第三章 函数的概念与性质-高中数学必修第一册精选易错题练习（人教B版2019)

精选易错题练习—【第三章】函数的概念与性质 一．选择题（共25小题） 1．下列函数中与f（x）＝2x+2﹣x具有相同的奇偶性的是（　　） A．y＝sinx B．y＝x2+x+1 C．y＝|x| D．y＝|lgx| 2．已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+1）＝f（1﹣x），且f（﹣1）＝1，则f（2021）＝（　　） A．1 B．0 C．﹣2021 D．﹣1 3．函数y＝的定义域为（　　） A．（0，1] B．[1，2） C．（﹣∞，1] D．[1，+∞） 4．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）＝f（x），当x∈（0，1]时，f（x）＝2x+lnx，则f（2021）＝（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣ D． 5．函数y＝x2﹣ln|x|的图象大致为（　　） A． B． C． D． 6．已知函数f（x）＝x﹣2，g（x）＝x3﹣tanx，则下列说法正确的是（　　） A．f（x）•g（x）是奇函数 B．f（x）•g（x）是偶函数 C．f（x）+g（x）是奇函数 D．f（x）+g（x）是偶函数 7．函数f（x）＝（x2﹣2|x|）e|x|的图象大致为（　　） A． B． C． D． 8．已知定义在（﹣∞，+∞）上的增函数f（x）满足对任意x1，x2∈（﹣∞，+∞），都有，且f（0）≠0，f（1）＝6，若2＜f（a+1）＜18，则a的取值范围是（　　） A． B．（﹣1，1） C．（0，2） D．（1，3） 9．若函数f（x）＝的图象关于y轴对称，则常数a＝（　　） A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．0 10．已知函数f（x）＝ax5+bsinx+c，若f（﹣1）+f（1）＝2，则c＝（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D． 11．函数y＝（ex﹣e﹣x）sin|2x|的图象可能是（　　） A． B． C． D． 12．函数f（x）＝，则y＝f（1﹣x）的图象是（　　） A． B． C． D． 13．函数f（x）＝的图象大致为（　　） A． B． C． D． 14．函数f（x）＝xln|x|的图象大致为（　　） A． B． C． D． 15．科技研发是企业发展的驱动力量.2007年至2018年，某企业连续12年累计研发投入达4100亿元，我们将研发投入与经营收入的比值记为研发投入占营收比，这12年间的研发投入（单位：十亿元）用图中的条形图表示，研发投入占营收比用图中的折线图表示． 根据折线图和条形图，下列结论错误的是（　　） A．2012年至2013年研发投入占营收比增量相比2017年至2018年增量大 B．2013年至2014年研发投入增量相比2015年至2016年增量小 C．该企业连续12年来研发投入逐年增加 D．该企业连续12年来研发投入占营收比逐年增加 16．设函数f（x）＝e|x|﹣5cosx﹣x2，则函数f（x）的图象大致为（　　） A． B． C． D． 17．已知函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1），当x＜0时，f（x）＞1，方程y＝ax+表示的直线是（　　） A． B． C． D． 18．下列函数中为偶函数的是（　　） A．y＝|lnx| B．y＝x2﹣2x C． D．f（x）＝2|x| 19．下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（　　） A．y＝lnx B．y＝x C．y＝﹣x3 D．y＝ex+e﹣x 20．定义域为R的奇函数f（x）满足f（x）＝f（﹣x+2），当x∈（0，1]时，f（x）＝x+log2（5x），则＝（　　） A． B．﹣ C． D．0 21．如图所示的图象不可能成为函数y＝f（x）图象的是（　　） A． B． C． D． 22．函数f（x）＝的值域为（　　） A．（0，+∞） B．（1，+∞） C．（0，1） D．（0，3] 23．函数y＝（x3﹣x）•2|x|的图象大致是（　　） A． B． C． D． 24．函数f（x）＝的图象是（　　） A． B． C． D． 25．直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f（x）的图象恰好通过k个整点，则称函数f（x）为k阶整点函数．下列函数不是一阶整点函数的是（　　） A．y＝2sinx+3 B． C．