第六章 平面向量线性运算的应用-高中数学必修第二册精选易错题练习（人教B版2019)

精选易错题练习—【第六章】 平面向量线性运算的应用 一．选择题（共22小题） 1．河水的流速为5m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以12m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为（　　） A．13m/s B．12m/s C．17m/s D．15m/s 2．某学生体重为mkg，处于如图所示的平衡状态，假设他每只胳膊的最大拉力大小均为mgN（重力加速度大小为g），如果要使胳膊得到充分的锻炼，那么他两只胳膊的夹角最大为（　　） A． B． C． D． 3．已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为20N，合力与F1的夹角为30°，那么F1的大小为（　　） A．N B．10 N C．20 N D．N 4．某人在高为hm的楼上水平抛出一块石子，速度为v，则石子落地点与抛出点的水平位移的大小是（　　） A．v B．|v| C．v D．|v| 5．空间作用在同一点的三个力两两夹角为60°，大小分别为，设它们的合力为，则（　　） A．，且与夹角余弦为 B．，且与夹角余弦为 C．，且与夹角余弦为 D．，且与夹角余弦为 6．一物体在力F（x）＝4x﹣1（单位：N）的作用下，沿着与力F相同的方向，从x＝1m处运动到x＝3m处，则力F（x）所做的功为（　　） A．10J B．12J C．14J D．16J 7．甲乙两船同时航行，甲以8km/h的速度向东，乙以6km/h的速度向南．问从乙船的人看来，甲的速度大小和方向分别为（　　） A．10km/h，东偏南37度 B．10km/h，东偏北37度 C．12km/h，东偏南37度 D．12km/h，东偏北37度 8．若同一平面内的三个力，，作用于同一个物体，且该物体处于平衡状态．已知||＝3，||＝4，且与的夹角为120°，则力的大小为（　　） A．37 B． C．13 D． 9．如图所示，力作用在小车上，其中力的大小为10 N，方向与水平面成30°角，当小 车向前运动10 m时，力做的功为（　　） A．100J B．50J C． D．200J 10．一物体受到夹角为60°的两个力f1、f2的作用，两个力大小都为2N，则这两个力的合力的大小为（　　） A．4N B．2N C．6N D．N 11．已知作用在坐标原点的三个力＝（3，4），＝（2，﹣5），＝（3，1），则作用在原点的合力＝++的坐标为（　　） A．（8，0） B．（8，8） C．（﹣2，0） D．（﹣2，8） 12．如图，甲、乙两人同时拉动一个物体，当甲、乙所拉的绳子与铅垂线分别成30°和60°的角时，甲和乙手上所承受的力的大小的比是（　　） A．1： B．：1 C．1： D．：1 13．如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为60°．已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同．若重力加速度g取9.8m/s2，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为（　　） A．2.25N B．2.45N C．2.5N D．2.75N 14．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包，假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且||＝||，与的夹角为θ，下列结论中正确的是（　　） A．θ越小越费力，θ越大越省力 B．θ的范围为[0，π] C．当θ＝时，||＝|| D．当θ＝时，||＝|| 15．加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为350N，则该学生的体重（单位：kg）约为（　　） （参考数据：取重力加速度大小为） A．55 B．61 C．66 D．71 16．一个物体在平面内受到三个力F1、F2、F3的作用，它们的大小依次为10N，8N和6N，方向依次为北偏东30°、北偏东60°、北偏西30°，物体在合力方向移动了10米，则合力所做功的大小最接近（　　） A．100焦耳 B．150焦耳 C．200焦耳 D．250焦耳 17．一条渔船以6km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h，则这条渔船实际航行的速度大小为（　　） A．