第5章 第3节 平面向量的数量积-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮教师用书word（人教A版）

第三节　平面向量的数量积 ★[考试要求] 1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题． 1．向量的夹角 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则　∠AOB　就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是：　[0，π]　. 2．平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量　|a||b|·cos θ　叫做a与b的数量积，记作a·b 投影向量 已知a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过起点A和终点B分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．一般地若向量a，b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量为|a|·cos θ.或·. 几何意义 3.平面向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b＝b·a； (2)数乘结合律：(λa)·b＝　λ(a·b)　＝　a·(λb)　； (3)分配律：a·(b＋c)＝　a·b＋a·c　. 4．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉． 结论 几何表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝　　 数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b a·b＝0 　x1x2＋y1y2＝0　 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤· 1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. 2．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线． 3．a在b方向上的投影向量为·，b在a方向上的投影向量为·. 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　　) (2)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　　) (3)两个向量的夹角的范围是.(　　) (4)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．(必修第二册P18例10改编)已知＝2，＝6，a·b＝－6，则a与b的夹角θ为(　　) A.　　　B. 　　　C.　　　D. 解析：D　[cos θ＝＝＝－，又0≤θ≤π，则θ＝.] 3．已知向量a与b的夹角为，|a|＝|b|＝1，且a⊥(a－λb)，则实数λ＝　________　. 解析：由题意，得a·b＝|a||b|cos ＝，因为 a⊥(a－λb)，所以a·(a－λb)＝|a|2－λa·b＝1－＝0，所以λ＝2. 答案：2 4．已知＝5，＝4，a与b的夹角θ为120°，则向量b在向量a方向上的投影向量为　________　. 解析：·＝·＝－a. 答案：－a 　　　平面向量数量积的基本运算 [例1]　(1)(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则·＝(　　) A.　　 B．3　　　 C．2　　　 D．5 [解析]　B　[以{，}为基底向量，可知||＝||＝2，·＝0，则＝＋＝＋，＝＋＝－＋， 所以·＝· ＝－2＋2＝－1＋4＝3.] (2)已知两个单位向量a与b的夹角为60°，则向量a－b在向量a方向上的投影向量为　________　. [解析]　由两个单位向量a和b的夹角为60°，可得a·b＝1×1×＝，所以(a－b)·a＝a2－a·b＝1－＝，所以向量a－b在向量a方向上的投影向量为·a＝×a＝a. [答案]　a 向量数量积的四种计算方法 (1)当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos θ. (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. (3)转化法：当模和夹角都没给出时，即用已知模或夹角的向量作基底来表示要求数量积的向量求解． (4)坐标法：结合图形特征适当建立坐标系，求出向量的坐标，进而求其数量积． 1．(2023·北京卷)已知向量a、b满足a＋b＝(2,3)，a－b＝(－2,1)，则|a|2－|b|2＝(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 解析：B　[向量a，b满足a＋b＝(2,3)， a－b＝(－2,1)，所以|a|2－|b|2＝(a＋b)·(a－b)＝2×(－2)＋3×1＝－1.] 2．(2024·东北师大附中模拟)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD于E，则·＝(　　) A. B. C. D. 解析：D　[建立如图所示直角坐标系，则A(0,1)，B(0,0)，C(2,0)，D(2,1)， 设E(x，y)，则＝(x，y－1)，＝(x，y)，＝(2,1)， ∵AE⊥BD，∴⊥且∥， ∴解得 ∴E，＝，＝， 在矩形ABCD中，O为BD的中点， 所以O，又A(0,1)， 所以＝，·＝×1＋×＝.] 　　　平面向量数量积的应用 ►[角度1]　向量的模　 [例2]　(1)(2023·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝　________　. [解析]　由|a＋b|＝|2a－b|，得a2＝2a·b； 由|a－b|＝，得a2－2a·b＋b2＝3，即b2＝3，|b|＝. [答案]　 (2)(2024·河南安阳一中校考)已知向量a＝，b＝(－1，x)，若|2a－b|2＝4a2＋b2＋2，则实数x的值为(　　) A．0 B．1 C．－1 D. [解析]　D　[因为a＝，b＝(－1，x)， 所以a·b＝×(－1)＋×x＝－x. 因为|2a－b|2＝4a2＋b2＋2， |2a－b|2＝(2a－b)2＝4|a|2－4a·b＋|b|2， 所以4a2＋b2＋2＝4a2－4a·b＋b2，即a·b＝－，所以－x＝－，解得x＝，所以实数x的值为.] ►[角度2]　向量的夹角　 [例3]　(1)(2022·全国甲卷)向量|a|＝|b|＝1，|c|＝，且a＋b＋c＝0，则cos〈a－c，b－c〉＝(　　) A．－ B．