精品解析：江西省南昌市第十九中学2024届高三下学期第三次模拟考试数学试题

南昌十九中2023－2024学年下学期高三第三次模拟考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则满足集合的个数为（ ） A 4 B. 6 C. 7 D. 8 2. 设等差数列的前项和为，若，则（ ） A 156 B. 252 C. 192 D. 200 3 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 5. 已知曲线，则“”是“曲线的焦点在轴上”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，且，则（ ） A B. C. D. 7. 将5本不同的书（2本文学书、2本科学书和1本体育书）分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本书，每本书只能分给一人，其中体育书只能分给甲、乙中的一人，则不同的分配方法数为（ ） A. 78 B. 92 C. 100 D. 122 8. 已知圆柱的下底面在半球的底面上，上底面圆周在半球的球面上，记半球的底面圆面积与圆柱的侧面积分别为，半球与圆柱的体积分别为，则当的值最小时，的值为（ ） A. B. C. D. 二.多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设z为复数（i为虚数单位），下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 对任意复数，，有 C. 对任意复数，，有 D. 在复平面内，若，则集合M所构成区域的面积为 10. 已知函数定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列结论一定成立的是（   ） A. B. C. D. 11. 已知抛物线焦点为，过点（不与点重合）的直线交于两点，为坐标原点，直线分别交于两点，，则（ ） A. B. 直线过定点 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 写出与圆相切且方向向量为的一条直线的方程______． 13. 在平面直角坐标系中，角的始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则_______． 14. 若实数，且，则的取值范围是________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，，. （1）求函数的单调区间； （2）若且恒成立，求的最小值. 16. 如图，在四棱锥中，，，，． （1）证明：平面； （2）若，，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知函数的最小正周期为. （1）求在上的单调递增区间； （2）在锐角三角形中，内角的对边分别为且求的取值范围. 18. 已知是椭圆的左，右顶点，点与椭圆上的点的距离的最小值为1. （1）求点的坐标. （2）过点作直线交椭圆于两点（与不重合），连接，交于点. （ⅰ）证明：点在定直线上； （ⅱ）是否存在点使得，若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由. 19. 王老师每天早上7：00准时从家里出发去学校，他每天只会从地铁与汽车这两种交通工具之间选择一个乘坐.王老师多年积累的数据表明，他到达学校的时间在两种交通工具下的概率分布如下表所示： 到校时间 7：30之前 7：30-7：35 7：35-7：40 7：40-7：45 7：45-7：50 7：50之后 乘地铁 0.1 0.15 0.35 0.2 0.15 0.05 乘汽车 0.25 0.3 0.2 0.1 0.1 0.05 （例如：表格中0.35的含义是如果王老师当天乘地铁去学校，则他到校时间在7：35-7：40的概率为0.35.） （1）某天早上王老师通过抛一枚质地均匀的硬币决定乘坐地铁还是乘坐汽车去学校，若正面向上则坐地铁，反面向上则坐汽车.求他当天7：40-7：45到校的概率； （2）已知今天（第一天）王老师选择乘坐地铁去学校，从第二天开始，若前一天到校时间早于7：40，则当天他会乘坐地铁去学校，否则当天他将乘坐汽车去学校.且若他连续10天乘坐地铁，则不论他前一天到校的时间是否早于7：40，第11天他都将坐汽车到校.记他从今天起（包括今天）到第一次乘坐汽车去学校前坐地铁的次数为，求； （3）已知今天（第一天）王老师选择乘坐地铁去学校.从第二天开始，若他前一天坐地铁去学校且到校时间早于7：40，则当天他会乘坐地铁去学校；若他前一天坐地铁去学校且到校时间晚于7：40，则当天他会乘坐汽车去