km/h B．km/h C．2km/h D．3km/h 18．一质点在平面上的三个力F1，F2，F3的作用下处于平衡状态，已知F1，F2成90°角，且F1，F2的大小分别为2N和4N，则F3的大小为（　　） A．6N B．2N C． D． 19．人骑自行车的速度为v1，风速为v2，则逆风行驶驶的速度为（　　） A．v1﹣v2 B．v1+v2 C．|v1|﹣|v2| D． 20．已知两个力，的夹角为，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为，那么的大小为（　　） A．5N B． C． D．10N 21．已知两个力的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为60°，那么的大小为（　　） A．N B．5N C．10N D．N 22．已知作用在点A的三个力＝（3，4），＝（2，﹣5）．＝（3，1），且A（1，1），则合力＝++的终点坐标为（　　） A．（9，1） B．（1，9） C．（9，0） D．（0，9） 二．多选题（共4小题） （多选）23．在日常生活中，我们会看到两人共提一个行李包的情景（如图）．假设行李包所受重力为，两个拉力分别为，，且此时处于平衡状态，若||＝||，与的夹角为θ，则以下结论正确的是（　　） A．|+|为定值 B．θ的取值范围为[0，π] C．当θ＝90°时，||＝|| D．当θ＝120°时，||＝|| （多选）24．如图所示，小船被绳索拉向岸边，设船在水中运动时水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是（　　） A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不断变小 C．船的浮力不断小 D．船的浮力保持不变 （多选）25．一物体受到3个力的作用，其中重力G的大小为2Ν，水平拉力F1的大小为1Ν，力F2未知，则（　　） A．当该物体处于平衡状态时，|F2|＝Ν B．当物体所受合力为F1时，|F2|＝Ν C．当|F2|＝1Ν时，（﹣1）Ν≤|F1+F2+G|≤（+2）Ν D．当|F2|＝1Ν时，必存在实数λ，使得G＝F2+λF1 （多选）26．一物体受到3个力的作用，其中重力G的大小为4N，水平拉力F1的大小为3N，另一力F2未知，则（　　） A．当该物体处于平衡状态时，|F2|＝5N B．当F2与F1方向相反，且|F2|＝5N时，物体所受合力大小为0 C．当物体所受合力为F1时，|F2|＝4N D．当|F2|＝2N时，3N≤|F1+F2+G|≤7N 三．填空题（共12小题） 27．一个重20N的物体从倾斜角为30°，长为1m的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是　 　． 28．如图，用两条绳提起一个物体处于平衡状态，此时每条绳用力5N，且两条绳的夹角是120°，则物体G的重量是　 　N． 29．一艘船以4km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知水流速度为2km/h，则经过2h，船的实际航程为 　 　km． 30．一辆小车在拉力的作用下沿水平方向前进了||m，拉力的大小为||N，方向与小车前进的方向所成角为α，如图所示，则所做的功W＝　 　． 31．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成90°角，且F1，F2的大小分别为1和2，则F3的大小为　 　． 32．作用于原点的两个力F1＝（1，1），F2＝（2，3），为使它们平衡，需加力F3＝　 　． 33．如图所示，把一个物体放在倾斜角为30°的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力F1，垂直斜面向上的弹力F2．已知|F1|＝80N，则G的大小为 　 　，F2的大小为 　 　． 34．一纤夫用纤绳拉船沿直线方向前进60m，若纤绳与前进方向的夹角为，此人的拉力为50N，则纤夫对船所做的功为 　 　J． 35．一条河的两岸平行，河的宽度为480m，一艘船从某岸的A处出发到河对岸，已知船的速度，水流的速度，当行驶航程最短时，所用的时间是　 　min，若＝（2，1），＝（3，4），则向量在向量方向上的投影为　 　． 36．已知力F的大小|F|＝10，在F的作用下产生的位移s的大小|s|＝14，F与s的夹角为60°，则F做的功为 　 　． 37．已知一条向正东方向流淌的河的河水流速为3m/s．