第十章 复数及其几何意义-高中数学必修第四册精选易错题练习（人教B版2019)

精选易错题练习—【第十章】 复数及其几何意义 一．选择题（共33小题） 1．如果复数（m2+i）（1+mi）是实数，则实数m＝（　　） A．1 B．﹣1 C． D． 2．z＝为纯虚数（i是虚数单位），则|z|为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．复平面内表示复数z＝（1﹣3i）（1﹣i）的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．若＝b+i，则复数a+bi在复平面内表示的点所在的象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．设i是虚数单位，且z（1+i）＝i+i2，则复数z在复平面内对应的点的坐标为（　　） A．（1，0） B．（0，1） C．（﹣1，1） D．（1，﹣1） 7．若a+2i＝（1﹣i）（1+bi）（a，b∈R，i为虚数单位），则复数a﹣bi在复平面内对应的点所在的象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．已知复数为纯虚数（其中i为虚数单位），则实数a＝（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣ D． 9．若复数是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b＝（　　） A．﹣2 B．﹣ C． D．2 10．复数在复平面内对应点所在的象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．关于复数，给出下列判断： ①3＞3i； ②16＞（4i）2； ③2+i＞1+i； ④|2+3i|＞|2+i|． 其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 12．已知复数z＝（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则a的值为（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．0 13．已知复数z＝i2021+i2022，则z在复平面内对应的点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 14．已知复数z＝为纯虚数，则|2a+i|＝（　　） A． B． C．2 D．3 15．已知复数，则z在复数平面的点位于第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 16．已知复数z满足z（1﹣i）＝2+i2021，则zi在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 17．设复数z＝i，则复数z的虚部为（　　） A．0 B．1 C．i D．﹣1 18．下列关于复数的四个命题中，错误的是（　　） A． B．z2＝﹣2i C．z的共轭复数为﹣1+i D．z的虚部为﹣1 19．已知复数z＝sinθ﹣+（cosθ﹣）i为纯虚数，则tanθ＝（　　） A． B． C． D． 20．已知复数z1＝2﹣i，z2＝1+i，其中i为虚数单位，设复数z＝，若a﹣z为纯虚数，则实数a的值为（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 21．已知（1﹣i）z＝i，则复数在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 22．若复数z满足（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点在（　　） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 23．已知实数b是关于x的方程x2﹣（6+i）x+9+ai＝0（a∈R）的解，则a+b的值为（　　） A．0 B．3 C．6 D．9 24．