－ C. D. [解析]　D　[由a＋b＋c＝0得a＋b＝－c， 所以(a＋b)2＝(－c)2，即a2＋2a·b＋b2＝c2， 又|a|＝|b|＝1，|c|＝，所以a·b＝0，所以a⊥b. 如图所示，a－c＝，b－c＝，由余弦定理得|CA|＝|CB|＝，所以cos∠ACB ＝＝，即cos〈a－c，b－c〉＝.] (2)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. [解析]　B　[设a与b的夹角为α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cos α ＝|b|2，又|a|＝2|b|，∴cos α＝，∵α∈[0，π]，∴α＝.] ►[角度3]　向量的垂直　 [例4]　(1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则(　　) A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1 C．λμ＝1 D．λμ＝－1 [解析]　D　[(a＋λb)·(a＋μb)＝a2＋(λ＋μ)(a·b)＋λμb2＝2(1＋λμ)＝0，所以λμ＝－1.] (2)已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为　________　. [解析]　因为⊥，所以·＝0.又 ＝λ＋，＝－，所以(λ＋)·(－)＝0，即(λ－1)·－λ2＋2＝0，所以(λ－1)||||cos 120°－9λ＋4＝0.所以(λ－1)×3×2×－9λ＋4＝0.解得 λ＝. [答案]　 (1)求平面向量的模的方法 ①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算； ②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解． (2)求平面向量的夹角的方法 ①定义法：cos θ＝，求解时应求出a·b，|a|，|b|的值或找出这三个量之间的关系； ②坐标法． (3)两个向量垂直的充要条件 a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)． 3．(2024·河北衡水中学校考)已知非零向量a，b，c满足a⊥(b＋c)，|b|＝|c|，〈a，b〉＝60°，则〈a，c〉＝(　　) A．45° B．60° C．120° D．135° 解析：D　[∵a⊥(b＋c)，∴a·(b＋c)＝a·b＋a·c＝0.所以|a||b|cos〈a，b〉＋|a||c|cos〈a，c〉＝0，又|b|＝|c|，〈a，b〉＝60°，∴|a||c|×＋|a||c|cos〈a，c〉＝0，又a，b，c均为非零向量，则cos〈a，c〉＝－，且〈a，c〉在0°到180°之间，故〈a，c〉＝135°.] 4．(2024·四川省名校联考)若e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝2e1＋e2与b＝－3e1＋2e2的夹角大小为　________　. 解析：∵e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则e1·e2＝|e1|·|e2|cos 60°＝，∴a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e＋e1·e2＋2e＝－6＋＋2＝－，|a|＝＝ ＝＝，|b|＝ ＝＝＝， ∴cos〈a，b〉＝＝－， ∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝120°. 答案：120° 　　　平面向量的实际应用 [例5]　(1)已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　) A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 [解析]　C　[由已知，得－O＝λ(＋)，即＝λ(＋)，根据平行四边形法则，知＋＝2(D为BC的中点)，所以点P的轨迹必过△ABC的重心．] (2)(2024·四川成都高三校联考期末)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况(如图所示)．假设行李包所受的重力为G，所受的两个拉力分别为F1，F2，且|F1|＝|F2|，F1与F2的夹角为θ，则以下结论不正确的是(　　) A．|F1|的最小值为|G| B．θ的范围为[0，π] C．当θ＝时，|F1|＝|G| D．当θ＝时，|F1|＝|G| [解析]　B　[如图，对于选项A，当F1、F2方向同向时，有F1＋F2＝G，此时|F1|取得最小值，且|F1|最小值为|G|，A正确； 对于选项B，当θ＝π时，有F1＋F2＝0，行李包不会处于平衡状态，即θ≠π，B错误； 对于选项C，当行李包处于平衡时，F1＋F2＝G， 若θ＝，则有(F1＋F2)2＝G2，变形得，F＋F＝G2，即|F1|＝|G|，C正确； 对于D选项，若θ＝，则有(F1＋F2)2＝G2，变形可得则有|F1|＝|G|，D正确．] 用向量方法解决实际问题的步骤 5．(多选)(2024·黑龙江绥化校考期末)下列说法中正确的有(　　) A．点O在△ABC所在平面内，若＋＋＝0，则点O为△ABC的重心 B．向量a＝(2，－3)，b＝能作为平面内所有向量的一个基底 C．点O在△ABC所在平面内，若·，则点O为△ABC的垂心 D．点O在△ABC所在平面内，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC为等腰三角形 解析：AD　[对于A，由题意，取BC的中点为D，并连接OD，作图甲： 　　　图甲 由＋＋＝＋2＝0，则O，A，D共线，同理可得O为中线交点，故A正确；对于B，由a＝(2，－3)，b＝，则显然a＝4b，即a，b共线，故B错误； 对于C，由题意作图乙， 　　　图乙 设＝，＝ 若||≠||，则与不共线，即与不垂直， 同理可得：与不垂直，故C错误； 对于D，由题意， 取D为BC的中点，作图丙， 　　　图丙 则(－)·(＋－2)＝·(＋)＝·2＝0，即⊥， 由D为BC的中点，则AD为BC的中垂线，即AB＝AC，故D正确．] 6．(2024·春湖南永州统考期末)一个人骑自行车由A地出发向东骑行了6 km到达B地，由B地向南偏东30°方向骑行了6 km到达C地，从C地向北偏东60°骑行了2 km到达D地，则A，D两地的距离是　________　km. 解析：以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，如图，则A(0,0)，B(6,0)，C(6＋6sin 30°，－6cos 30°)，即C(9，－3)，D(9＋2sin 60°，－3＋2 cos 60°)，即D(12，－2)，所以＝(12，－2)，故||＝＝2. 所以A，D两地距离为2 km. 答案：2 308 学科网（北京）股份有限公司 $$