若一条小渔船以3m/s的速度向正北方向航行，则该船的实际航速是 　 　，该船行驶的实际方向与水流方向所成角的度数为 　 　． 38．已知F＝（2，3）作用一物体，使物体从A（2，0）移动到B（4，0），则力F对物体做的功为 　 　． 四．解答题（共18小题） 39．如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知物体所受的重力大小为50N，求每条绳上的拉力大小． 40．已知作用在原点上的三个力＝（﹣1，﹣2），＝（3，2），＝（﹣1，2），求这些力的合力的坐标． 41．画两条有向线段，分别表示一个竖直向下、大小为18N的力和一个水平向左、大小为28N的力．（用1cm长表示10N） 42．一条柔软的绳子中点处悬挂了一个重物，使绳子下垂所成的夹角为θ．设物体所受重力为G，求绳子两边所受拉力的大小． 43．如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度d＝500m，一艘船从A点出发航行到河对岸，船航行速度的大小为|v1|＝10km/h，水流速度的大小为|v2|＝4km/h，设v1和v2的夹角为θ（0°＜θ＜180°）． （1）当船能垂直到达对岸时，求cosθ的值； （2）当船垂直到达对岸时，航行所需时间是否最短？请说明理由． 44．如图，质量为m的物体静止地放在斜面上，斜面与水平面的夹角为θ，求斜面对物体的摩擦力f．用向量的坐标运算解． 45．如图，有一端B固定的细绳BOA，在与水平面成30°角的OA方向上作用着一个大小为100N的力，此时BO呈水平状，而点O所吊的砝码静止．求这个砝码的质量．作用在OB方向上的力有多大？（g＝10N/kg）． 46．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为120°时，合力的大小为40N，当它们的夹角为60°时，求合力的大小． 47．如图（1）所示，把一个物体放在倾角为30°的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力F，垂直斜面向上的弹力F．已知|G|＝100N，求F1，F2的大小． 48．如图，一艘船从长江南岸点A出发，向垂直于对岸的方向行驶，速度的大小为6km/h，同时江水的速度为向东2km/h． （1）试用向量表示江水速度、船速以及该船实际航行的速度； （2）求船实际航行速度的大小（精确到0.1km/h）与方向（精确到1°）． 49．A、B两车相距20m，A在前B在后，沿同一方向运动，A车以2m/s的速度做匀速直线运动，B以大小为2.5m/s2的加速度做匀减速直线运动，若要B追上A，则B的初速度应满足什么条件？ 50．小船向正东方向行驶了10km，又向正北方向行驶了17.3km．求小船两次位移的合位移． 51．平面向量在几何中有哪些应用？在利用平面向量解决物理问题时，一般包括哪些解题步骤？ 52．两个力＝+2，＝3﹣4（其中，是x轴，y轴正方向上的单位向量）作用于同一质点，使该质点从A（2，5）移动到B（6，7）．求： （1），分别对该质点所做的功； （2），的合力对该质点所做的功． 53．作用于同一点的三个力F1，F2，F3平衡．已知F1＝30N，F2＝50N，F1与F2之间的夹角是60°，求F3的大小与方向（精确到0.1°）． 54．已知图中电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力F1的大小为24N；绳BO与墙壁垂直，所受拉力F2的大小为12N．求F1和F2的合力． 55．一艘船在静水中的速度为4km/h，水流速度为2km/h， （Ⅰ）船应该沿怎样的方向行驶，才能使船沿与水流垂直的方向驶向对岸，此时船的实际速度是多少？ （Ⅱ）若船径直驶向对岸，则船实际沿什么方向前进？速度大小为多少？ 56．如图所示，把一个物体放在倾角为30°的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力F1，垂直斜面向上的弹力F2．已知|F1|＝30N，求G．F2的大小． 精选易错题练习—【第六章】 平面向量线性运算的应用 参考答案与试题解析 一．选择题（共22小题） 1．【答案】A 【分析】为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，即：静水速度v1斜向上游方向，河水速度v2＝2m/s平行于河岸，静水速度与河水速度的合速度v＝12m/s指向对岸，由此能求出静水速度． 