2024届高考物理三轮复习微专题－第10讲 数学方法在物理中的应用

HKA 　　　 　　 　　　 高三物理三轮微专题 编号SR－04 HKA 　　　 　　 　　　 高三物理三轮微专题 编号SR－04 微专题03 　数学方法在物理中的应用 1. 掌握利用数学知识解决物理问题的常用方法 2. 学会将物理问题转化为数学问题，经过求解再还原为物理结论。 物理问题的解答常常离不开数学知识和方法的应用，利用数学知识解决物理问题是高考物理考查的能力之一。借助数学方法，可使一些复杂的物理问题，显示出明显的规律性，进而快速简捷地解决问题。应用数学处理物理问题的基本思路是将物理问题转化为数学问题，经过求解再还原为物理结论。 方法1 ：应用二次函数解决物理极值问题 二次函数：y＝ax2＋bx＋c (1)当x＝－时，有极值ym＝(若二次项系数a>0，y有极小值；若a<0，y有极大值)。 (2)利用一元二次方程判别式求极值 用判别式Δ＝b2－4ac≥0有解可求某量的极值。 【例1】(2022·山东省聊城市高三下一模)歼­20战斗机安装了我国自主研制的矢量发动机，能够在不改变飞机飞行方向的情况下，通过转动尾喷口方向改变推力的方向，使战斗机获得很多优异的飞行性能。已知在歼­20战斗机沿水平方向超音速匀速巡航时升阻比(垂直机身向上的升力和平行机身向后的阻力之比)为k，飞机的重力为G，能使飞机实现水平匀速巡航模式的最小推力是(　　) A． B． C． D．G 答案　C 解析　飞机受到重力G、发动机推力F1、升力F2和空气阻力f，重力的方向竖直向下，升力F2的方向竖直向上，空气阻力f的方向与F2垂直，如图所示，歼­20战斗机沿水平方向超音速匀速巡航，则有水平方向Fx＝f，竖直方向F2＋Fy＝G，又F2＝kf，解得Fy＝G－kf，则F＝F＋F＝(k2＋1)f2－2kGf＋G2，F与f的函数图像为开口向上的抛物线，当f＝时，F取最小值，解得最小推力是F1min＝，故选C。 方法2：均值不等式 由均值不等式a＋b≥2(a>0，b>0)可知： (1)两个正数的积为定值时，当两数相等，和最小； (2)两个正数的和为定值时，当两数相等，积最大。 【例2】在一个半径为R的圆弧的圆心处，质量为m的小球，以大小不同的初动能水平抛出，如图所示，不计空气阻力。当小球落在圆弧上的动能最小时，对应的初动能为(g表示当地的重力加速度)(　　) A．mgR B．mgR C．mgR D．mgR 答案　A 解析　设小球平抛运动的竖直位移为h，水平位移为x，根据勾股定理有R2＝x2＋h2，根据机械能守恒定律可得小球平抛运动的末动能Ek＝mgh＋mv，根据平抛运动的规律可知x＝v0t，h＝gt2，联立各式可得Ek＝mgh＋m＝mgh＋m×(R2－h2)×＝mgh＋，根据数学知识，当且仅当mgh＝时，小球落在圆弧上的动能最小，解得h＝，则对应的初动能为Ek0＝m＝m××＝mgR，B、C、D错误，A正确。 方法3：应用三角函数解决物理极值问题 1．三角函数求极值 (1)y＝sin α，在0≤α≤π范围，当α＝时，ymax＝1； (2)y＝cos α，在0≤α≤π范围，当α＝0时，ymax＝1。 2．辅助角求极值 三角函数：y＝a cos θ＋b sin θ(ab≠0) y＝a cos θ＋b sin θ＝ sin (θ＋α)，其中tan α＝。当θ＋α＝2kπ＋(k为整数)时，有最大值ymax＝ 。 【例3】(2022·浙江1月选考)如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m的石墩，石墩与水平地面间的动摩擦因数为μ，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为θ，则下列说法正确的是(　　) A．轻绳的合拉力大小为 B．轻绳的合拉力大小为 C．减小夹角θ，轻绳的合拉力一定减小 D．轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小 答案　B 解析　设两根轻绳的合拉力为F，对石墩受力分析如图1，根据平衡条件有F cos θ＝f，F sin θ＋FN＝mg，且μFN＝f，联立可得F＝，A错误，B正确；上式变形得F＝，其中tan α＝，根据三角函数特点，由于不知道开始时(θ＋α)的值，因此减小θ，轻绳的合拉力F不一定减小，C错误；根据上述讨论，当θ＋α＝90°时，轻绳的合拉力F最小，而摩擦力f＝F cos θ＝＝，可知增大夹角θ，摩擦力一直减小，当θ趋近于90°时，摩擦力最小，故轻绳的合拉力F最小时，地面对石墩的摩擦力不是最小，D错误。(本题的C、D选项还可以这样判断：设F′为地面对石墩的支持力FN与摩擦力f的合力，β是摩擦力与F′间的夹角，则tan β＝＝，即不论FN、f怎么变化，合力F′的方向总保持不变，因此可将四力平衡转化为如图2所