y＝lg（x+2）+1，x∈（3，9） D． 二．填空题（共15小题） 26．已知函数f（x）＝ln（﹣x）+1，f（a）＝4，则f（﹣a）＝　 　． 27．若a∈（，4），将函数f（x）＝2x﹣的图象向右平移2个单位后得曲线C1，将函数y＝g（x）的图象向下平移2个单位后得曲线C2，C1与C2关于x轴对称，若F（x）＝g（x）的最小值为m，且m＞2+，则实数a的取值范围是　 　． 28．已知a为任意的实数，则函数y＝（3lnx﹣x2﹣a）2+x2﹣2ax+a2的最小值为　 　． 29．若函数f（x）＝（a＞0且a≠1）在区间[，+∞）内单调递减，则a的取值范围是　 　． 30．若函数在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围　 　． 31．若函数f（x）＝x2﹣a|x﹣1|在[0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是　 　． 32．若x∈[1，100]，则函数f（x）＝x2﹣lgx的值域为　 　． 33．若函数（x∈R）为奇函数，则ab＝　 　． 34．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，AD＝3，点E、F分别在BC、CD上，且∠EAF＝45°，设∠BAE＝θ，当四边形AECF的面积取得最大值时，则tanθ＝　 　． 35．设函数f（x）＝的最大值为M，最小值为m，则M+m＝　 　． 36．已知函数f（x）＝（x2﹣ax+a）ln（x+1），a∈R的图像经过四个象限，则实数a的取值范围是 　 　． 37．函数f（x）＝|2x﹣1|﹣2lnx的最小值为 　 　． 38．已知实数x1，x2，y1，y2满足：x12+y12＝1，x22+y22＝1，x1x2+y1y2＝0，则的最大值为 　 　． 39．函数为偶函数，则实数n的值为　 　． 40．已知函数f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，定义域都是R，且f（x）+g（x）＝3x﹣x3，则f（﹣1）+g（﹣2）＝　 　． 三．解答题（共10小题） 41．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3． （1）在平面直角坐标系中作出函数f（x）的图象 （2）设函数f（x）的最小值为m，若a＞0，b＞0，c＞0，且++＝，求证：2a+3b+4c≥9． 42．已知函数（m，a为常数，a＞0且a≠1）的图象过点． （1）求实数m，a的值； （2）若函数，试判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由． 43．对于函数f（x）和g（x），定义函数M（x）＝，m（x）＝ （1）若f（x）＝x，g（x）＝2﹣x2，求m（x）的最大值； （2）若f（x）＝x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）＝﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8，记M（x）的最小值为α，m （x）的最大值为β，求α﹣β的值． 44．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x+3|． （1）解不等式f（x）≥3x的解集； （2）设f（x）的最小值为m，且+＝m（a＞0，b＞0），求的最小值． 45．已知，f（x）＝|2x﹣1|+2|x+1|． （Ⅰ）解不等式f（x）≥4； （Ⅱ）设f（x）最小值为m，a+2b+3c＝m，求a2+b2+c2的最小值． 46．求函数y＝的值域． 47．设函数f（x）＝|x+3|+|2x﹣4|的最小值为m． （1）求m的值； （2）若正数a，b满足a+b＝m，求的最大值． 48．已知函数f（x）＝|x﹣1|+2|x﹣2|+4|x﹣t|（t∈R）． （1）若函数f（x）在（3，+∞）上单调递增，求实数t的取值范围； （2）若t＞2，求函数f（x）的最小值． 49．设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x＝1对称，对任意x1，x2∈[0，]，都有f（x1+x2）＝f（x1）•f（x2），且f（1）＝a＞0． （Ⅰ）求f； （Ⅱ）证明f（x）是周期函数； （Ⅲ）记an＝f（2n+），求． 50．设a为实数，函数f（x）＝x2+|x﹣a|+1，x∈R （1）讨论f（x）的奇偶性； （2）求f（x）的最小值． 精选易错题练习—【第三章】函数的概念与性质 参考答案与试题解析 一．选择题（共25小题） 1．