已知纯虚数z满足（1﹣2i）z＝2+ai，其中i为虚数单位，则实数a等于（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 25．若复数z＝为纯虚数，则实数a的值为（　　） A．1 B．0 C． D．﹣1 26．在复平面内，复数z＝（2﹣5i）（﹣1﹣2i）对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 27．已知复数z＝i2﹣i，则z对应的点Z在复平面的（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 28．复数2i•z＝i﹣3（i为虚数单位），则在复平面内对应的点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 29．已知复数z＝1+2i，则在复平面内对应的点的坐标为（　　） A． B． C． D． 30．已知i为虚数单位，若复数z＝4﹣m2﹣（m﹣2）i为纯虚数，则实数m＝（　　） A．0 B．2 C．﹣2 D．4 31．若复数z1＝﹣3+i，z2＝1+4i，则z1+4z2的共轭复数在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 32．已知i是虚数单位，若（a+2i）（1﹣i）为纯虚数，则实数a的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．﹣2 33．“”是“复数Z＝（3m﹣2）+（m﹣1）i在复平面内对应的点位于第四象限”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二．多选题（共4小题） （多选）34．虚数的平方一定不是（　　） A．正实数 B．零 C．负实数 D．虚数 （多选）35．下列说法中错误的是（　　） A．2+3i＞1+2i B．若，则z+1对应的点在复平面内的第一象限 C．若一个数是实数，则其虚部不存在 D．虚轴上的点表示的数都是纯虚数 （多选）36．已知复数z1＝3+4i，z2＝﹣2+5i，z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，则（　　） A．Z1，Z2两点在以原点为圆心的同一个圆上 B．Z1，Z2两点之间的距离为 C．满足|z|＝|z1|的复数z对应的点Z形成的图形的周长是25π D．满足|z1|＜|z|＜|z2|的复数z对应的点Z形成的图形的面积是4π （多选）37．对于复数z＝a+bi（a，b∈R），则下列结论中错误的是（　　） A．若a＝0，则a+bi为纯虚数 B．若z＝3﹣2i，则a＝3，b＝2 C．若b＝0，则a+bi为实数 D．若a＝b＝0，则z不是复数 三．填空题（共4小题） 38．已知复数z＝+（a﹣1）i的虚部为零，i为虚数单位，则实数a＝　 　． 39．复数在复平面内对应的点位于第　 　象限． 40．在复平面内，复数z1＝1﹣2i，z2＝a+i（a∈R），z3＝﹣1+（a+1）i对应的向量分别为，，，且，则实数m＝　 　． 41．已知z是纯虚数，若（m+2i）•z＝2﹣3i，则实数m＝　 　 四．解答题（共14小题） 42．已知复数z满足|z|＝2，且复数（3﹣i）z为纯虚数． （1）求z； （2）若z的实部小于零，且z是关于x的方程2x2+mx﹣n＝0（m，n∈R）的根，求m+n的值． 43．已知实数m满足2x2﹣（2i﹣1）x+m﹣i＝0，求m及x的值． 44．将多项式x5y﹣9xy5分别在下列范围内分解因式：（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围． 45．求（1﹣2i）5的实部． 46．设z∈C，解方程z﹣2|z|＝﹣7+4i． 47．设a为实数，在复数集C中解方程：z2+2|z|＝a． 48．设复数z1和z2满足关系式，其中A为不等于0的复数． 证明：（1）|z1+A||z2+A|＝|A|2；（2）． 49．在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O（其中O是原点），已知Z2对应复数．求Z1和Z3对应的复数． 50．在复平面内，已知等边三角形的两个顶点所表示的复数分别为，求第三个顶点所表示的复数． 51．