第3章 第3节 导数与函数的极值、最值-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮教师用书word（人教A版）

第三节　导数与函数的极值、最值 ★[考试要求] 1．借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值． 1．函数的极值 (1)函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧　f′(x)<0　，右侧　f′(x)>0　，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧　f′(x)>0　，右侧　f′(x)<0　，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． (3)极小值点、极大值点统称为　极值点　，极小值和极大值统称为　极值　. 2．函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条　连续不断　的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的　极值　； ②将函数y＝f(x)的各极值与　端点处的函数值f(a)，f(b)　比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值．(　　) (2)函数的极小值一定是函数的最小值．(　　) (3)函数的极小值一定不是函数的最大值．(　　) (4)函数y＝f′(x)的零点是函数y＝f(x)的极值点．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．(选择性必修第二册P92，T1改编)如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(　　) A．1　　　 B．2　　　　 C．3　　　　 D．4 解析：A　[由题意知只有在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正．] 3．函数y＝x＋(x＜0)的极大值为(　　) A．－2 B．2 C．－ D．不存在 解析：A　[y′＝1－＝.令y′＝0得x＝－1或x＝1(舍)．由于x＜0，当y′＞0时，x＜－1，当y′＜0时，－1＜x＜0，所以函数在(－∞，－1)上单调递增，在(－1,0)上单调递减．故函数在x＝－1处取得极大值y＝－2.] 4．函数f(x)＝ex－2x在[1，e]上的最小值为　___________　. 解析：因为f′(x)＝ex－2，当x∈[1，e]时，f′(x)＝ex－2＞0，所以f(x)在[1，e]上单调递增，所以f(x)min＝f(1)＝e－2. 答案：e－2 　　　利用导数求解函数极值问题 ►[角度1]　根据函数图象判断极值　 [例1]　(2024·广州模拟)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(x－1)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是(　　) A．函数f(x)有极大值f(－3)和f(3) B．函数f(x)有极小值f(－3)和f(3) C．函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(－3) D．函数f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3) [解析]　D　[由题图知，当x∈(－∞，－3)时， y>0，x－1<0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈(－3,1)时，y<0，x－1<0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x∈(1,3)时，y>0，x－1>0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x∈(3，＋∞)时，y<0，x－1>0⇒f′(x)<0， f(x)单调递减． 所以函数有极小值f(－3)和极大值f(3)．] ►[角度2]　求已知函数的极值　 [例2]　(2024·河北邯郸武安市第三中学校考)已知函数f(x)＝x2－2x－4ln x＋3，则f(x)的极小值为(　　) A．2　　　　　　　　 B．2－3ln 2 C．ln 2－3 D．3－4ln 2 [解析]　D　[函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， 因为f(x)＝x2－2x－4ln x＋3， 所以f′(x)＝2x－2－＝， 令f′(x)＝0，则＝0，解得x＝2或x＝－1(舍)， x (0,2) 2 (2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) 单调递减 极小值 单调递增 由此表可知，当x＝2时，f(x)取得极小值为f(2)＝4－4－4ln 2＋3＝3－4ln 2.] ►[角度3]　已知极值(点)求参数　 [例3]　(1)(2023·全国乙卷)函数f(x)＝x3＋ax＋2存在3个零点，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2)　　　 B．(－∞，－3) C．(－4，－1) D．(－3,0) [解析]　B　[f(x)＝x3＋ax＋2，则f′(x)＝3x2＋a， 若f(x)要存在3个零点，则f(x)要存在极大值和极小值，则a＜0，令f′(x)＝3x2＋a＝0， 解得x＝－或 ， 且当x∈∪时， f′(x)＞0， 当x∈，f′(x)＜0， 故f(x)的极大值为f，极小值为f， 若f(x)要存在3个零点，则即解得a＜－3.] (2)(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)若函数f(x)＝aln x＋＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则(　　) A．bc＞0 B．ab＞0 C．b2＋8ac＞0 D．