【答案】C 【分析】利用定义判断f（x）和选项中函数的奇偶性，得出结论． 【解答】解：f（x）的定义域为R，f（﹣x）＝2﹣x+2x＝f（x）， ∴f（x）是偶函数． 对于A，y＝sinx是奇函数， 对于B，y＝x2+x+1的对称轴为x＝﹣，∴y＝x2+x+1非奇非偶函数， 对于C，|﹣x|＝|x|，∴y＝|x|是偶函数， 对于D，y＝|lgx|的定义域为（0，+∞），故y＝|lgx|为非奇非偶函数． 故选：C． 2．【答案】D 【分析】由奇函数和周期函数的定义推得f（x）的最小正周期为4，计算可得所求值． 【解答】解：f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+1）＝f（1﹣x）， 可得f（﹣x）＝﹣f（x），f（﹣x）＝f（x+2）， 即为f（x+2）＝﹣f（x），即有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x）， 则f（x）的最小正周期为4， 所以f（2021）＝f（4×505+1）＝f（1）＝﹣f（﹣1）＝﹣1， 故选：D． 3．【答案】C 【分析】根据二次根式的性质得到关于x的不等式，解出即可． 【解答】解：由题意得： 2﹣2x≥0， 解得：x≤1， 故函数的定义域是（﹣∞，1]， 故选：C． 4．【答案】A 【分析】利用函数的周期性可知f（2021）＝f（﹣1），利用奇函数的性质可知f（﹣1）＝﹣f（1），进而由已知范围的解析式得解． 【解答】解：依题意，函数f（x）的周期为3，故f（2021）＝f（3×673+2）＝f（2）， 又f（2）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（2+ln1）＝﹣2， ∴f（2021）＝﹣2． 故选：A． 5．【答案】A 【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用单调性进行排除即可． 【解答】解：y＝x2﹣ln|x|为偶函数，故B、D不成立， 当x＞0时，，当时，y＝x2﹣lnx单调递减， 当时，y＝x2﹣lnx单调递增， 故选：A． 6．【答案】A 【分析】判断f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，根据定义可直接得出f（x）•g（x）是奇函数，得出结论． 【解答】解：∵f（x）＝x﹣2，g（x）＝x3﹣tanx， ∴f（﹣x）＝x﹣2＝f（x），g（﹣x）＝﹣x3+tanx＝﹣g（x）， ∴f（x）为偶函数，g（x）为奇函数， ∴f（﹣x）•g（﹣x）＝﹣f（x）g（x），故是奇函数，显然B、C、D均错误； 故选：A． 7．【答案】B 【分析】根据题意，分析可得f（x）为偶函数，排除C，计算f（1）的值，排除AD，即可得答案． 【解答】解：根据题意，f（x）＝（x2﹣2|x|）e|x|，则有f（﹣x）＝（x2﹣2|x|）e|x|＝f（x），即函数f（x）为偶函数，排除C， 又由f（1）＝（1﹣2）e＝﹣e，排除AD； 故选：B． 8．【答案】B 【分析】根据题意，用特殊值法分析可得f（2）＝18，f（0）＝2，据此可得2＜f（a+1）＜18，即f（0）＜f（a+1）＜f（2），结合函数的单调性分析可得答案． 【解答】解：根据题意，函数f（x）满足对任意x1，x2∈（﹣∞，+∞），都有， 若x1＝x2＝1，则有f（2）＝f（1）×f（1）＝18， 若x1＝1，x2＝0，则有f（1）＝f（1）×f（0），变形可得f（0）＝2， 若2＜f（a+1）＜18，即f（0）＜f（a+1）＜f（2）， 又由函数f（x）为定义在（﹣∞，+∞）上的增函数，则有0＜a+1＜2， 解可得：﹣1＜a＜1，即a的取值范围为（﹣1，1）； 故选：B． 9．【答案】A 【分析】由函数为偶函数可由f（﹣1）＝f（1），建立方程解出a，再验证即可． 【解答】解：可知函数f（x）为偶函数，则f（﹣1）＝f（1），即，解得a＝﹣1， 将a＝﹣1代入解析式验证，符合题意． 故选：A． 10．【答案】C 【分析】代入计算并运用函数奇偶性求解即可． 【解答】解：因为f（﹣1）+f（1）＝2， 所以﹣a﹣bsin1+c+a+bsin1+c＝2， 所以c＝1． 故选：C． 11．【答案】A 【分析】由函数的奇偶性可排除选项BC，由特殊点的函数值可排除选项D，进而得出正确答案． 【解答】解：函数的定义域为R，f（﹣x）＝（e﹣x﹣ex）sin|﹣2x|＝﹣（ex﹣e﹣x）sin|2x|＝﹣f（x），为奇函数，故排除选项B，C； 又，且是第一个大于0的零点，故排除选项D． 故选：A． 12．【答案】C 【分析】根据图象的平移和对称即可求出答案． 【解答】解：f（x）＝，则y＝f（1﹣x）的图象是由y＝f（x）的图象， 沿y轴对折，得到y＝f（﹣x）的图象，再向右平移一个单位得到的， 故选：C． 