设p≠0，实系数一元二次方程z2﹣2pz+q＝0有两个虚数根z1，z2、再设z1，z2在复平面内的对应点是Z1，Z2，求以Z1，Z2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长． 52．已知复数． （1）若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围； （2）若z2，在复平面（O为坐标原点）内对应的点分别为B，C．求向量在向量上的投影向量的坐标． 53．设z1是虚数，是实数，且z2≠﹣2，． （1）求|z1|； （2）证明：ω为纯虚数． 54．设复数z＝a2+a﹣2+（a2﹣7a+6）i，其中a∈R． （1）若z是纯虚数，求a的值； （2）z所对应的点在复平面的第四象限内，求a的取值范围． 55．已知复数z＝（2+i）m2﹣2（1﹣i）．当实数m取什么值时，复数z是： （1）虚数； （2）纯虚数； （3）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数？ 精选易错题练习—【第十章】 复数及其几何意义 参考答案与试题解析 一．选择题（共33小题） 1．【答案】B 【分析】注意到复数a+bi（a∈R，b∈R）为实数的充要条件是b＝0 【解答】解：复数（m2+i）（1+mi）＝（m2﹣m）+（1+m3）i是实数， ∴1+m3＝0，m＝﹣1， 故选：B． 2．【答案】A 【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可． 【解答】解：z＝＝＝＝＝， ∵z为纯虚数， ∴＝0，， 故a＝1，z＝﹣i， 故|z|＝1． 故选：A． 3．【答案】D 【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出． 【解答】解：复数＝＝i在复平面内对应的点位于第四象限． 故选：D． 4．【答案】D 【分析】先利用复数的乘法运算求出z的代数形式，然后由复数的几何意义求出对应的点的坐标，即可得到答案． 【解答】解：∵复数z＝（1﹣3i）（1﹣i）＝﹣2﹣4i， ∴复数z对应的点的坐标（﹣2，﹣4）在第四象限． 故选：D． 5．【答案】A 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简等式左边，再由复数相等的条件列式求得a，b的值得答案． 【解答】解：由＝， 得，即a＝4，b＝3． ∴复数a+bi在复平面内表示的点的坐标为（4，3），所在的象限是第一象限． 故选：A． 6．【答案】B 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：由z（1+i）＝i+i2＝﹣1+i，得z＝＝， ∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（0，1）． 故选：B． 7．【答案】D 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求． 【解答】解：因为a+2i＝（1﹣i）（1+bi）＝（1+b）+（b﹣1）i， ∴a＝1+b且2＝b﹣1； 所以：a＝4，b＝3； ∴复数a﹣bi在复平面内对应的点（4，﹣3）所在的象限为第四象限． 故选：D． 8．【答案】A 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解． 【解答】解：∵＝为纯虚数， ∴，即a＝﹣3． 故选：A． 9．【答案】A 【分析】利用复数的除法运算法则化简复数为a+bi的形式，利用复数是纯虚数求解m即可． 【解答】解：复数＝＝， 复数为纯虚数，可得2+b＝0， 解得b＝﹣2． 故选：A． 10．【答案】A 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案． 【解答】解：∵＝＝， ∴在复平面内，复数对应的点的坐标为（，），位于第一象限． 故选：A． 11．【答案】B 【分析】①③两个复数如果不完全是实数，则不能比较大小； ②利用复数的运算法则即可判断出结论； ④利用复数的模的计算公式即可判断出结论． 