【解答】解：设河水的流速v2＝5m/s， 静水速度与河水速度的合速度v＝12m/s， 小船的静水速度为v1， ∵为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向， 即：静水速度v1斜向上游方向， 河水速度v2＝5m/s平行于河岸， 静水速度与河水速度的合速度v＝12m/s指向对岸， ∴静水速度＝＝13（m/s）． 故选：A． 2．【答案】B 【分析】利用平面向量的物理意义得到|+|＝mg，再利用平面向量的数量积运算求解即可． 【解答】解：设他两只胳膊的拉力最大时，两只胳膊的最大夹角为θ， 设他每只胳膊的拉力为，，则||＝||＝mgN， ∵|+|＝mg，∴++2•＝（mg）2， ∴（mg）2+（mg）2+2×（mg）2×cosθ＝（mg）2， ∴cosθ＝，∵θ∈[0，π]， ∴θ＝， 故选：B． 3．【答案】A 【分析】设向F1，F2的对应向量分别为、，在矩形OACB中根据∠COA＝30°，＝20，可得＝10，由此即得力F1的大小． 【解答】解：设向F1，F2的对应向量分别为、 以OA、OB为邻边作平行四边形OACB如图，则＝+，对应力F1，F2的合力 ∵F1，F2的夹角为90°，∴四边形OACB是矩形 在Rt△OAC中，∠COA＝30°，＝20 ∴＝cos30°＝10 故选：A． 4．【答案】B 【分析】求出石子的落地时间，再计算水平位移的大小． 【解答】解：设石子的落地时间为t，则gt2＝h，解得t＝， 所以石子落地点与抛出点的水平位移的大小s＝|v|t＝|v|． 故选：B． 5．【答案】C 【分析】设三个力对应的向量分别为、、，以OA、OB、OC为过同一个顶点的三条棱，作平行六面体如图，再以平面OBGC为xoy平面，O为原点、OC为y轴建立如图空间直角坐标系．分别算出点A、B、C的坐标，运用向量的加法法则，可得＝（﹣，，）．最后利用向量模的公式算出||，并且利用向量夹角公式算出与夹角余弦，即得本题答案． 【解答】解：设向量＝，＝，＝ 以OA、OB、OC为过同一个顶点的三条棱， 作平行六面体OBGC﹣ADEF，如图所示 则可得向量＝ 以平面OBGC为xoy平面，O为原点， OC为y轴建立空间直角坐标系，如图所示 可得O（0，0，0），B（﹣，1，0），C（0，3，0） 设A（x，y，z），可得，解之得x＝﹣，y＝，z＝． ∴＝＝（﹣，，）， 结合＝＝（﹣，1，0），＝＝C（0，3，0），可得＝（﹣，，） ∴||＝＝5 设与1所成的角为θ，可得cosθ＝＝＝ 即与1所成角的余弦之值为 故选：C． 6．【答案】C 【分析】由物理学知识知，变力F（x）所做的功对应“位移﹣力”图中的面积，进而计算可得答案． 【解答】解：根据题意，作出“位移﹣力”图， 图中阴影部分的面积＝14． 故选：C． 7．【答案】B 【分析】原问题可理解为乙船静止不动，甲船沿着东北方向航行，作出示意图，结合平面向量的线性运算法则，得解． 【解答】解：根据题意，作出如下示意图， 图中，||＝8，||＝6，所以||＝10，tan∠AOC＝＝，即∠AOC＝37°， 从乙船的人来看，甲是沿着的正方向航行， 所以甲的速度大小为10km/h，方向为东偏北37°． 故选：B． 8．【答案】D 【分析】由题意可知，＝0，所以＝﹣（），两边平方，再结合向量的数量积运算求解即可． 【解答】解：由题意可知，＝， 所以＝﹣（）， 所以||2＝＝（）2＝＝32+2×3×4×cos120°+42＝13， 所以||＝， 即力的大小为． 故选：D． 9．【答案】C 【分析】根据已知条件，结合向量的夹角公式，即可求解． 【解答】解：设小车的位移为s， 则|S|＝10m， 故W＝＝＝． 故选：C． 10．【答案】C 【分析】根据已知条件，先求出f1、f2与合力的夹角均为30°，再结合两个力大小都为2N，即可求解． 【解答】解：由题意可得，f1、f2与合力的夹角均为30°，两个力大小都为2N， 则这两个力的合力的大小为N． 故选：C． 11．【答案】A 【分析】根据平面向量的坐标运算公式，计算即可． 【解答】解：＝（3，4），＝（2，﹣5），＝（3，1）， 则＝++＝（3+2+3，4﹣5+1）＝（8，0）． 故选：A． 12．【答案】D 【分析】根据受力平衡建立等式，即可求． 【解答】解：如图，在点O处受力平衡， 在水平方向上有：|F甲|sin30°＝|F乙|sin60°， ∴|F甲|：|F乙|＝：1． 故选：D． 13．【答案】B 【分析】根据8根绳子的合力大小与礼物的重力大小相等，列方程求出拉力的大小． 【解答】解：由题意知，8根绳子的合力大小与礼物的重力大小相等， 设每根绳子的拉力为T，则8Tcos60°＝1×9.8， 解得N＝2.45（N）． 故选：B． 14．