13．【答案】B 【分析】根据题意，用排除法分析：先分析函数的奇偶性排除C、D，再计算f（0）的值，排除A，即可得答案． 【解答】解：根据题意，f（x）＝，有f（﹣x）＝，为非奇非偶函数，可以排除C、D， 又由f（0）＝＝1，排除A； 故选：B． 14．【答案】A 【分析】先根据条件判断函数的奇偶性，结合图象对称关系进行排除，然后利用特殊值的符号是否对应进行判断即可． 【解答】解：f（﹣x）＝﹣xln|﹣x|＝﹣xlnx＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数， 图象关于原点对称，排除B，D， 当x＝时，f（）＝ln||＝ln＜0，排除C， 故选：A． 15．【答案】D 【分析】由折线图和条形图可得答案 【解答】解：由折线图和条形图可得2012年至2013年研发投入占营收比增量相比2017年至2018年增量大， 2013年至2014年研发投入增量相比2015年至2016年增量小， 该企业连续12年来研发投入逐年增加， 该企业连续12年来研发投入占营收比，有增有减 故选：D． 16．【答案】B 【分析】根据函数解析式判断奇偶性，结合极限和特殊值进行排除选项，即可得解． 【解答】解：函数的定义域为R，f（﹣x）＝e|﹣x|﹣5cos（﹣x）﹣（﹣x）2＝e|x|﹣5cosx﹣x2＝f（x），则函数f（x）为偶函数，可排除选项C； 当x→+∞时，f（x）→+∞，可排除选项D； 又，可排除A． 故选：B． 17．【答案】C 【分析】判断a的范围，利用函数的图象经过的特殊点，判断求解即可． 【解答】解：函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1），当x＜0时，f（x）＞1， ∴0＜a＜1，方程y＝ax+， 令x＝0可得y＝，y＝0可得x＝﹣， ∵﹣＞，∴C选项正确． 故选：C． 18．【答案】D 【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可． 【解答】解：A．函数的定义域为（0，+∞），函数为非奇非偶函数 B．函数的对称轴为x＝1，为非奇非偶函数 C．函数为奇函数，不满足条件． D．f（﹣x）＝2|﹣x|＝2|x|＝f（x），函数为偶函数，满足条件， 故选：D． 19．【答案】A 【分析】可看出A的定义域不关于原点对称，从而得出A的函数非奇非偶，容易判断B，C为奇函数，D为偶函数，从而便可得到正确选项． 【解答】解：y＝lnx的定义域为（0，+∞），定义域不关于原点对称； ∴该函数既不是奇函数也不是偶函数． 故选：A． 20．【答案】A 【分析】根据题意，分析可得函数的周期为4，进而可得则＝f（101×4+）＝f（），结合函数的解析式计算可得答案． 【解答】解：根据题意，定义域为R的奇函数f（x）满足f（x）＝f（﹣x+2）， 则有﹣f（﹣x）＝f（﹣x+2），变形可得f（x+2）＝﹣f（x）， 则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即f（x）是周期为4的周期函数， 则＝f（101×4+）＝f（）＝+log22＝， 故选：A． 21．【答案】A 【分析】根据函数的定义即可得解． 【解答】解：函数的自变量和因变量之间满足一对一或多对一的关系，而选项A是一对多的关系，不符合函数的性质． 故选：A． 22．【答案】D 【分析】根据指数函数的性质求出函数的值域即可． 【解答】解：令g（x）＝，则g（x）∈（0，1]， 故f（x）∈（0，3]， 故选：D． 23．【答案】C 【分析】由函数为奇函数，可排除D，由函数零点，可排除A，由特殊点的函数值，可排除B． 【解答】解：f（﹣x）＝（﹣x3+x）•2|x|＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，故排除D； 函数有﹣1，0，1三个零点，故排除A； 当x＝2时，函数值为正数，故排除B． 故选：C． 24．【答案】A 【分析】根据题意，求出函数的定义域，分析可得f（x）为奇函数，排除C、D，进而分析可得在区间（0，）上，有f（x）＜0，排除B；即可得答案． 【解答】解：根据题意，f（x）＝，其定义域为{x|x≠0}， 又由f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，排除C、D； 在区间（0，）上，ln|2x|＜0，则有f（x）＜0，排除B； 故选：A． 25．