【解答】解：①两个复数如果不完全是实数，则不能比较大小，因此3＞3i不正确； ②∵（4i）2＝﹣16，因此正确； ③道理同①，不正确； ④|2+3i|＝＝，|2+i|＝，因此|2+3i|＞|2+i|正确． 其中正确的个数为2． 故选：B． 12．【答案】B 【分析】由复数的除法运算化复数为a+bi（a，b∈R）的形式，由实部等于0且虚部不等于0列方程求出实数a的值． 【解答】解：根据复数z＝＝＝+i是纯虚数， 得， 解得a＝2； 所以使复数是纯虚数的实数a的值为2． 故选：B． 13．【答案】B 【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出结论． 【解答】解：∵i2＝﹣1， ∴i4＝（﹣1）2＝1， ∴i2021＝（i4）505•i＝i， i2022＝（i4）505•i2＝i2＝﹣1， ∴z＝i2021+i2022＝﹣1+i，对应的点为（﹣1，1），属于第二象限， 故选：B． 14．【答案】B 【分析】根据已知条件，结合纯虚数概念，以及复数代数形式的乘法运算，即可求解． 【解答】解：∵z＝＝＝ 为纯虚数， ∴ 且，解得a＝， |2a+i|＝|1+|＝． 故选：B． 15．【答案】B 【分析】利用i4＝1，化简i2021，再利用复数的运算法则、几何意义即可得出． 【解答】解：∵i4＝1，i2021＝（i4）505•i＝i， ∴复数＝＝＝﹣+i，则z在复数平面的点（﹣，）位于第二象限． 故选：B． 16．【答案】B 【分析】根据z（1﹣i）＝2+i2021，求出z，然后确定zi在复平面内对应的点所在象限即可． 【解答】解：∵i2021＝（i4）505•i＝i， ∴z（1﹣i）＝2+i2021＝2+i， ∴z（1﹣i）（1+i）＝（2+i）（1+i）， ∴2z＝2﹣1+i+2i，∴z＝+i， ∴zi＝（+i）i＝i﹣， ∴zi在复平面内对应的点（﹣，）位于第二象限． 故选：B． 17．【答案】B 【分析】利用复数的定义直接求解． 【解答】解：∵z＝i，∴虚部为1． 故选：B． 18．【答案】B 【分析】根据复数的四则运算，先对z化简，即可依次求解． 【解答】解：∵＝， ∴，z2＝（﹣1﹣i）2＝2i， ∴z的共轭复数为﹣1+i，z的虚部为﹣1，故ACD正确，B错误． 故选：B． 19．【答案】A 【分析】由已知可得实部为0且虚部不为0，求得cosθ与sinθ的值，再由同角三角函数基本关系式得答案． 【解答】解：∵z＝sinθ﹣+（cosθ﹣）i为纯虚数， ∴，解得，cos． 则tanθ＝． 故选：A． 20．【答案】B 【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出． 【解答】解：复数z＝＝＝＝， ∵a﹣z＝a﹣+i为纯虚数， ∴a﹣＝0，解得a＝． 故选：B． 21．【答案】B 【分析】根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解． 【解答】解：， 则复数z在复平面内对应的点（）位于第二象限． 故选：B． 22．【答案】D 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z所对应的点的坐标得答案． 【解答】解：因为复数z满足； ∴z•i＝（1+i）（2i+1）＝1+2i2+3i＝﹣1+3i； ∴z＝＝＝﹣（﹣i+3i2）＝3+i； 在复平面内复数z对应的点为（3，1）在第一象限； 故选：D． 23．【答案】C 【分析】根据复数相等的充要条件，实部与实部相等，虚部与虚部相等，将复数问题转化为关于实数的方程组问题． 【解答】解：将b代入方程得（b2﹣6b+9）+（a﹣b）i＝0， 由复数相等的条件可得 ， 得a＝b＝3， ∴a+b＝6． 故选：C． 24．【答案】B 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0列式求解a值． 【解答】解：由（1﹣2i）z＝2+ai，得z＝， ∵z为纯虚数，∴，即a＝1． 故选：B． 25．【答案】D 【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出． 【解答】解：复数z＝＝＝+i为纯虚数， ∴＝0，≠0， 解得a＝﹣1． 故选：D． 26．【答案】B 【分析】化简复数z，即可得出z对应的点所在的象限． 