第七讲 最大与最小2-（思维拓展讲义）六年级数学尖子生高分题库（通用版）

第7讲 最大与最小2 ( 知识概述 ) 在这一讲,我们讨论的最大与最小问题包括两类: (一)需要考虑极端情况的问题; (二)几何图形中的最大与最小问题 ( 例题 精 学 ) 例1 一把钥匙开一把锁。现有4把钥匙4把锁,但不知道哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次才能把全部的钥匙和锁一一配对? 【思路点拨】 “最多”就是“最不凑巧”的意思,因为在最不凑巧的情况下试的次数才最多。 开第一把锁,最多要试3次,如果3把钥匙都试过了,第4把就不必再试了一定能打开这把锁。 同样道理,开第二把锁要试2次,开第三把锁要试1次，第四把锁就不要再试了。 ( 例题 精 学 ) 例2 一次数学考试的满分是100分,6名同学在这次考试中平均得分是91分，这6名同学的得分互不相同,其中有1名同学仅得65分。那么,得分排在第三名的同学至少得多少分(假定6名同学的得分都是整数)? 【思路点拨】6名同学的总分是91x6= 546(分)。那么,除其中1人得的65 分,其余 5名同学的总得分是546-65=481(分)。根据“第三名得分=481-其余4名同学得分”这个关系可知,要使排第三名的同学得分尽可能少(达到“至少”),就要使其他4人得分尽可能多,即达到“至多” 也就是说,第一名、第二名得分要尽可能高分别得100分和99 分),而且另外两人的得分又要尽可能与第三名接近。 ( 例题 精 学 ) 例3 布袋中有同样大小的球若干个,其中红球10个,黄球20个,白球15个,黑球30个。从袋中至少摸出多少个球，才能保证摸出的球中必有5个同色的球?从袋中至少摸出多少个球,才能保证摸出的球中一定有4种颜色? 【思路点拨】 “最少”就是从最不利的情况考虑。当摸出16个球时，可能是每色球各4个,这时还不能保证必有5个同色球。当摸出第17个球时，就可保证有种颜色的球为5个。要使摸出的球包括 4种颜色也是从最不利的情况着想。把3种数目较多的颜色的球都摸出来,这时已摸出65个,此时还不包括红色球。只要再摸出一个球，就可保证摸出的球中一定有4种颜色。 ( 例题 精 学 ) 例4 如右图所示,有两条垂直相交的线段AB、CD,交点为E。已知DE=2CE,BE=3AE。在AB和CD上取3个点画三角形。问:怎样取这3个点才能使画出的三角形的面积最大? 【思路点拨】位于同一条线段上的3个点是不能构成三角形的。因此,所选的3个点中,一定有两个点在同一条线段上,第三个点在另一条线段上。当在AB上选两点、在 CD 上选一点时,面积最大的是三角形ABD(因为ED>EC)。当在CD上选两点，在AB上选一点时，面积最大的是三角形CDB(因为BE>AE)。下面只要比较三角形ABD和三角形CDB面积的大小就可以了。 ( 例题 精 学 ) 例5 A,B 两镇位于河岸同侧,它们到河岸的距离分别为AC、BD。现要在岸边CD上建一水塔给两镇送水,水塔建在何处,才能使水管最省? 【思路点拨】要先作图。如图所示,水塔建立在P处。作点A关于CD 的对称点A'，这时PA=PA'，于是水管长PA+PB=PA'+PB。两点之间线段最短。显然,当A'、P、B在一条直线上时,PA'+PB最小,于是点 P在A'B与CD 的交点处。 ( 同步精练 ) 1.一道带余除法算式,除数是 10,余数最大是多少? 2.一把钥匙只能开一把锁。现在有8把钥匙和8把锁,但不知哪把钥匙开哪把锁,最多要试多少次才能配好全部的钥匙和锁? 3.用一个平底锅烙饼,每次只能放两张饼,烙热一张饼需要2分钟(正、反面各需1分钟)。如果烙7张饼,最少需要多少分钟? 4.5个连续非0自然数的和是300,其中最大的那个数是多少? 5.7名学生在一次数学竞赛中共得110分，各人得分互不相同,其中得分最高的是19分,那么第七名的得分至少是多少分(得分均为整数)? 6.从49名学生中选一名班长,甲、乙、丙为候选人。统计37张选票后的结果是:甲得15票,乙得10票,丙得12票。甲至少再得多少张票才能保证以票数最多当选? 7.有形状、长短都完全一样的红色、黑色、白色、黄色、紫色、蓝色筷子各25 根。在黑暗中至少应摸出多少根筷子,才能保证摸出的筷子至少有8双(两根同色筷子为一双)? 8.在100个玻璃球中，有一个比其他的99个重,其他99个同样重。现有一架等臂天平,最少称多少次,就一定能把这个超重的球找出来? 9.如图所示,在半圆周上任取一点,分别与直径端点A、B连接成三角形。试在半圆周上找一点使这一点与AB 连成的三角形的面积最大。 10.下图所示是一个港湾，港湾内停了