【答案】D 【分析】根据题意，依次分析选项中函数是否是一阶整点函数，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，y＝2sinx+3，其图象经过一个整点（0，3），是一阶整点函数； 对于B，y＝2cos（x+）﹣1，其图象经过一个整点（0，0），是一阶整点函数； 对于C，y＝lg（x+2）+1，x∈（3，9），其图象经过一个整点（8，2），是一阶整点函数； 对于D，y＝x3﹣2x2，其图象经过2个整点（0，0）、（2，0），不是一阶整点函数； 故选：D． 二．填空题（共15小题） 26．【答案】见试题解答内容 【分析】利用函数的奇偶性的性质以及函数值，转化求解即可． 【解答】解：函数g（x）＝ln（﹣x） 满足g（﹣x）＝ln（+x）＝＝﹣ln（﹣x）＝﹣g（x）， 所以g（x）是奇函数． 函数f（x）＝ln（﹣x）+1，f（a）＝4， 可得f（a）＝4＝ln（﹣a）+1，可得ln（﹣a）＝3， 则f（﹣a）＝﹣ln（﹣a）+1＝﹣3+1＝﹣2． 故答案为：﹣2． 27．【答案】见试题解答内容 【分析】根据C1推出C2，由C2推出g（x），再算出＝（﹣）•2x++2，利用基本不等式即可求出实数a的取值范围． 【解答】解：∵将的图象向右平移2个单位后得曲线C1， ∴曲线C1：p（x）＝2x﹣2﹣， ∵曲线C2，C1与C2关于x轴对称， ∴曲线C2：q（x）＝﹣2x﹣2， ∵将函数y＝g（x）的图象向下平移2个单位后得曲线C2， ∴g（x）＝﹣2x﹣2+2， ∴F（x）＝+g（x）＝﹣+﹣2x﹣2+2＝（﹣）•2x++2， ∵a∈（，4）， ∴﹣＞0，4a﹣1＞0， ∵2x＞0， ∴F（x）≥2+2， ∵F（x）最小值为m且m＞2+， ∴m＝2+2＞2+， 解得：＜a＜2． 综上所述：实数a的取值范围为（，2）． 故答案为：（，2）． 28．【答案】见试题解答内容 【分析】由函数y＝（3lnx﹣x2﹣a）2+x2﹣2ax+a2＝（3lnx﹣x2﹣a）2+（x﹣a）2看成点（x，3lnx﹣x2）到直线y＝x的最小值的平方，即可得函数y的最小值． 【解答】解：由函数y＝（3lnx﹣x2﹣a）2+x2﹣2ax+a2＝（3lnx﹣x2﹣a）2+（x﹣a）2 看成点（x，3lnx﹣x2）到直线y＝x的最小值的平方． 设最小值为d， 则d＝，（x＞0） 令f（x）＝x2+x﹣3lnx，（x＞0）， 可得f′（x）＝， 令f′（x）＝0，可得x＝1． 当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0， ∴当x＝1时， 函数f（x）取得最小值为2． ∴d＝ 故答案为：2． 29．【答案】见试题解答内容 【分析】由题意利用 函数的单调性与导数的关系可得 ，由此求得a的范围． 【解答】解：∵函数f（x）＝（a＞0且a≠1）在区间[，+∞）内单调递减， 当≤x≤1时，f′（x）＝﹣3x2+a≤0，且﹣1+a+≥2a﹣1， ∴，求得0＜a≤， 故答案为：（0，]． 30．【答案】见试题解答内容 【分析】求导函数，利用函数的定义域及函数在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，建立不等式组，即可确定实数k的取值范围． 【解答】解：求导函数可得（x＞0），令f′（x）＝0，可得x＝ ∵函数在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数， ∴ ∴1≤k＜ ∴实数k的取值范围[1，） 故答案为：[1，） 31．【答案】见试题解答内容 【分析】f（x）＝x2﹣a|x﹣1|＝，由题意可得，函数y＝x2﹣ax+a在[1，+∞）单调递增，且y＝x2+ax﹣a在[0，1）单调递增，故有，由此求得实数a的取值范围． 【解答】解：∵f（x）＝x2﹣a|x﹣1|＝， ∴要使f（x）在[0，+∞）上单调递增， 需函数y＝x2﹣ax+a在[1，+∞）单调递增，且y＝x2+ax﹣a在[0，1）单调递增， 故有， 求得0≤a≤2，∴实数a的取值范围是[0，2]， 故答案为：[0，2]． 32．【答案】见试题解答内容 【分析】由于x∈[1，100]，则y＝f（x）＞0，两边取常用对数，再由对数的运算法则，得到lgy＝（2﹣lgx）lgx，令t＝lgx（0≤t≤2），则lgy＝t（2﹣t）＝﹣（t﹣1）2+1，再由二次函数的值域，即可得到所求值域． 【解答】解：由于x∈[1，100]，则y＝f（x）＞0， 则有lgy＝lgx2﹣lgx， 即lgy＝（2﹣lgx）lgx， 令t＝lgx（0≤t≤2）， 则lgy＝t（2﹣t）＝﹣（t﹣1）2+1， 由于t＝1∈[0，2]， 则lgy的最大值为1，即有ymax＝10， 当t＝0或2时，lgy取最小值0，即有ymin＝1． 故值域为：[1，10]． 故答案为：[1，10]． 33．【答案】见试题解答内容 【分析】利用f（0）＝0，即可得出结论． 