【答案】C 【分析】根据题意，有+＝，且||＝||，据此分析选项是否正确，即可得答案． 【解答】解：根据题意，如图：依次分析选项： 对于A，由于+＝，且||＝||，则有||cos＝||，又由||为定值，故θ越小越省力，θ越大越费力，A错误； 对于B，θ的取值范围是[0，π），B错误； 对于C，当θ＝时，有||cos＝||，变形可得||＝||，C正确； 对于D，当θ＝时，有||cos＝||，变形可得||＝||，D错误； 故选：C． 15．【答案】B 【分析】用向量表示两只胳膊的拉力的大小和方向，它们的合力与体重相等，求出，再化为千克即得． 【解答】解：如图，， 作平行四边形OACB，则OACB是菱形，， ， 所以， 因此该学生体重为． 故选：B． 16．【答案】C 【分析】根据题意画出图形，结合图形利用正交分解法求出F1、F2、F3的合力大小，再计算合力所做的功． 【解答】解：画出图形，如图所示， 利用正交分解法知，F1、F2、F3分别在东西方向的合力大小为10sin30°+8sin60°﹣6sin30°＝4+2， 在南北方向上的合力大小为10cos30°+8cos60°+6cos30°＝8+4， 所以F1、F2、F3的合力大小＝（4+2）＝4+2≈4×4+2×2＝20， 物体在合力方向移动了10米，则合力所做功的大小最接近20×10＝200（焦）． 故选：C． 17．【答案】A 【分析】根据题意，画出图形，结合图形，利用平面向量的合成法则，求出渔船实际航行的速度大小． 【解答】解：如图所示， 渔船实际航行的速度为＝+； 大小为||＝|+|＝＝2km/h． 故选：A． 18．【答案】C 【分析】根据题意，可知，再平面向量数量积运算可解． 【解答】解：根据题意，， 所以， 故＝+2， 又F1，F2成90°角，则，＝0， 则＝＝2²+4²＝20， 则F3的大小为2N， 故选：C． 19．【答案】A 【分析】根据数量关系，逆风行驶的速度＝人骑自行车的速度﹣风速，即可得出结论． 【解答】解：∵人骑自行车的速度是v1，风速为v2， ∴逆风行驶的速度为：v1﹣v2， 故选：A． 20．【答案】B 【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，以及平面向量的夹角公式，即可求解． 【解答】解：∵两个力，的夹角为， ∴， ∵它们的合力大小为10N，合力与的夹角为， ∴＝＝，解得． 故选：B． 21．【答案】A 【分析】此题考查的是向量在物理中的应用．在解答时，影响根据信息画出平行四边形，结合已知向量的大小和向量间的夹角，通过运算或直接解直角三角形进行问题的解答即可． 【解答】解：由题意可知：对应向量如图 由于α＝60°，∴的大小为||•sin60°＝10×＝． 故选：A． 22．【答案】A 【分析】先根据向量的加法运算法则求出作用于A点的三个力F1＝（3，4），F2＝（2，﹣5），F3＝（3，1）的合力F，再设合力F＝F1+F2+F3的终点为B（x，y），由题意得：＝（8，0），即可得到合力F＝F1+F2+F3的终点坐标． 【解答】解：∵作用于A点的三个力F1＝（3，4），F2＝（2，﹣5），F3＝（3，1），且A（1，1）， 则合力F＝F1+F2+F3＝（3，4）+（2，﹣5）+（3，1）＝（8，0）， 设合力F＝F1+F2+F3的终点为B（x，y），由题意得：＝（8，0）， 即（x，y）﹣（1，1）＝（8，0），∴（x，y）＝（9，1）． 故选：A． 二．多选题（共4小题） 23．【答案】ACD 【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，当方向相同时，有+＝，，此时||取得最小值，且的最小值为，A正确； 对于B，当θ＝π时，有+＝，行李包不会处于平衡状态，即θ≠π，B错误； 对于C，当行李包处于平衡状态时，+＝，若θ＝90°，则有（+）2＝2，变形可得2+2＝2，即，C正确； 对于D，若θ＝120°，则有（+）2＝＝2，即，D正确； 故选：ACD． 24．【答案】AC 【分析】设水的阻力为，绳子的拉力为，与水平方向的夹角为，利用，结合余弦函数的单调性逐一分析判断即可． 【解答】解：设水的阻力为，绳子的拉力为，与水平方向的夹角为， 则， 所以， 因为θ增大，cosθ减小，则增大， 因为增大，且加上浮力等于船的重力， 所以船的浮力减小． 故选：AC． 25．【答案】ABD 【分析】根据向量的加法与减法的运算法则，依次讨论各选项即可得到答案． 