即两根都小于0(x1<0，x2<0) 两个正根即两根都大于0(x1>0，x2>0) 一正根一负根即一个根小于0，一个根大于0(x1<0<x2) 大致图象(a>0) 得出的结论 f(0)<0 大致图象(a<0) 得出的结论 f(0)>0 综合结论(不讨论a) a·f(0)<0 （2）两根与k的大小比较 分布情况 两根都小于k即x1<k，x2<k 两根都大于k即x1>k，x2>k 一个根小于k，一个根大于k即x1<k<x2 大致图象(a>0) 得出的结论 f(k)<0 大致图象(a<0) 得出的结论 f(k)>0 综合结论(不讨论a) a·f(k)<0 （3）根在区间上的分布 分布情况 两根都在(m，n)内 两根有且仅有一根在(m，n)内(图象有两种情况，只画了一种) 一根在(m，n)内，另一根在(p，q)内，m<n<p<q 两根分别在区间(m，n)外，即在区间两侧x1<m，x2>n 大致图象(a>0) 得出的结论 f(m)·f(n)<0 或 大致图象(a<0) 得出的结论 f(m)·f(n)<0 或 综合结论(不讨论a) __________ f(m)·f(n)<0 考点一 比较数（式）大小 【例1-1】（2024湖南长沙）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（2024辽宁丹东）（多选）下列各式的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【例1-3】（2024·云南昆明·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2024吉林长春）（多选）设，，，则（    ） A． B． C． D．无法确定 2（2023·云南）设，则（ ） A． B． C． D． 3（2024·重庆）（多选）下列大小关系正确的有（    ） A． B． C． D． 考点二 判断不等式的正误 【例2-1】（2024高三·全国·专题练习）若,且，则（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（2024广西贺州）（多选）若，，则下列不等关系正确的是（       ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2024北京·期中）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024上海）设，若，则（    ）. A． B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024四川成都）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 考点三 代数式不等式范围 【例3-1】（2024云南）（多选）已知，，则（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．ab的取值范围为 D．的取值范围为 【例3-2】（2024山东菏泽）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3-3】（2024云南大理）已知的三边长分别为，，，且满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2024河北石家庄）已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（2024河北·阶段练习）（多选）已知，则以下命题正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024广东广州）已知且满足，则的取值范围是 . 考点四 解无参不等式 【例4】（2023秋·内蒙古呼和浩特）求解下列不等式的解集： (1)；(2)；(3)；(4)；(5). (6)；(7)；(8)；(9). 【一隅三反】 （2024广东湛江）解下列关于x的不等式： （1） （2）(1)（3）．（4）(4):(5) (6)；(7)．(8)(9)(10) 考点五 解含参的一元二次不等式 【例5-1】（2024广东潮州）解下来关于实数的不等式 （1） (2)．（3）． 【例5-2】（2024·湖南邵阳）关于x的不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2024北京）关于的不等式的解集中至多包含1个整