【解答】解：复数z＝（2﹣5i）（﹣1﹣2i）＝（﹣2+10i2）+（﹣4+5）i＝﹣12+i， 所以z对应的点的坐标为（﹣12，1），在第二象限． 故选：B． 27．【答案】C 【分析】根据虚数单位的性质化简，再由实部、虚部符号确定复数对应点所在象限． 【解答】解：因为z＝i2﹣i＝﹣1﹣i， 所以z对应的点Z（﹣1，﹣1）在复平面的第三象限． 故选：C． 28．【答案】D 【分析】先计算复数，再求其共轭复数，即可求出共轭复数对应的点，进而可得在复平面内对应的点所在的象限． 【解答】解：由2i•z＝i﹣3得：， ∴，所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限． 故选：D． 29．【答案】B 【分析】根据复数的运算化简，可得所求坐标． 【解答】解：由题意，＝1﹣2i，则＝＝＝， ¯﹣1+3i4i﹣1在复平面内对应的点的坐标为（，﹣）． 故选：B． 30．【答案】C 【分析】根据已知条件，结合纯复数的概念，即可求解． 【解答】解：∵z＝4﹣m2﹣（m﹣2）i为纯虚数， ∴，解得m＝﹣2． 故选：C． 31．【答案】D 【分析】先求出复数z1+4z2，再结合共轭复数的定义，以及复数的几何意义求解． 【解答】解：∵复数z1＝﹣3+i，z2＝1+4i， ∴z1+4z2＝﹣3+i+4（1+4i）＝1+17i， ∴z1+4z2的共轭复数为1﹣17i， ∴z1+4z2的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（1，﹣17），位于第四象限． 故选：D． 32．【答案】D 【分析】利用复数的运算法则求解． 【解答】解：i是虚数单位， （a+2i）（1﹣i）＝a+2i﹣ai﹣2i2＝a+2+（2﹣a）i， ∵（a+2i）（1﹣i）为纯虚数， ∴， 解得a＝﹣2． 故选：D． 33．【答案】B 【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解． 【解答】解：复数Z＝（3m﹣2）+（m﹣1）i在复平面内对应的点位于第四象限， 则，解得， ， 则“”是“复数Z＝（3m﹣2）+（m﹣1）i在复平面内对应的点位于第四象限”的必要不充分条件． 故选：B． 二．多选题（共4小题） 34．【答案】AB 【分析】虚数z＝a+bi（a，b∈R，b≠0），进而平方后分a＝0和a≠0两种情况讨论求解即可． 【解答】解：z＝a+bi（a，b∈R，b≠0）， 所以（a+bi）2＝（a2﹣b2）+2abi 所以当a＝0时，z2＝﹣b2＜0为负实数， 当a≠0时，z2＝（a2﹣b2）+2abi为虚数． 故虚数的平方一定不是正实数和零． 故选：AB． 35．【答案】ABCD 【分析】根据复数的有关定义以及复数的意义分别判断即可． 【解答】解：复数不能比较大小，故A错误； z+1＝1﹣i，则z+1对应的点在复平面内的第四象限，故B错误； 若一个数是实数，则其虚部是0，故C错误； 虚轴上的点表示的数不都是纯虚数，比如0，故D错误． 故选：ABCD． 36．【答案】BD 【分析】由已知结合复数的几何意义检验各选项即可判断． 【解答】解：因为复数z1＝3+4i，z2＝﹣2+5i在复平面内对应的点分别为Z1（3，4），Z2（﹣2，5）， 因为|z1|＝5，|z2|＝，A显然错误； Z1（3，4），Z2（﹣2，5）两点间的距离为＝，B正确； 满足|z|＝|z1|＝5的复数z对应的点Z形成的图形是以5为半径的圆，周长为10π，C错误； 满足|z1|＜|z|＜|z2|的复数z对应的点Z形成的图形是以5和为半径的两圆围成的圆环，面积为29π﹣25π＝4π，D正确． 故选：BD． 37．【答案】ABD 【分析】由复数的基本概念逐一分析四个选项得答案． 【解答】解：若a＝0，且b≠0，则a+bi为纯虚数，故A错误； 若z＝3﹣2i，则a＝3，b＝﹣2，故B错误； 若b＝0，则a+bi为实数，故C正确； 若a＝b＝0，则z为实数，是复数，故D错误． 故选：ABD． 三．填空题（共4小题） 38．【答案】． 【分析】先根据复数的运算可得z＝+（a﹣）i，再根据虚部为零，即可求出a的值． 【解答】解：z＝+（a﹣1）i＝+（a﹣1）i＝+（a﹣1）i＝+（a﹣）i， 因为其虚部为零，所以，即． 故答案为：． 39．