专题3　二次函数中的最值问题 2023-2024学年浙教版数学九年级上册课时专练

浙教版数学九年级上册课时专练 第1章　二次函数 专题3　二次函数中的最值问题 【引例】 已知二次函数的图象(0≤x≤1＋2)如图．关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是(　 　) A．有最大值2，无最小值 B．有最大值2，有最小值1.5 C．有最大值2，有最小值－2 D. 有最大值1.5，有最小值－2 【思想方法】 确定二次函数函数值的取值范围时，首先要通过函数表达式或图象，确定二次函数图象的对称轴位置，再看自变量的取值范围是否覆盖了对称轴与x轴交点的横坐标，以此确定函数值的其中一个最值是在顶点处取得还是在端点处取得，继而写出函数值的取值范围． 【变式1】 (改变抛物线的表达式) 1．二次函数y＝＋的图象(1≤x≤3)如图所示，在所给自变量的取值范围内，函数值y的取值范围是(　 　) 第1题图 A．y≥1 B．1≤y≤3 C．≤y≤3 D．0≤y≤3 【变式2】 (变为自变量的取值范围不确定时，求函数值的取值范围) 2．在平面直角坐标系中，二次函数y＝－x2＋x＋4(0≤x≤8)的图象如图所示．a，b是实数，0≤a＜b≤8，且b－a＝6.若a≤x≤b，W为相应的y的最大值与最小值的差，则W的取值范围是____________. 第2题图 【变式3】 (变为含参二次函数，通过函数值的取值范围探索参数的取值范围) 3．数形结合和分类讨论是初中数学的基本思想方法，应用广泛．以形助数或以数解形，相互转化，可以化繁为简，使抽象问题具体化；而对问题进行合理的分情况探究，则可以使结果不重不漏． 已知二次函数y＝x2－2mx＋m2－4(m为常数). (1)若该二次函数的对称轴为直线x＝1，且关于x的一元二次方程x2－2mx＋m2－4－t＝0(t为实数)在－3＜x＜2的范围内无解，求t的取值范围． (2)若该二次函数自变量x的值满足－3≤x≤－1时，与其对应的函数值y的最小值为12，求m的值． 【学以致用】 1. 已知二次函数y＝2x2－bx＋c的图象经过点A(1，n)，B(3，n). (1)用含n的代数式表示c. (2)若二次函数y＝2x2－bx＋c的最小值为，求n的值． 2. 已知二次函数y＝x2＋2bx＋c. (1)若b＝c，是否存在实数x，使得相应的y的值为1？请说明理由． (2)若b＝c－2，y在－2≤x≤2的取值范围内的最小值是－3，求b的值． 3. 已知二次函数y＝－x2＋bx＋c. (1)当b＝4，c＝3时， ①求该函数的图象顶点坐标． ②当－1≤x≤3时，求y的取值范围． (2)当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式． 4. 在二次函数y＝x2－2tx＋3(t＞0)中， (1)若它的图象过点(2，1)，则t的值为多少？ (2)当0≤x≤3时，y的最小值为－2，求出t的值． (3)如果点A(m－2，a)，B(4，b)，C(m，a)都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜3，求m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 浙教版数学九年级上册课时专练 第1章　二次函数 专题3　二次函数中的最值问题 【引例】 已知二次函数的图象(0≤x≤1＋2)如图．关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是(　C　) A．有最大值2，无最小值 B．有最大值2，有最小值1.5 C．有最大值2，有最小值－2 D. 有最大值1.5，有最小值－2 【思想方法】 确定二次函数函数值的取值范围时，首先要通过函数表达式或图象，确定二次函数图象的对称轴位置，再看自变量的取值范围是否覆盖了对称轴与x轴交点的横坐标，以此确定函数值的其中一个最值是在顶点处取得还是在端点处取得，继而写出函数值的取值范围． 【变式1】 (改变抛物线的表达式) 1．二次函数y＝＋的图象(1≤x≤3)如图所示，在所给自变量的取值范围内，函数值y的取值范围是(　C　) 第1题图 A．y≥1 B．1≤y≤3 C．≤y≤3 D．0≤y≤3 【变式2】 (变为自变量的取值范围不确定时，求函数值的取值范围) 2．在平面直角坐标系中，二次函数y＝－x2＋x＋4(0≤x≤8)的图象如图所示．a，b是实数，0≤a＜b≤8，且b－a＝6.若a≤x≤b，W为相应的y的最大值与最小值的差，则W的取值范围是__≤W≤__. 第2题图 【解析】 ∵y＝－x2＋x＋4＝－(x－3)2＋， ∴抛物线的对称轴为直线x＝3，顶点坐标为. ∵b－a＝6，∴b＝a＋6. ∵0≤a＜b≤8，即0≤a＜a＋6≤8， ∴0≤a≤2，6≤a＋6≤8. 易知当x＝3时，y有最大值，最大值为， 当x＝a＋6时，y有最小值，最小值为－(a＋3)2＋， ∴W＝－＝(a＋3)2， ∴当0≤a≤2时，W随a的增大而增大， ∴当a＝0时，W有最小值，最小值为；