【解答】解：对于A，当该物体所受合力处于平衡状态时，如图1， 此时，的合力大小为2N，方向与重力方向相反，∴||＝，故A正确； 对于B，当物体所受合力为时，结合向量加法的平行四边形法则，如图2，||＝，故B正确； 对于C，当||＝1N时，设重力与水平拉力的合力为，大小为||＝，如图3， 当与方向相同时，||取得最大值（+1）N＜ 当与方向相反时，||取得最小值（﹣1）N， 故（）N≤（|≤（）N，故C错误； 对于D，当||＝1N时，若存在实数λ，使得＝+， 则＝4+1﹣2×2×1×cosθ＝5﹣4cosθ∈[1，9]， 其中θ为力的夹角，∴存在实数λ，使得＝，故D正确． 故选：ABD． 26．【答案】ACD 【分析】选项A中，根据物体处于平衡状态时合力为0求出F2的大小； 选项B中，根据F2与F1方向相反且|F2|＝5N时求出物体所受合力大小； 选项C中，物体所受合力为F1时F2与重力互为反作用力； 选项D中，根据F1与G的合力大小求出|F1+F2+G|的取值范围． 【解答】解：对于A，当该物体处于平衡状态时，|F2|＝|F1+G|＝＝5（N），选项A正确； 对于B，当F2与F1方向相反，且|F2|＝5N时，物体所受合力大小为＝2（N），选项B错误； 对于C，当物体所受合力为F1时，F2的方向竖直向上，且|F2|＝4N，选项C正确； 对于D，当|F2|＝2N时，因为F1与G的合力大小为|F1+G|＝5N，所以3N≤|F1+F2+G|≤7N，选项D正确． 故选：ACD． 三．填空题（共12小题） 27．【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，重力所做的功等于重力对应向量与物体位移对应向量的数量积，因此算出两个向量的模与它们的夹角，利用数量积计算公式即可得出重力所做的功． 【解答】解：如图所示，该物体受到的下滑力是重力G沿斜面向下的分力 设这个力为F，则F与重力G夹角为90°﹣30°＝60° ∴该物体从1m的光滑斜面下滑到底端，重力做的功为 W＝•＝||•||•cos60＝20×1×cos60°＝10J． 故答案为：10J． 28．【答案】见试题解答内容 【分析】由题意，物体G的重量是每条绳用力的合力的大小，根据每条绳用力5N，且两条绳的夹角是120°，可得，利用＝，可得结论． 【解答】解：由题意，物体G的重量与每条绳用力的合力的大小相等 根据每条绳用力5N，且两条绳的夹角是120°，可得 ∴＝＝25+25+2•5•5•cos120°＝25 ∴每条绳用力的合力的大小为5N ∴物体G的重量为5N． 故答案为：5 29．【答案】 【分析】利用向量的加法的平行四边形法则，结合余弦定理求解合速度，即可求得答案． 【解答】解：如图，设水流速度与船速度的合速度为， 在△OAB中，A＝60°，OA＝2，AB＝4， 由余弦定理可得，OB2＝OA2+AB2﹣2OA•AB•cos60°＝， 所以OB＝， 则km/h，即船的实际速度为km/h， 故经过2h，该船的实际航程为＝km． 故答案为：． 30．【答案】． 【分析】先求出拉力在水平方向的分力，再求出所做的功W． 【解答】解：拉力 可以分解为与 平行 （ 水平方向 ） 的分力 和与 垂直 （ 坚直方向 ） 的分力 之和， 即，其中 ， 所以力 对物体所做的功 ． 故答案为：． 31．【答案】见试题解答内容 【分析】根据F1⊥F2可得出F1F2＝0，然后根据题意即可得出，进行数量积的运算即可． 【解答】解：∵F1，F2成90°角， ∴F1•F2＝0， ∴根据题意得， |F3|＝|F1+F2| ＝ ＝ ＝ ＝． 故答案为：． 32．【答案】见试题解答内容 【分析】先求出作用于原点的两个力的合力，然后为使它们平衡则+＝，从而求出需加力． 【解答】解：＝（1，1）+（2，3）＝（3，4） 为使它们平衡则+＝ ∴＝﹣（）＝（﹣3，﹣4） 故答案为：（﹣3，﹣4） 33．【答案】见试题解答内容 【分析】根据力的合成及向量加法的平行四边形法则即可画出图形，结合条件及图形即可求出G和F2的大小． 【解答】解：根据题意，，如图所示： ∠CAO＝90°，∠AOC＝30°，AC＝80， ∴， ∴G的大小为160N，F2的大小为80N． 故答案为：． 34．【答案】1500． 【分析】直接利用向量的夹角和数量积运算求出结果． 【解答】解：沿直线方向前进60m，若纤绳与前进方向的夹角为，此人的拉力为50N， 故纤夫对船所做的功为：J． 故答案为：1500． 35．【答案】见试题解答内容 【分析】根据平行四边形法则把船速分解，得到垂直于河岸的速度，根据所给的河的宽度和船速得到时间，注意单位要统一，根据一个向量在另一个向量上的投影公式做出投影． 【解答】解：∵河的宽度为480m，船的速度 ∴当行驶航程最短时， 需要使得航行的路线是与河岸垂直， 在垂直与河岸的分速度是＝12 ∴过河需要＝0.04小时， ∴0.04×60＝2.4（分钟） ∵＝（2，1），＝（3，4） ∴向量在向量方向上的投影为||cosθ＝2 故答案为：2.4；2． 