【答案】见试题解答内容 【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出． 【解答】解：＝＝＝1﹣i在复平面内对应的点（1，﹣1）位于第四象限． 故答案为：四． 40．【答案】1． 【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，以及复数相等的条件，即可求解． 【解答】解：∵复数z1＝1﹣2i，z2＝a+i（a∈R），z3＝﹣1+（a+1）i对应的向量分别为，，， ∴Z1（1，﹣2），Z2（a，1），Z3（﹣1，a+1）， ∴，， ∵， ∴，解得a＝2，m＝1． 故答案为：1． 41．【答案】见试题解答内容 【分析】设z＝ai（a∈R且a≠0），代入（m+2i）•z＝2﹣3i，利用复数相等的条件列式求解． 【解答】解：设z＝ai（a∈R且a≠0）， 由（m+2i）•z＝2﹣3i，得（m+2i）•ai＝﹣2a+mai＝2﹣3i， ∴，解得m＝3． 故答案为：3． 四．解答题（共14小题） 42．【答案】（1）z＝2﹣6i或z＝﹣2+6i；（2）﹣72． 【分析】（1）设z＝a+bi，（a，b∈R），由条件建立a，b的关系式，求解即可； （2）由题意建立关于m，n的关系式，求解即可． 【解答】解：（1）设z＝a+bi，（a，b∈R），则（3﹣i）z＝（3﹣i）（a+bi）＝（3a+b）+（3b﹣a）i， ∵|z|＝2，且复数（3﹣i）z为纯虚数， ∴，∴或， ∴z＝2﹣6i或z＝﹣2+6i； （2）∵z的实部小于零， ∴z＝﹣2+6i， ∵z是关于x的方程2x2+mx﹣n＝0（m，n∈R）的根， ∴2（﹣2+6i）2+m（﹣2+6i）﹣n＝0，即（﹣64﹣2m﹣n）+（6m﹣48）i＝0， ∴，∴，∴m+n＝﹣72． 43．【答案】见试题解答内容 【分析】由题意知，m和x都使的等式成立，把所给的等式化为两个复数相等的形式，使得两个复数的实部和虚部分别相等，解关于m和x的方程组，得到结果． 【解答】解：∵实数m满足2x2﹣（2i﹣1）x+m﹣i＝0， ∴2x2+x﹣2xi＝﹣m+i， ∴2x2+x＝﹣m，﹣2x＝1， ∴m＝0，x＝﹣ 44．【答案】见试题解答内容 【分析】直接根据（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．的要求，分解因式即可． 【解答】解：（1）x5y﹣9xy5＝xy（x2+3y2）（x2﹣3y2）． （2）x5y﹣9xy5＝xy（x2+3y2）（x+y）（x﹣y）． （3）x5y﹣9xy5＝xy（x+yi）（x﹣yi）（x+y）（x﹣y）． 45．【答案】见试题解答内容 【分析】因为所给的代数式次数比较高，所以题目不会让我们直接展开运算，要用二项式定理来整理，又有i的特点知它的偶次方为实数，得到结果． 【解答】解：∵（1﹣2i）5的实部是由包含i的零次方及包含i的偶次方的各项所组成， 由二项式定理知 所求之实部为C50+C52（﹣2i）2+C54（﹣2i）4＝41． 46．【答案】见试题解答内容 【分析】设z＝x+yi（x，y∈R）代入方程，由实部和虚部相等列出方程组，求出方程组的解验证后，再求出复数． 【解答】解：设z＝x+yi（x，y∈R），依题意有x+yi﹣2＝﹣7+4i， 由复数相等的定义得，，解得y＝4，且x﹣2＝﹣7①． 解方程①并经检验得x1＝3，x2＝． ∴z1＝3+4i，z2＝+4i． 47．【答案】见试题解答内容 【分析】由于z2＝a﹣2|z|为实数，故z为纯虚数或实数，因而需分情况进行讨论．当z是实数时，本题是一个关于z的一元二次方程组，解方程组即可；当z是一个纯虚数时，按照实数方程求解得到z的虚部，写出纯虚数即可． 【解答】解：设|z|＝r．若a＜0，则z2＝a﹣2|z|＜0，于是z为纯虚数，从而r2＝2r﹣a． 由于z2＝a﹣2|z|为实数，故z为纯虚数或实数，因而需分情况进行讨论． 解得r＝（r＝＜0，不合，舍去）．故z＝±（）i． 若a≥0，对r作如下讨论： （1）若r≤a，则z2＝a﹣2|z|≥0，于是z为实数． 解方程r2＝a﹣2r，得r＝（r＝＜0，不合，舍去）． 故z＝±（）． （2）若r＞a，则z2＝a﹣2|z|＜0，于是z为纯虚数． 解方程r2＝2r﹣a，得r＝或r＝（a≤1）． 故z＝±（）i（a≤1）． 