第2章 第6节 指数与指数函数-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮教师用书word（人教A版）

第六节　指数与指数函数 ★[考试要求] 1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用． 1．根式 (1)如果xn＝a，那么　x　叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)式子叫做　根式　，其中n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)()n＝　a　. 当n为奇数时，＝　a　； 当n为偶数时，＝|a|＝ 2．分数指数幂 0的正分数指幂等于 0 ，0的负数数指幂没有意义. 3．指数幂的运算性质 aras＝　ar＋s　；(ar)s＝　ars　；(ab)r＝　arbr　(a>0，b>0，r，s∈R)． 4．指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数． (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 　(0，＋∞)　 性质 过定点　(0,1)　，即x＝0时，y＝1 当x>0时，　y>1　； 当x<0时，　y>1　； 当x<0时，　0<y<1　 当x>0时，　0<y<1　 在(－∞，＋∞)上是　增函数　 在(－∞，＋∞)上是　减函数　 (1)指数函数的图象恒过点(0,1)，(1，a)，，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象． (2)函数y＝ax与y＝x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称． (3)底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a>1时，指数函数的图象“上升”；当0<a<1时，指数函数的图象“下降”． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)＝－4.(　　) (2)2a·2b＝2ab.(　　) (3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(　　) (4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．化简的结果为(　　) A．－9　　 B．7　　　 C．－10　　　 D．9 3．设函数f(x)＝a－|x|(a＞0，且a≠1)，f(2)＝4，则(　　) A．f(－2)＞f(－1) B．f(－1)＞f(－2) C．f(1)＞f(2) D．f(－2)＞f(2) 解析：A　[由a－2＝4，a＞0，得a＝， ∴f(x)＝－|x|＝2|x|. 又∵|－2|＞|－1|，∴2|－2|＞2|－1|， 即f(－2)＞f(－1)．] 4．(必修第一册P114例1改编)若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点P，则f(－1)＝　________　. 解析：由题意知＝a2，所以a＝， 所以f(x)＝x，所以f(－1)＝－1＝. 答案： 　　　指数幂的运算 [例1]　(1)(2024·山东烟台统考二模)已知a2x＝＋1，则＝　________　. [解析]　a2x＝＋1， ＝＝a2x－1＋a－2x ＝＋1－1＋＝2－1. [答案]　2－1 ＝　________　. [解析]　原式＝－2＋＝－＋＋10＝10. [答案]　10 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． (5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一． 1．(2024·湖南校联考) ＝(　　) A．9　　　　B.　　　　C．3　　　　D. 2．计算：＝　________　. 解析：原式＝－1＋|3－π|＋23＝4－1＋π－3＋8＝π＋8. 答案：π＋8 　　　指数函数的图象及应用 [例2]　(1)(2024·广东广州校考期末)已知函数f(x)＝x2－2x＋1，x∈[1,4]，当x＝a时，f(x)取得最大值b，则函数g(x)＝a|x＋b|的大致图象为(　　) [解析]　C　[因为f(x)＝x2－2x＋1，x∈[1,4]，f(x)在(1,2)单调递减，在(2,4)单调递增，故可得f(x)在x＝4时，取得最大值f(4)＝1.故a＝4，b＝1，g(x)＝4|x＋1|，又g(x)图象可以由y＝4x的图象经过关于y轴的翻折变换，再向左平移1个单位得到．故满足g(x)的函数图象是选项C.] (2)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是　________　. [解析]　①当0<a<1时，y＝|ax－1|的图象如图1.因为y＝2a与y＝|ax－1|的图象有两个交