36．【答案】70． 【分析】根据力做功公式计算即可． 【解答】解：根据题意知，力F做的功为W＝||||cos60°＝10×14×＝70． 故答案为：70． 37．【答案】6m/s，60°． 【分析】根据题意，设河水流速为，小渔船的速度为，则该船的实际航速+，求出+的模可得第一空答案，结合正切函数的定义分析可得第二空答案． 【解答】解：根据题意，如图：设河水流速为，小渔船的速度为， 则该船的实际航速+，且|+|2＝2+2＝36， 则|+|＝＝6， 设该船行驶的实际方向与水流方向所成角为θ，tanθ＝＝，则θ＝60°， 故答案为：6m/s，60°． 38．【答案】见试题解答内容 【分析】根据力F对物体作的功为W＝•，利用平面向量的数量积计算即可． 【解答】解：根据题意，力F对物体做的功为 W＝•＝（2，3）•（4﹣2，0﹣0） ＝2×2+3×0 ＝4． 故答案为：4． 四．解答题（共18小题） 39．【答案】25N． 【分析】根据题意，利用物体所受的重力等于两条绳上拉力的合力，求解即可． 【解答】解：由题意知，物体所受的重力||＝50N， 所以两条绳上的拉力为||＝||＝||cos45°＝50×＝25（N）． 40．【答案】见试题解答内容 【分析】根据向量的几何意义和力的合成，只需将三个力的坐标相加，即可得到它们的合力． 【解答】解：根据力的合成的意义，可知 ＝（﹣1，﹣2）+（3，2）+（﹣1，2）＝（1，2）． 故合力的坐标为（1，2）． 41．【答案】见解答． 【分析】根据向量的几何意义画出有向线段即可． 【解答】解：画有向线段，如图所示：表示一个竖直向下，大小为18N的力； 表示一个水平向左、大小为28N的力 42．【答案】． 【分析】利用向量的平行四边形法则即可得． 【解答】解：如图，绳子两边所受拉力为，，则||＝||， 由力的平衡得+＝﹣，即+＝，则2＝，即|＝||＝， 所以绳子两边所受拉力的大小为． 43．【答案】（1）cosθ＝﹣； （2）当船垂直到达对岸时，航行所需时间不是最短，理由详见解析． 【分析】（1）根据题意画出图形，结合图形求出船垂直到达对岸时cosθ的值； （2）船垂直到达对岸时航行所需时间不是最短，计算船垂直到达对岸时所需时间和船沿垂直河岸方向航行时到达对岸时所需时间，比较大小即可． 【解答】解：（1）如图所示， |v1|＝10km/h，|v2|＝4km/h， 当船能垂直到达对岸时，cosθ＝cos（+α）＝﹣sinα＝﹣＝﹣＝﹣； （2）当船垂直到达对岸时，航行所需时间不是最短， 因为船垂直到达对岸时，航行速度是v＝＝＝， 所需时间是t＝＝， 船沿垂直河岸方向航行时，到达对岸时航行所需时间是t′＝＝＜， 所以当船垂直到达对岸时，航行所需时间不是最短． 44．【答案】斜面对于物体的摩擦力f的大小为mgsinθN，方向与斜面平行向上． 【分析】记方向垂直于斜面向下、大小为1N的力为，方向平行于斜面向下、大小为1N的力为，以，为基底建立平面直角坐标系，再利用向量的坐标运算求解． 【解答】解：如图，记方向垂直于斜面向下、大小为1N的力为，方向平行于斜面向下、大小为1N的力为， 以，为基底建立平面直角坐标系， 得，，三个力的坐标分别为＝（﹣p，0），＝（0，﹣f），＝（mgcosθ，mgsinθ）， 由++＝，得（mgcosθ，mgsinθ）+（﹣p，0）+（0，﹣f）＝（0，0）， 从而有mgsinθ﹣f＝0，即f＝mgsinθ， 故斜面对于物体的摩擦力f的大小为mgsinθN，方向与斜面平行向上． 45．【答案】见试题解答内容 【分析】先根据O点处的受力分析图，注意是平衡状态．然后根据水平方向、竖直方向的受力各自平衡求解． 【解答】解：由题意做出受力分析如图： 力与力在水平方向上的分力是一对平衡力． 所以． 物体的重力与竖直方向上的分力是一对平衡力， 所以，故砝码质量为5kg． 46．【答案】40． 【分析】根据已知条件，结合平行四边形法则，即可求解． 【解答】解：两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为120°时， 则F合＝2F1cos60°＝F1＝40， 当两个力的夹角为60°时，根据平行四边形法则， 合力大小为F合'＝2F1cos30°＝＝． 47．【答案】|F1|＝50N；|F2|＝50N． 【分析】根据题意，利用平衡条件求解即可． 【解答】解：由题意知，|G|＝100N， 所以|F1|＝|G|sin30°＝100×＝50（N）； |F2|＝|G|cos30°＝100×＝50（N）． 48．