【解答】解：∵函数（x∈R）为奇函数， ∴f（0）＝＝0， ∴ab＝2016， 故答案为2016． 34．【答案】见试题解答内容 【分析】运用直角三角形的正切函数的定义和三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，注意等号成立的条件，可得所求值． 【解答】解：在直角三角形ABE中，可得BE＝4tanθ，（0＜θ＜arctan）， 在直角三角形ADF中，DF＝3tan（45°﹣θ）， 可得四边形AECF的面积S＝12﹣•4•4tanθ﹣•3•3tan（45°﹣θ） ＝12﹣8tanθ﹣•＝20﹣8（1+tanθ）+•（1﹣） ＝﹣8（1+tanθ）﹣ ≤﹣2＝﹣12， 当且仅当8（1+tanθ）＝，即tanθ＝﹣1，满足0＜θ＜arctan， 四边形AECF的面积取得最大值． 故答案为：﹣1． 35．【答案】见试题解答内容 【分析】函数可化为f（x）＝＝，令，则为奇函数，从而函数的最大值与最小值的和为0，由此可得函数f（x）＝的最大值与最小值的和． 【解答】解：函数可化为f（x）＝＝， 令，则为奇函数， ∴的最大值与最小值的和为0． ∴函数f（x）＝的最大值与最小值的和为1+1+0＝2． 即M+m＝2． 故答案为：2． 36．【答案】见试题解答内容 【分析】g（x）＝x2﹣ax+a，由题意得，g（x）＝0在（﹣1，0）和（0，+∞）上均至少存在一个实根，利用二次函数的性质，即可求解． 【解答】解：∵f（x）＝（x2﹣ax+a）ln（x+1）的图像经过四个象限， f（0）＝0，令g（x）＝x2﹣ax+a， ∴g（x）＝0在（﹣1，0）和（0，+∞）上均至少存在一个实根． 又g（1）＝1＞0， ∴⇒⇒． ∴实数a的取值范围是． 故答案为：． 37．【答案】见试题解答内容 【分析】法一、求出函数定义域，对x分段去绝对值，当0＜x时，分析函数的单调性；当x＞时，利用导数分析单调性并求最小值，即可得到f（x）的最小值． 法二、令g（x）＝|2x﹣1|，h（x）＝2lnx，分别作出两函数的图象，数形结合得答案． 【解答】解：法一、函数f（x）＝|2x﹣1|﹣2lnx的定义域为（0，+∞）． 当0＜x时，f（x）＝|2x﹣1|﹣2lnx＝﹣2x+1﹣2lnx， 此时函数f（x）在（0，]上为减函数， 当x＞时，f（x）＝|2x﹣1|﹣2lnx＝2x﹣1﹣2lnx， 则f′（x）＝＝， 当x∈（，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， ∵f（x）在（0，+∞）上是连续函数， ∴当x∈（0，1）时，f（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，f（x）单调递增． ∴当x＝1时f（x）取得最小值为f（1）＝2×1﹣1﹣2ln1＝1． 故答案为：1． 法二、令g（x）＝|2x﹣1|，h（x）＝2lnx， 分别作出两函数的图象如图： 由图可知，f（x）≥f（1）＝1， 则数f（x）＝|2x﹣1|﹣2lnx的最小值为1． 故答案为：1． 38．【答案】2． 【分析】由题意可设M（x1，y1），N（x2，y2），且•＝0，可得M，N在单位圆上，要求的最大值，看作是M，N到直线x+y﹣1＝0的距离的和的最大值，且可得M，N在直线x+y﹣1＝0的下方，取MN的中点C，过M，N，C点分别作直线的垂线，垂足分别为A，B，D，利用梯形中位线的性质可得2CD＝MA+NB，进而得出结论． 【解答】解：由x12+y12＝1，x22+y22＝1，x1x2+y1y2＝0， 可设M（x1，y1），N（x2，y2），且•＝0， 可得M，N在单位圆上，要求的最大值， 看作是M，N到直线x+y﹣1＝0的距离的和的最大值， 且可得M，N在直线x+y﹣1＝0的下方， 取MN的中点C，过M，N，C点分别作直线的垂线，垂足分别为A，B，D， ∵CD为梯形ABNM 的中位线，∴2CD＝MA+NB， ∵OM⊥ON，∴OC＝，O到直线x+y﹣1＝0的距离为＝， ∴2CD＝MA+NB≤2，当且仅当直线MN的方程为x+y+1＝0时取等号． ∴的最大值为2， 故答案为：2． 39．【答案】见试题解答内容 【分析】根据偶函数的定义可得，f（﹣x）＝f（x）对定义域的任意x都成立即对定义域内的任意的x都成立，从而可求n的值． 【解答】解：根据偶函数的定义可得，f（﹣x）＝f（x）对定义域的任意x都成立， 即对定义域内的任意的x都成立， 整理可得，， ∴， 故答案为：． 40．【答案】见试题解答内容 【分析】由已知中函数f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，定义域都是R，且f（x）+g（x）＝3x﹣x3，求出函数f（x）和g（x）的解析式，进而可得答案． 