ac＜0 解析：BCD　[由题可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－－＝，由函数f(x)既有极大值也有极小值，知f′(x)在(0，＋∞)上有两个不等实根，令h(x)＝ax2－bx－2c，则h(x)在(0，＋∞)上有两个不等实根，所以即所以所以b与a同号，c与a异号，故bc＜0，所以A错误，B、C、D正确．] 函数极值的两类热点问题 (1)求函数f(x)极值这类问题的一般解题步骤为： ①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值． (2)由函数极值求参数的值或范围． 讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f′(x)＝0根的有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号． 1．已知函数f(x)＝＋sin x，a∈R，e为自然对数的底数． (1)当a＝1时，证明：∀x∈(－∞，0]，f(x)≥1； (2)若函数f(x)在上存在极值点，求实数a的取值范围． 解：(1)证明：当a＝1时，f(x)＝＋sin x，则f′(x)＝＋cos x，当x∈(－∞，0]时，0<ex≤1，则≤－1，又cos x≤1，所以当x∈(－∞，0]时，f′(x)＝＋cos x≤0，仅x＝0时，f′(x)＝0，所以f(x)在(－∞，0]上单调递减，所以f(x)≥f(0)＝1，即f(x)≥1. (2)f′(x)＝＋cos x，因为x∈，所以cos x＞0 ，ex＞0，①当a≤0时，f′(x)＞0恒成立，所以f(x)在上单调递增，没有极值点． ②当a＞0时，f′(x)＝＋cos x在区间上单调递增，因为 f′(0)＝－a＋1，当a≥1，x∈时，f′(x)<f′(0)＝－a＋1≤0，所以f(x)在上单调递减，没有极值点；当0<a<1时，f′(0)＝－a＋1＞0，所以存在x0∈，使f′(x0)＝0，当x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当x∈(x0,0)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以f(x)在x＝x0处取得极小值，x0为极小值点．综上，若函数f(x)在上存在极值点，则实数a∈(0,1)． 　　　利用导数求函数的最值 [例4]　(2024·湖南长沙一中校考)已知函数f(x)＝＋ln x，a∈R. (1)当a＝1时，求函数f(x)－x的最小值； (2)若函数的最小值为a，求a的最大值． [解]　(1)当a＝1时，令F(x)＝f(x)－x＝＋ln x－x，x∈(0，＋∞)， 则F′(x)＝＋－1＝＝， 令g(x)＝ex－1－x，x∈R，则g′(x)＝ex－1－1， 易知g′(x)在R上单调递增，且g′(1)＝0， ∴当x∈(0,1)时，g′(x)＜0，g(x)在区间(0,1)上单调递减，且g(x)＝ex－1－x＞g(1)＝0， 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，且g(x)＝ex－1－x＞g(1)＝0， ∴当x∈(0,1)时，F′(x)＝＜0， F(x)在区间(0,1)上单调递减， 当x∈(1，＋∞)时，F′(x)＝＞0，F(x)在区间(1，＋∞)上单调递增， 当x＝1时，F(x)取得极小值，也是最小值，F(x)min＝F(1)＝＋ln 1－1＝0， ∴当a＝1时，函数f(x)－x的最小值为0. (2)由已知，f(x)的定义域为(0，＋∞)， 若函数的最小值为a，则有≥a， ∴f(x)≥ax，f(x)－ax≥0， 令h(x)＝f(x)－ax，即h(x)＝f(x)－ax＝＋ln x－ax的最小值为0， 由第(1)问知，当且仅当x＝1时，g(x)＝ex－1－x取最小值g(1)＝0，∴当且仅当ax－ln x＝1时，g(ax－ln x)取得最小值0， 又∵g(ax－ln x)＝eax－ln x－1－(ax－ln x)＝＋ln x－ax＝＋ln x－ax＝h(x)， ∴只需令ax－ln x＝1有解，即a＝有解， 令H(x)＝，x∈(0，＋∞)，则H′(x)＝＝－， 当x∈(0,1)时，H′(x)＝－＞0，H(x)在区间(0,1)上单调递增， 当x∈(1，＋∞)时，H′(x)＝－＜0，H(x)在区间(1，＋∞)上单调递减， ∴a＝＝H(x)≤H(1)＝1， 综上所述，若函数的最小值为a，则a的最大值为1. (1)求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值． (2)若所给的闭区间[a，b]含参数，则需对函数f(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值． 2．已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)． (1)求函数f(x)的单调区间； (2)当a>0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值． 解：(1)f′(x)＝－a(x>0)， ①当a≤0时，f′(x)＝－a>0，即函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)． ②当a>0时，令f′(x)＝－a＝0，可得x＝.当0<x<时，f′(x)＝>0；当x>时，f′(x)＝<0，故函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为. (2)①当0＜≤1，即a≥1时，函数f(x)在区间[1,2]上是减函数，∴f(x)的最小值是f(2)＝ln 2－2a.②当≥2，即0<a≤时，函数f(x)在区间[1,2]上是增函数，∴f(x)的最小值是f(1)＝－a.③当1<<2，即<a<1时，函数f(x)在[1，]上是增函数，在[，2]上是减函数．又f(2)－f(1)＝ln 2－a，∴当<a<ln 2时，最小值是f(1)＝－a；当ln 2≤a<1时，最小值为f(2)＝ln 2－2a.综上可知，当0<a<ln 2时，函数f(x)的最小值是－a；当a≥ln 2时，函数f(x)的最小值是ln 2－2a. 308 学科网（北京）股份有限公司 $$