【答案】（1）答案见解析；（2）6.3km/h；72°． 【分析】（1）利用向量加法的平行四边形法则画图； （2）利用勾股定理求解船实际航行速度的大小，再求解直角三角形求出船实际航行的方向． 【解答】解：如图所示， 表示船速，表示水速， 以AD，AB为邻边作平行四边形ABCD，则表示船实际航线的速度； （2）在Rt△ABC中，||＝2，||＝6， ∴||＝＝2≈6.3， tan∠CAB＝＝3， ∴∠CAB≈72°， 则船实际航行速度的大小约为6.3km/h；方向与水流速度间的夹角约为72°． 49．【答案】见试题解答内容 【分析】设出B车的初速度v0，根据“B车行驶的路程≥A车行驶的路程+20”，列出不等式，求出B车的初速度v0应满足的条件． 【解答】解：设B车的初速度为v0，要B追上A，应满足 v0t﹣•2.5•t2≥2t+20， 即t2+（2﹣v0）t+20≤0； ∴Δ＝﹣4××20≥0， 即﹣4v0﹣96≥0， 解得v0≤﹣8或v0≥12； ∴B的初速度应大于或等于12m/s． 50．【答案】见试题解答内容 【分析】做出位移合成图，利用勾股定理计算合位移的大小，利用三角函数的定义确定位移的方向． 【解答】解：做出小船位移图如下： 根据勾股定理可知：（km） 设位移方向与正东方向的夹角为θ，则tanθ＝1.73，∴θ＝arctan1.73． 故合位移的大小为20km，与正东方向所成的角为arctan1.73． 51．【答案】见试题解答内容 【分析】根据平面向量的有关知识和意义回答即可． 【解答】解：（1）平面向量解决的几何问题： 1、利用平面向量的加减法、数乘运算、向量共线基本定理可证明线段平行或相等； 2、利用数量积和坐标运算，可以证平行或垂直； 3、可求线段长度、夹角和平面图形面积． （2）利用平面向量解决物理问题的基本步骤： 1、先通过审题将物理问题转化为向量问题（建模）， 2、用向量知识求问题的解， 3、用结果解释物理问题， 4、下结论． 52．【答案】（1）8，4； （2）12． 【分析】（1）结合平面向量数量积的运算求解； （2）结合平面向量数量积的运算求解． 【解答】解：（1）已知两个力＝i+2j，＝3i﹣4j， 则，， 又， 则对该质点所做的功为＝1×4+2×2＝8，对该质点所做的功为＝4； （2），的合力对该质点所做的功为＝＝W1+W2＝8+4＝12． 53．【答案】F3为70N，F3和F1间的夹角为141.8°． 【分析】根据F3和F1，F2的合力F平衡，F3和F在同一直线上，并且大小相等，方向相反，利用余弦定理求出F的大小，再利用正弦定理求出F3和F1间的夹角． 【解答】解：F3应和F1，F2的合力F平衡，所以F3和F在同一直线上，并且大小相等，方向相反，如图所示： 在ΔOF1F中，由余弦定理，得， 由正弦定理，得， 所以∠F1OF≈38.2°，所以∠F1OF3≈141.8°． 答：F3为70N，F3和F1间的夹角为141.8°． 54．【答案】见试题解答内容 【分析】由题意可知，物理处于平衡状态，所以两个力的合力应该与重力是一对平衡力，做出受力分析图即可． 【解答】解：由题意做出受力分析图： 在直角三角形OFF1中，∠OF1F＝60°，即为合力， ∴． 方向竖直向上． 55．【答案】见试题解答内容 【分析】（Ⅰ）根据题意画出图形，结合图形求出船行方向与船行速度大小即可． （Ⅱ）根据图形求出船行方向和船行速度大小． 【解答】解：（Ⅰ）船在静水中的速度为v船＝4km/h，水流速度为v水＝2km/h， 如图①所示， 因为sinα＝＝＝， 所以α＝30°，船应该沿与河岸向上与河岸夹角为90°﹣30°＝60°方向行驶，才能使船沿与水流垂直的方向驶向对岸， 此时船的实际速度大小是v＝v船cos30°＝4×＝2（km/h）． （Ⅱ）如图②所示， 若船径直驶向对岸，则tanβ＝＝＝2，β＝arctan2， 即船实际沿河岸向下与河岸夹角为arctan2的方向前进，速度大小为v＝＝2（km/h）． 56．【答案】60N，30N． 【分析】根据力的合成及向量加法的平行四边形法则画出图形，结合题意即可求出G和F2的大小． 【解答】解：根据题意知，++＝，如图所示： ∠AOC＝90°，∠AOB＝30°，OC＝||＝30， 所以OB＝2OC＝||＝60，OA＝||＝30， 即G的大小为60N，F2的大小为30N． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/5/17 14:52:19；用户：Damon；邮箱：13120434074；学号：24730468 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$