专题07 平面向量、概率、统计、计数原理（4大题型）-【好题汇编】2024年高考数学二模试题分类汇编（浙江专用）

专题07 平面向量、概率、统计、计数原理 平面向量 1．（2024·浙江绍兴·二模）已知，是单位向量，且它们的夹角是，若，，且，则（     ） A． B． C． D． 2．（2019·宁夏·模拟预测）已知平面向量、满足，若，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·浙江宁波·二模）若平面向量满足且，则（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为5 C．的最小值为2 D．的最大值为 4．（2024·浙江·二模）设正n边形的边长为1，顶点依次为，若存在点P满足，且，则n的最大值为 .（参考数据：） 5．（2024·浙江嘉兴·二模）已知平面向量是非零向量，且与的夹角相等，则的坐标可以为 .（只需写出一个符合要求的答案） 6．（2024·浙江杭州·二模）已知是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（    ） A．30° B．60° C．90° D．120° 7.（2024·浙江绍兴·二模）已知四边形是平行四边形，，，记，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·浙江温州·二模）平面向量满足，，，则 ． 9．（2024·浙江台州·二模）已知平面向量，，若，则实数（    ） A．-1 B．-2 C．1 D．2 概率 10.（20-21高一下·天津东丽·期末）掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，则与的关系为（    ）． A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等 11．（2024·浙江绍兴·二模）盒中有标记数字1，2的小球各2个. (1)若有放回地随机取出2个小球，求取出的2个小球上的数字不同的概率； (2)若不放回地依次随机取出4个小球，记相邻小球上的数字相同的对数为（如1122，则），求的分布列及数学期望. 12．（2024·浙江宁波·二模）三个人利用手机软件依次进行拼手气抢红包活动，红包的总金额数为个单位.第一个人抢到的金额数为1到个单位且等可能（记第一个人抢完后剩余的金额数为），第二个人在剩余的个金额数中抢到1到个单位且等可能，第三个人抢到剩余的所有金额数，并且每个人抢到的金额数均为整数个单位.三个人都抢完后，获得金额数最高的人称为手气王（若有多人金额数相同且最高，则先抢到最高金额数的人称为手气王）. (1)若，则第一个人抢到的金额数可能为个单位且等可能. （i）求第一个人抢到金额数的分布列与期望； （ii）求第一个人获得手气王的概率； (2)在三个人抢到的金额数为的一个排列的条件下，求第一个人获得手气王的概率. 13．（2024·浙江·二模）某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 元件数（件） 12 18 36 30 4 (1)现从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率； (2)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式： 若随机变量X具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立. （i）若，证明：； （ii）利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为90%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件） 14．（2024·浙江绍兴·二模）盒子中装有大小形状相同的4个小球，其中2个白色2个红色. 每次取一球，若取出的是白球，则不放回；若取出的是红球，则取完放回. (1)取两次，求恰好一红一白的概率； (2)取两次，记取到白球的个数为随机变量，求随机变量的分布列及均值； (3)在第2次取出的球是红球的条件下，求第1次取出的球是白球的概率． 15．（2024·浙江台州·二模）某班有A，B两个学习小组，其中A组有2位男生，1位女生，B组有2位男生，2位女生.为了促进小组之间的交流，需要从A，B两组中随机各选一位同学交换，则交换后A组中男生人数的数学期望为 . 16．（2024·浙江·二模）甲、乙两人进行知识问答比赛，共有道抢答题，甲、乙抢题的成功率相同.假设每题甲乙答题正确的概率分别为和，各题答题相互独立.规则为：初始双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得﹣1分，未抢到题得0分，最后累计总分多的人获胜. (1)若，，求甲获胜的概率； (2)若，设甲第题的得分为随机变量，一次比赛中得到的一组观测值，如下表.现利用统计方法来估计的值： ①设随机变量，若以观测值的均值作为的数学期望，请以此求出的估计值；