第03讲 空间向量基本定理-【暑假预科讲义】2024年新高二数学暑假精品课（高一升高二）（人教A版2019选择性必修第一册）

第03讲 空间向量基本定理 【人教A版2019】 ·模块一 空间向量基本定理 ·模块二 空间向量的正交分解 ·模块三 用空间向量基本定理解决相关问题 ·模块四 课后作业 模块一 空间向量基本定理 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．用基底表示向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合 相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{，，}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含 有，，，不能含有其他形式的向量． 【考点1 空间向量基底概念及辨析】 【例1.1】（23-24高二上·广东东莞·期末）若构成空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知是空间的一个基底，则可以和构成空间的另一个基底的向量为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（23-24高二上·上海·期末）在以下命题中，正确的命题其中真命题是（    ） A．若，则是钝角 B．若，则存在唯一的实数，使 C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P、A、B、C四点共面 D．为空间一个基底，则不能构成空间的另一个基底 【变式1.2】（23-24高二上·广东东莞·期中）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B．1 C．0 D． 【考点2 用空间基底表示向量】 【例2.1】（23-24高二下·湖南·阶段练习）平行六面体中，为的中点，设，，，用表示，则（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（22-23高二上·北京·阶段练习）如图，在平行六面体中，M为与的交点，若 ，，，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（23-24高二上·浙江绍兴·期末）如图，在平行六面体中，，，，点P在上，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（23-24高二下·安徽淮北·开学考试）在四棱锥中，底面是正方形，是的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【考点3 根据空间向量基本定理求参数】 【例3.1】（23-24高二上·山东聊城·期末）在三棱锥中，，，分别为，，的中点，若，则（    ）． A． B．1 C．2 D．3 【例3.2】（23-24高二上·贵州毕节·期末）如图1，在四面体中，点分别为线段的中点，若，则的值为（    ）    A． B． C． D．1 【变式3.1】（23-24高二上·贵州铜仁·期末）如图，在四面体中，点是棱上的点，且，点是棱的中点.若，其中，，为实数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（23-24高二上·北京·期中）平行六面体的所有棱长都是1，为中点，，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 模块二 空间向量的正交分解 1．空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． (2)向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 【考点1 正交分解】 【例1.1】（23-24高二上·河北·期中）已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（22-23高二上·河南洛阳·阶段练习）已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（22-23高二上·山东烟台·阶段练习）设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（23-24高二上·河北保定·期中）定义：设是空间的一个基底，若向量，则称实数组为向量在基底下的坐标.已知是空间的单位正交基底，是空间的另一个基底.若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的模长为（    ） A．3 B． C．9 D．6 模块三 用空间向量基本定理解决相关问题 1．证明平行、共线、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条