9.1不等式（九大题型）-（题型·技巧培优系列）2023-2024学年七年级数学下册同步精讲精练（人教版）

（人教版）七年级下册数学《第九章 不等式与不等式组》 9.1 不等式 知识点一 不等式的定义 ★不等式的定义：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． 【注意】1、凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 2、 不等式表示式子之间的不等关系，与方程表示的相等关系相对应. 知识点二 不等式的解（解集）与解不等式 ★1、不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 【注意】一般情况下，不等式的解有无数个，但不等式的特殊解可以是有限个. ★2、不等式的解集：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集． 【注意】不等式的解集必须符合两个条件：①解集中的每一个数值都能使不等式成立；②能够使不等式成立的所有数值都在该解集中. ★3、解不等式的定义：求不等式的解集的过程叫做解不等式． ★4、不等式的解和解集的区别和联系:不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内． ★5、在数轴上表示不等式的解集： 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”： （1）定边界点：在数轴上要标出原点和边界点,有等号边界点画实心圆点(表示包括这一点),无等号边界点 画空心圆圈(表示不包括这一点). （2）定方向：大于向右，小于向左. 【规律方法】不等式解集的验证方法: 某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立． 知识点三 不等式的性质 ★1、不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±c＞b±c； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且c＞0，那么ac＞bc或； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且c＜0，那么ac＜bc或； ★2、不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． ★3、不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，则a＜c． 知识点四 解简单的不等式 ★1、利用不等式的性质解不等式，就是利用不等式的性质对不等式进行变形，使不等式的形式向x＞a或x＜a的形式转化． ★2、应用时要注意把握两关： ①怎样变形；②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的． 【注意】应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 题型一 不等式的识别 【例题1】下列式子中：①﹣2＜0；②2x﹣3＞0；③x＝2012；④x2﹣x；⑤x≠0；⑥x+3＞x+1，其中是不等式的有 　 　（填序号）． 解题技巧提炼 判断一个式子是等式还是不等式要根据各自的概念，主要看连接两个式子的符号是什么，若用等号连接，则为等式；若用不等号连接，则为不等式. 【变式1-1】（2024春•锦江区期中）下列各式中，是不等式的是（　　） A．x﹣1＝7 B．y﹣2x＞3 C．x2﹣2x+1 D．x+y＝1 【变式1-2】（2024春•惠来县期中）下列各式中，不是不等式的是（　　） A．2x≠1 B．6x2﹣3x+1 C．﹣3＜0 D．3x﹣2≥7 【变式1-3】（2023秋•邵阳期末）在下列数学表达式：①﹣2＜0，②2y﹣5＞1，③m＝1，④x2﹣x，⑤x≠﹣2，⑥x+1＜2x﹣1中，是不等式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-4】（2024春•长安区月考）在下列数学表达式中，不等式的个数是（　　） ①﹣3＜0；②a+b＜0；③x＝3；④x⩾5；⑤x+2＞y+3． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-5】（2023春•灞桥区校级月考）在下列各式：①x2≠0；②|x|+1＞0；③x+2＜﹣5；④x+y＝3；⑤0，其中是不等式的是（　　） A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．②③⑤ 题型二 用不等式表示不等关系 【例题2】（2023秋•灌阳县期末）用不等式表示“x的5倍大于﹣7”的数量关系是（　　） A．5x＜﹣7 B．5x＞﹣7 C．x＞7 D．7x＜5 解题技巧提炼 表示不等关系时，首先要明确应该用哪一个不等号来表示，解此类题的关键是将文字语言改