考题猜想4-2二元一次方程组中整体思想的应用（重难点，三大题型）-2023-2024学年七年级数学下学期期末考点大串讲（人教版）

专题4-2二元一次方程组中整体思想的应用（考题猜想，三种应用问题） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 应用1：整体变形在求值中的应用 【例1】．（2024春•桐乡市月考）阅读感悟： 有些关于方程组的问题，需要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数，满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： （1）已知二元一次方程组，则　　，　　； （2）对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么求的值． 【变式1】．（2023秋•小店区月考）阅读与思考 “整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法．数学课上，李老师给出了一个问题，已知实数，满足，求和的值． 小明：利用消元法解方程组，得，的值后，再分别代入和求值． 小逸：发现两个方程中相同未知数的系数之间的关系，通过适当变形，整体求得代数式的值，①，②，由①②可得，由①②可得． 李老师对两位同学的方法进行点评，指出小逸同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用．请你参考小逸同学的做法，解决下面的问题． （1）已知二元一次方程组，则　　，　　． （2）已知关于，的二元一次方程组，若方程组的解满足，求的值． 【变式2】．（2022秋•历下区期中）【阅读理解】 在求代数式的值时，可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：①得：③ ②③得： 的值为2． 【类比迁移】（1）已知，求的值； 【实际应用】（2）马上期中了，班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，购买40本笔记本、20支签字笔、4支记号笔需要488元．通过还价，班委购买了80本笔记本、40支签字笔、8支记号笔，只花了732元，请问比原价购买节省了多少钱？ 【变式3】．（2022•兴宁区校级开学）【阅读理解】 在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化难为易． （1）解方程组 解：（1）把②代入①得：．解得：． 把代入②得：． 所以方程组的解为 （2）已知，求的值． 解：（2）①得：③ ②③得； 【类比迁移】（1）若，则　　． （2）运用整体代入的方法解方程组． 【实际应用】（3）“战疫情，我们在一起”，某公益组织计划为老年公寓捐赠一批防疫物资，已知打折前购买39瓶消毒液、12支测温枪、3套防护服共需2070元；打折后购买52瓶消毒液、16支测温枪、4套防护服共需2350元，比不打折时少花了多少钱？ 【变式4】．（2021春•临沭县期末）【阅读理解】 在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化难为易． （1）解方程组：； （2）已知，求的值 解：（1）把②代入①得：．解得：． 把代入②得：， 所以方程组的解为． （2）①得：．③ ②③得：． 【类比迁移】 （1）若，则　　． （2）解方程组：． 【实际应用】 打折前，买39件商品，21件商品用了1080元．打折后，买52件商品，28件商品用了1152元，比不打折少花了多少钱？ 【变式5】．（2023秋•峄城区期末）【阅读感悟】 已知实数、满足，求和的值． 本题常规思路是利用消元法求解方程组，解得、的值后，再代入需要求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得，这样的解题思想称为“整体思想”． 【解决问题】 （1）已知二元一次方程组，求和的值； （2）有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米：甲种4根，乙种2根，丙种5根，共长40米，求1根丙种钢条是多少米？ 【变式6】．（2023春•林州市期末）阅读理解在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组． 解：把②代入①得，，解得． 把代入②得， 所以方程组的解为． （2）已知，求的值． 解：①②，得，③ ③，得． 类比迁移 （1）求方程组的解． （2）若，求的值． 【变式7】．（2023春•吴忠期末）解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． 例题讲解（1）解方程组 解：（1）把②代入①得： 把代入②得： 所以方程组的解为 （2）已知，求的值． 解：（2）①②得：③ 所以 【类比迁移】 （1）直接写出方程组的解． （2）若，求的值