专题8.1 一元线性回归问题（3类必考点）-2023-2024学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第三册）

专题8.1 一元线性回归问题 【基础知识】 1 【考点1：相关系数】 2 【考点2：求回归直线方程】 4 【考点3：一元线性回归模型的应用】 6 【基础知识】 【一元线性回归】 回归 直线 从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线 回归 方程 回归方程为＝x＋，其中＝， ＝－ 相关 系数 当r＞0时，表明两个变量正相关；当r＜0时，表明两个变量负相关． r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性 [方法技巧] 判断相关关系的两种方法 (1)散点图法：如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系．如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系． (2)相关系数法：利用相关系数判定，|r|越趋近于1相关性越强．　　 1．回归直线方程中系数的两种求法 (1)公式法：利用公式，求出回归系数，. (2)待定系数法：利用回归直线过样本点中心(，)求系数． 2．回归分析的两种策略 (1)利用回归方程进行预测：把回归直线方程看作一次函数，求函数值． (2)利用回归直线判断正、负相关：决定正相关还是负相关的是回归系数.　　 【考点1：相关系数】 【知识点：相关系数】 1．（23-24高二下·江苏·期中）关于的一组样本数据，，，，…，的散点图中，所有样本点均在直线上，则这组样本数据的样本相关系数r为（    ） A． B． C．1 D．2 2．（23-24高二下·河南驻马店·期中）对两个变量y与x进行回归分析，分别选择不同的模型，它们的相关系数r如下，其中拟合效果最好的模型是（    ） A．模型Ⅰ：相关系数r为 B．模型Ⅱ：相关系数r为0.81 C．模型Ⅲ：相关系数r为 D．模型Ⅳ：相关系数r为0.53 3．（多选）（2024·河北唐山·二模）为研究光照时长（小时）和种子发芽数量（颗）之间的关系，某课题研究小组采集了10组数据，绘制散点图如图所示，并进行线性回归分析，若去掉点后，下列说法正确的是（    ） A．相关系数变小 B．经验回归方程斜率变小 C．残差平方和变小 D．决定系数变小 4．（多选）（23-24高二下·辽宁沈阳·阶段练习）已知之间的回归直线方程为，且变量的数据如表所示，则下列说法正确的是（    ） 6 8 10 12 6 3 2 A．变量之间呈负相关关系 B．的值等于5 C．变量之间的相关系数 D．该回归直线必过点 5．（多选）（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数据，，，，由此得到的线性回归方程为，则下列说法中正确的是（    ） A．回归直线至少经过点，，，中的一个点 B．若点，，，都落在直线上，则变量x，y的样本相关系数 C．若散点图的散点均落在一条斜率非0的直线上，则决定系数 D．若， ，则相应于样本点的残差为 6．（2024·四川南充·三模）近年来，国内掀起了全民新中式热潮，新中式穿搭，新中式茶饮，新中式快餐，新中式烘焙等，以下为某纺织厂生产“新中式”面料近5个月的利润（y万元）的统计表. 月份 2023.11 2023.12 2024.01 2024.02 2024.03 月份编号x 1 2 3 4 5 利润（y万元） 27 23 20 17 13 (1)根据统计表，试求y与x之间的相关系数r（精确到0.001），并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系：（若，则认为两个变量具有较强的线性相关性）； (2)从这5个月的利润中任选2个月的利润，分别记为m，n，求事件“m，n均不小于20万元”的概率. 附：参考数据： 相关系数. 【考点2：求回归直线方程】 【知识点：求回归直线方程】 1．（2024高二上·全国·单元测试）用最小二乘法得到一组数据（i=1，2，3，4，5）的线性回归方程为，若，则等于（　　） A．11 B．13 C．53 D．65 2．（2024高二上·全国·课后作业）已知线性回归方程＝4.4x＋0.5．则可估计x与y的增长速度之比约为（    ） A． B． C． D．2 3．（23-24高二下·江苏宿迁·期末）已知数据的三对观测值为，用“最小二乘法”判断下列直线的拟合程度，则效果最好的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·云南·期末）由数据，，…，可得关于的线性回归方程为，若，则（    ） A．48 B．52 C．56 D．80 5．（23-24高二下·广西百色·期末）具有线性相关关系的变量x，y的回归方程