【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，g（x）是偶函数， f（x）+g（x）＝3x﹣x3， ∴f（﹣x）+g（﹣x）＝﹣f（x）+g（x）＝3﹣x+x3， 故g（x）＝（3﹣x+3x），f（x）＝（3x﹣3﹣x）﹣x3， 故f（﹣1）+g（﹣2）＝（3﹣1﹣31）+1+（3﹣2+32）＝， 故答案为：． 三．解答题（共10小题） 41．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）将函数f（x）化为分段函数的形式，再作图即可； （2）利用权方和不等式直接可以得证． 【解答】解：（1），其图象如下： （2）证明：由（1）可知，m＝﹣3，则， ∴， ∴2a+3b+4c≥32＝9，当且仅当“”时取等号． 42．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据题意，可将A，B两点的坐标代入即可得出关于m，a的方程，解出m＝1，a＝； （2）可得出f（x）＝2x，从而得出，可看出g（x）的定义域为R，并可求出g（﹣x）＝﹣g（x），从而得出g（x）为奇函数． 【解答】解：（1）把的坐标代入，得； 解得； （2）g（x）是奇函数； 理由如下： 由（1）知f（x）＝2x，∴； ∴函数g（x）的定义域为R； 又； ∴函数g（x）为奇函数． 43．【答案】（1）1． （2）﹣16 【分析】（1）根据m（x）的定义，解出m（x）解析式，对应的求出m（x）的最大值． （2）根据定义式可以解出M（x），m（x），然后再根据函数解析式，分别求出α，β，可得出α﹣β的值． 【解答】解：（1）由题意可知，m（x）＝， 由函数解析式可知，m（x）在x∈（﹣∞，﹣2]，（﹣2，1）上单调递增，在x∈[1，+∞）单调递减， 又∵m（﹣2）＝﹣2，m（1）＝1， ∴m（x）的最大值为1． （2）由题意可知，M（x）＝， m（x）＝， 由二次函数的性质可知，M（x）在x∈（﹣∞，a﹣2]，（a﹣2，a+2）上单调递减，在x∈[a+2，+∞）上单调递增； 又因为，M（a﹣2）＝12﹣4a，M（a+2）＝﹣4﹣4a， ∴M（x）的最小值为α＝﹣4﹣4a； 由二次函数的性质可知，m（x）在x∈（﹣∞，a﹣2）上单调递增，在x∈（a﹣2，a+2）和[a+2，+∞）上单调递减； 又因为，m（a﹣2）＝12﹣4a，m（a+2）＝﹣4﹣4a， ∴m （x）的最大值为β＝12﹣4a， ∴α﹣β＝﹣16 44．【答案】（1）不等式f（x）≥3x的解集为{x|x≤2}； （2）的最小值． 【分析】（1）去绝对值把不等式f（x）≥3x转化为不等式组，求解后取并集得答案； （2）利用绝对值的不等式求得f（x）的最小值为m，可得b+4a＝4ab，代入，再由基本不等式求最值． 【解答】解：（1）当x≤﹣3时，不等式f（x）≥3x⇔1﹣x﹣x﹣3≥3x，解得x≤， 此时原不等式的解集为{x|x≤﹣3}； 当﹣3＜x＜1时，不等式f（x）≥3x⇔1﹣x+x+3≥3x，解得x， 此时原不等式的解集为{x|﹣3＜x＜1}； 当x≥1时，不等式f（x）≥3x⇔x﹣1+x+3≥3x，解得x≤2， 此时原不等式的解集为{x|1≤x≤2}． 综上，不等式f（x）≥3x的解集为{x|x≤2}； （2）∵|x﹣1|+|x+3|≥|（x﹣1）﹣（x+3）|＝4， 当且仅当（x﹣1）（x+3）≤0，即﹣3≤x≤1时取等号， ∴m＝4，则+＝4（a＞0，b＞0），即b+4a＝4ab， ∴， 当且仅当a＝b＝时取等号， 故的最小值为． 45．【答案】（Ⅰ）不等式的解集是{x|x≤﹣或x≥}； （Ⅱ）a2+b2+c2的最小值是． 【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，求出对应的函数的解析式，得到关于x的不等式，求出不等式的解集即可； （Ⅱ）求出f（x）的最小值，根据柯西不等式的性质求出a2+b2+c2的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）当x＜﹣1时，f（x）＝1﹣2x﹣2x﹣2＝﹣4x﹣1≥4，解得：x≤﹣， 当﹣1≤x≤时，f（x）＝1﹣2x+2x+2＝3≥4，无解， 当x＞时，f（x）＝2x﹣1+2x+2＝4x+1≥4，解得：x≥， 故不等式的解集是{x|x≤﹣或x≥}； （Ⅱ）f（x）＝|2x﹣1|+|2x+2|≥|1﹣2x+2x+2|＝3， 当且仅当（1﹣2x）（2x+2）≥0即﹣1≤x≤时，f（x）取最小值3， 故m＝3，故a+2b+3c＝3， 由柯西不等式得：（a2+b2+c2）（12+22+32）≥（a+2b+3c）2＝9， 故a2+b2+c2≥，当且仅当＝＝即a＝，b＝，c＝时“＝”成立， 即a2+b2+c2的最小值是． 