第3章 第1节 导数的概念及其意义、导数的运算-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮教师用书word（人教A版）

1．处理好以下四个问题 (1)利用导数研究曲线的切线问题． (2)利用导数研究函数的单调性、极(最)值问题． (3)利用导数研究不等式恒成立或证明不等式问题． (4)利用导数研究复杂函数的零点问题． 2．注意以下四个思想方法的应用 (1)函数与方程思想：导数与函数、方程、不等式之间有着密切的联系． (2)转化与化归思想：通过构造函数，将方程、不等式问题转化为函数的极(最)值等问题． (3)数形结合思想：研究函数性质，方程根的个数、不等式的解集等问题． (4)分类讨论思想：研究函数的单调性等问题时，经常需要根据极值点的大小，极值点是否在定义域内进行分类讨论． 第一节　导数的概念及其意义、导数的运算 ★[考试要求] 1．了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数． 1．导数的概念 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的　斜率　，相应的切线方程为　y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)　. 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝　0　 f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝　αxα－1　 f(x)＝sin x f′(x)＝　cos x　 f(x)＝cos x f′(x)＝　－sin x　 f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝　axln a　 f(x)＝ex f′(x)＝　ex　 f(x)＝logax(a>0，且a≠1) F′(x)＝　　 f(x)＝ln x f′(x)＝　　 4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 [f(x)±g(x)]′＝　f′(x)±g′(x)　； [f(x)g(x)]′＝　f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)　； ′＝(g(x)≠0)； [cf(x)]′＝　cf′(x)　. 5．复合函数的定义及其导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝　y′u·u′x　，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)． 3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　　) (2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　) (3)f′(x0)＝[f(x0)]′.(　　) (4)若f(x)＝sin (－x)，则f′(x)＝cos (－x)．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．(多选)(选择性必修二P81T1，T2改编)下列求导运算正确的有(　　) A．(sin x)′＝cos x　　　　 B.′＝ C．(log3x)′＝ D．(ln x)′＝ 解析：AD　[因为(sin x)′＝cos x，′＝－，(log3x)′＝，(ln x)′＝，所以AD正确．] 3．(2024·晋中1月调研)函数f(x)＝x＋ln x的图象在点(1,1)处的切线方程为　______　. 解析：f′(x)＝1＋，f′(1)＝2，所以切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0. 答案：2x－y－1＝0 4．已知f(x)＝x2＋3xf′(2)，则f(2)＝　________　. 解析：因为f′(x)＝2x＋3f′(2)，令x＝2，得f′(2)＝－2，所以f(x)＝x2－6x，于是f(2)＝－8. 答案：－8 　　　导数的计算 [例1]　(1)(多选)(2024·安徽宿州校考)下列函数求导运算正确的是(　　) A.′＝1＋ B．(tan x)′＝ C.′＝ex－ D．(x2cos x)′＝－2xsin x [解析]　BC　[A.′＝1－，故A错误；B.(tan x)′＝′＝＝，故B正确；C.(ex－)′＝ex－，故C正确；D.(x2cos x)′＝2xcos x－x2sin x，故D错误．] (2)已知函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x，那么f′＝(　　) A．－2　　 B．2　　　 C.　　　 D．－ [解析]　A　[由题意，f′(x)＝2cos 2x－2sin 2x， 所以f′＝2cos π －2sin π＝－2.] (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导． (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元． 1．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2x·f′(2)，则f′(5)＝(　　) A．2　　 B．4　　　 C．6　　　 D．8 解析：C　[由已知得，f′(x)＝6x＋2f′(2)，令x＝2，得f′(2)＝－12.再令x＝5，得f′(5)＝6×5＋2f′(2)＝30－24＝6.] 2．已知f(x)＝ln，则f′(x)＝　________　. 解析：f′(x)＝′＝′＝· ＝. 答案： 　　　导数的几何意义 ►[角度1]　求切线方程　 [例2]　(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为(　　) A．