综上所述，原方程的解的情况如下： 当a＜0时，解为：z＝±（）i； 当0≤a≤1时，解为：z＝±（），z＝±（）i； 当a＞1时，解为：z＝±（）i． 48．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）因为|z|＝||，故|z1+A||z2+A|＝|z1+A|||，展开与已知式子比较可得解题思路． （2）利用复数的除法运算的算法和（1）中的结论可证． 【解答】证明：（1）∵ 所以|z1+A||z2+A|＝|A|2 （2）∵A≠0，由此得z1+A≠0，z2+A≠0， ＝． 49．【答案】见试题解答内容 【分析】由复数的三角形式和辐角主值可直接求解． 【解答】解：设Z1，Z3对应的复数分别为z1，z3， 依题设得＝＝， ＝＝． 50．【答案】见试题解答内容 【分析】设第三个顶点所表示的复数为z，因为是正三角形，三边长相等，即复数的模相等，夹角60°，化简求解． 【解答】解：设第三个顶点所表示的复数为z那么根据题意，z﹣2和的模相等，辐角差为，因而 ； ， ，∴ 51．【答案】见试题解答内容 【分析】由题意两个虚数根z1，z2是共轭复数，可得椭圆的短轴长：2b＝|z1+z2|＝2|p|，焦距为2c＝|z1﹣z2|，然后求出长轴长． 【解答】解：因为p，q为实数，p≠0，z1，z2为虚数， 所以（﹣2p）2﹣4q＜0，q＞p2＞0 由z1，z2为共轭复数，知Z1，Z2关于x轴对称， 所以椭圆短轴在x轴上，又由椭圆经过原点， 可知原点为椭圆短轴的一端点 根据椭圆的性质，复数加，减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系， 可得椭圆的短轴长＝2b＝|z1+z2|＝2|p|， 焦距离＝2c＝|z1﹣z2|＝， 长轴长＝2a＝． 52．【答案】（1）（0，1）； （2）（）． 【分析】（1）根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解； （2）根据已知条件，先求出点B，C，再结合投影向量的公式，即可求解． 【解答】（1）因为， 所以． 因为复数在复平面内对应的点（m2﹣4m，2（1﹣m））在第二象限， 所以，解得0＜m＜1， 故实数m的取值范围是（0，1）； （2）， 则，， z2，在复平面（O为坐标原点）内对应的点分别为B，C， 则点B（0，1），C（1，2）， ，， 故＝＝（）． 53．【答案】（1）1；（2）详见证明过程． 【分析】（1）设z1＝a+bi，（a，b∈R，且b≠0），表示出z2，由z2是实数，即可求出z1的值； （2）表示出ω，由b≠0，可证明ω为纯虚数． 【解答】1）解：设z1＝a+bi，（a，b∈R，且b≠0）， 则z2＝z1+＝a+bi+＝（a+）+（b﹣）i， ∵z2是实数，b≠0，∴a2+b2＝1， ∴|z1|＝＝1． （2）证明：∵＝＝＝﹣bi， ∵b≠0， ∴ω为纯虚数． 54．【答案】（1）﹣2；（2）（1，6）． 【分析】（1）根据纯虚数的定义可得到解方程即可； （2）根据复数对应的点在复平面的第四象限内可以得到，解不等式即可． 【解答】解：（1）z是纯虚数，只需，解得a＝﹣2． （2）由题意知， 解得1＜a＜6， 故当1＜a＜6时，z所对应的点在复平面的第四象限内． 55．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）复数z可表示为z＝（2+i）m2﹣2（1﹣i）＝2m2﹣2+（m2+2）i．只需令m2+2≠0即可； （2）只需2m2﹣2＝0，且m2+2≠0即可； （3）只需2m2﹣2＝﹣（m2+2）即可． 【解答】解：由于m∈R，复数z可表示为z＝（2+i）m2﹣2（1﹣i）＝2m2﹣2+（m2+2）i． （1）当m2+2≠0，即m∈R时，z为虚数． （2）当2m2﹣2＝0，且m2+2≠0，即m＝±1时，z为纯虚数． （3）当2m2﹣2＝﹣（m2+2），即m＝0时，z为复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/5/17 15:22:25；用户：Damon；邮箱：13120434074；学号：24730468 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$