46．【答案】见试题解答内容 【分析】先对函数解析式进行整理得1﹣，进而根据正弦函数的性质，求得函数的值域． 【解答】解：由y＝＝1﹣． ∵﹣1≤sinx≤1， ∴﹣1≤3sinx+2≤5， ∴≤﹣1或≥ ∴y≥2或y≤ ∴函数的值域为（﹣∞，]∪[2，+∞）． 47．【答案】（1）m＝5； （2）的最大值为． 【分析】（1）写出分段函数解析式，再由单调性求最值； （2）把（1）中求得的m值代入，再由柯西不等式求的最大值． 【解答】解：（1）f（x）＝|x+3|+|2x﹣4|＝， ∴f（x）在（﹣∞，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增， ∴f（x）的最小值为m＝f（2）＝5． 故m＝5； （2）由柯西不等式得： ， 由（1）得，a+b＝5，∴． 当且仅当a＝，b＝时取等号． ∴的最大值为． 48．【答案】（1）（﹣∞，3]；（2）﹣5+3t． 【分析】（1）分t≤3和t＞3去绝对值，然后判断函数的单调性得答案； （2）当t＞2时，对x分段写出函数解析式，由函数的单调性写出函数的值域，取并集的答案． 【解答】解：（1）若t≤3，则对任意x＞3，都有f（x）＝（x﹣1）+2（x﹣2）+4（x﹣t）＝7x﹣5﹣4t， 此时函数f（x）在（3，+∞）上单调递增，满足条件； 若t＞3，则3＜x＜t时，f（x）＝（x﹣1）+2（x﹣2）﹣4（x﹣t）＝﹣x﹣5+4t， 此时函数f（x）在（3，t）上单调递减，不满足条件． 综上，实数t的取值范围为（﹣∞，3]； （2）由t＞2，得f（x）＝|x﹣1|+2|x﹣2|+4|x﹣t|＝． ①若x≤1，则f（x）＝﹣7x+5+4t∈[﹣2+4t，+∞）， ②若1＜x≤2，则f（x）＝﹣5x+3+4t∈[﹣7+4t，﹣2+4t）， ③若2＜x≤t，则f（x）＝﹣x﹣5+4t∈[﹣5+3t，﹣7+4t）， ④若x＞t，则f（x）＝7x﹣5﹣4t∈（﹣5+3t，+∞）． 综上可知，当x＝t时，函数f（x）取得最小值，最小值为f（t）＝﹣5+3t． 故函数f（x）的最小值为﹣5+3t． 49．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）通过对x1、x2合理的赋值以及配凑，构造所求的结论． （2）偶函数⇒f（﹣x）＝f（x）；关于直线x＝a对称⇒f（2a﹣x）＝f（x）． 【解答】（Ⅰ）解：因为对x1，x2∈[0，]， 都有f（x1+x2）＝f（x1）•f（x2），所以 ∵ f（1）＝a＞0，（3分） ∴，（6分） （Ⅱ）证明：依题设y＝f（x）关于直线x＝1对称， 故f（x）＝f（1+1﹣x），即f（x）＝f（2﹣x），x∈R 又由f（x）是偶函数知f（﹣x）＝f（x），x∈R， ∴f（x）＝f（x﹣2），x∈R， 得f（x）＝f（x+2），x∈R 这表明f（x）是R上的周期函数，且2是它的一个周期．（10分） （Ⅲ）解：由（Ⅰ）知f（x）≥0，x∈[0，1] ∵f（）＝f（n×）＝f（）＝f（）n ∴，（12分） ∵f（x）的一个周期是2 ∴f（2n+）＝f（），因此an＝ ∴（lnan）＝（lna）＝0．（14分） 50．【答案】见试题解答内容 【分析】第一问考查函数的奇偶性，用特殊值法判断函数及不是奇函数又不是偶函数；第二问是求最值的题目，先判断函数的单调性再求最值． 【解答】解：（1）当a＝0时，函数f（﹣x）＝（﹣x）2+|﹣x|+1＝f（x） 此时，f（x）为偶函数 当a≠0时，f（a）＝a2+1，f（﹣a）＝a2+2|a|+1，f（a）≠f（﹣a），f（a）≠﹣f（﹣a） 此时f（x）既不是奇函数，也不是偶函数 （2）①当x≤a时， 当，则函数f（x）在（﹣∞，a]上单调递减，从而函数f（x）在（﹣∞，a]上的最小值为f（a）＝a2+1． 若，则函数f（x）在（﹣∞，a]上的最小值为，且． ②当x≥a时，函数 若，则函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为； 若，则函数f（x）在[a，+∞）上单调递增，从而函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为f（a）＝a2+1． 综上，当时，函数f（x）的最小值为 当时，函数f（x）的最小值为a2+1 当时，函数f（x）的最小值为． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/5/15 12:08:34；用户：Damon；邮箱：13120434074；学号：24730468 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$