y＝x B．y＝x C．y＝x＋ D．y＝x＋ [解析]　C　[设曲线y＝在点处的切线方程为y－＝k(x－1)， 因为y＝，所以y′＝＝， 所以k＝y′|x＝1＝， 所以y－＝(x－1)， 所以曲线y＝在点处的切线方程为y＝x＋.] ►[角度2]　求参数的值(范围)　 [例3]　(1)(2024·深圳光明区一调)已知函数f(x)＝x2ex－2ex，若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线与直线2x－ay＋3＝0垂直，则a＝(　　) A．－2e B．－ C. D．2e [解析]　A　[f′(x)＝(x2＋2x)·ex－2e，f′(1)＝3e－2e＝e，由于曲线y＝f(x)在x＝1处的切线与直线2x－ay＋3＝0垂直，所以·e＝－1⇒a＝－2e.] (2)(2024·湖北黄冈中学校联考模拟)已知函数f(x)＝|ln x|，直线l1，l2是f(x)的两条切线，l1，l2相交于点Q，若l1⊥l2，则Q点横坐标的取值范围是　________________　. [解析]　记g(x)＝－ln x(0＜x＜1)，h(x)＝ln x(x≥1)， 由函数f(x)图象可知，不妨设l1与g(x)相切于点A(x1，－ln x1)，l2与h(x)＝ln x相切于点B(x2，ln x2)，则0＜x1＜1，x2＞1. ∴g′(x)＝－，h′(x)＝，∴kl1＝－，kl2＝， ∵l1⊥l2，∴－·＝－1，即x1x2＝1，所以ln x1＋ln x2＝0， ∵l1的方程为y＋ln x1＝－(x－x1)，l2的方程为y－ln x2＝(x－x2)， 两方程相减得点Q的横坐标xQ＝， ∵x1x2＝1，∴x1＋x2＞2＝2， ∴0＜xQ＜1，即Q点横坐标的取值范围是(0,1)． [答案]　(0,1) 利用导数的几何意义求参数的基本方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围． [注意]　(1)注意曲线上横坐标的取值范围；(2)谨记切点既在切线上又在曲线上． 3．(2024·宜春质检)若曲线y＝3(x2－x)ex－1在点(1,0)处的切线与y＝ax＋2平行，曲线y＝在点(1,0)处的切线与直线x－by＋1＝0垂直，则a＋b＝　__________　. 解析：设f(x)＝3(x2－x)ex－1，g(x)＝. 则f′(x)＝3(2x－1)ex－1＋3(x2－x)ex－1＝3(x2＋x－1)ex－1，f′(1)＝3. 直线y＝ax＋2的斜率为k1＝a，由导数的几何意义可得，k1＝3，所以a＝3. 又g′(x)＝＝，g′(1)＝. 直线x－by＋1＝0的斜率为k2＝，由导数的几何意义可得，k2＝－1，所以b＝－. 所以a＋b＝. 答案： 4．(2024·山东滨州校考)若曲线y＝(2x－a)ex有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围为　______________　. 解析：设切点坐标为：(x0，y0)，y′＝(2x＋2－a)ex， 所以切线斜率为k＝(2x0＋2－a)ex0， 即切线方程为y－(2x0－a)ex0＝(2x0＋2－a)ex0(x－x0)， 又切线过坐标原点，所以0－(2x0－a)ex0＝(2x0＋2－a)ex0(0－x0)，整理得2x－ax0＋a＝0， 又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个解，所以Δ＝a2－8a＞0，解得a∈(－∞，0)∪(8，＋∞)． 答案：(－∞，0)∪(8，＋∞) 　　　两曲线的公切线 [例4]　(1)(2024·江苏校联考)已知点P是曲线y＝xex与曲线y＝ex2的公共点，则两曲线在点P处的公共切线方程是(　　) A．y＝0　　　　　　　 B．2ex－y－e＝0 C．y＝0或2ex－y－e＝0 D．y＝0或ex－y－1＝0 [解析]　B　[设P点的坐标为(x0，y0)， 对曲线y＝xex求导得y′＝ex＋xex， 对曲线y＝ex2求导得y′＝2ex， 解得x0＝1， 得P点坐标为(1，e)，切线为2ex－y－e＝0.] (2)(2024·韶关模拟)若曲线C1：y＝ax2(a>0)与曲线C2：y＝ex存在公共切线，则a的取值范围为　________　. [解析]　由y＝ax2(a>0)，得y′＝2ax， 由y＝ex，得y′＝ex， 曲线C1∶y＝ax2(a>0)与曲线C2∶y＝ex存在公共切线， 设公切线与曲线C1切于点(x1，ax)， 与曲线C2切于点 可得2x2＝x1＋2，∴a＝，记f(x)＝，则 当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增． ∴当x＝2时，f(x)min＝. ∴a的取值范围是. [答案]　 ►[延伸探究]　在本例(2)中，把“存在公共切线”改为“存在两条公共切线”，则a的取值范围为　________　. [解析]　由本例(2)知， ∵两曲线C1与C2存在两条公共切线， ∴a＝有两个不同的解． ∵函数f(x)＝在(0,2)上单调递减， 在(2，＋∞)上单调递增，且f(x)min＝f(2)＝， 又x→0时，f(x)→＋∞，x→＋∞时，f(x)→＋∞，∴a>. [答案]　 　 公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解． 5．(2024·晋中二模)已知函数f(x)＝ex与函数g(x)＝ln x＋b存在一条过原点的公共切线，则b＝　__________　. 解析：设该公切线过函数f(x)＝ex、函数g(x)＝ ln x＋b的切点分别为 因为f′(x)＝ex，所以该公切线的方程为 同理可得，该公切线的方程也可以表示为y＝(x－x2)＋ln x2＋b＝x＋ln x2＋b－1， 因为该公切线过原点，所以解得x1＝1，x2＝，b＝2. 答案：2 308 学科网（北京）股份有限公司 $$