7.3.3余弦函数的性质与图像学案-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

7.3.3　余弦函数的性质与图像 内　容　标　准 学　科　素　养 1.会用“五点法”、“图像变换法”作余弦函数和y＝Acos(ωx＋φ)的图像. 2．理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值. 直观想象 数学运算 课堂内容展示 一、知识回顾：正弦函数的性质与图像 1、五点法作图 ：①五点是 ②步骤 2、性质与图像 定义域 值域 最值 周期性 奇偶性 单调性 对称轴 对称中心 二、自学指导 1、余弦函数的概念 对于任意一个角x，都有唯一确定的余弦cosx与之对应，所以y=cosx是一个函数，一般称为余弦函数 思考1：猜想余弦函数具有哪些性质？（类比正弦函数） 思考2：有什么方法可以研究上述性质？ 2、性质探究 请根据的解析式，回答下列问题： ①的定义域为 y=cosx的定义域为 ②的值域为 y=cosx的定义域为 当x= 时， , 即cosx=1 当x= 时， ,即cosx=-1 ③的周期为 y=cosx的周期为 ④，此时x= y=cosx的零点为 ⑤的单调减区间为 的单调减区间为 y=cosx的单调减区间为 y=cosx的单调减区间为 ⑥由诱导公式cos(-x)= 可知y=cosx具有 性， 即y=cosx是 函数，图像 （特征） 3、余弦曲线 余弦函数y＝cos x，x∈R的图像叫余弦曲线． 思考：如何得到余弦曲线？ 1．要得到y＝cos x的图像，只需把y＝sin x的图像向左平移个单位长度即可，这是由于sin.=cosx 2．用“五点法”：画余弦函数y＝cos x在[0,2π]上的图像时，所取的五个关键点分别为(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 4、思考：由余弦曲线可以看出余弦函数还有何性质？ 请列举y=cosx的三条对称轴： 试写出y=cosx,xR的对称轴 请列举y=cosx的三条对称中心： 试写出y=cosx,xR的对称中心 5、　余弦函数的性质 定义域 值域 最值 周期性 奇偶性 单调性 对称轴 对称中心 [自主检测] 1.用“五点法”作函数y＝cos 2x，x∈R的图像时，首先应描出的五个点的横坐标是(　　) A．0，，π，，2π B．0，，，，π C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，， 2.使cos x＝1－m有意义的m的值为(　　) A．m≥0 B．0≤m≤2 C．－1<m<1 D．m<－1或m>1 3.不求值比较大小：(1)cos 15°________cos 35°； (2)cos________cos. 三、合作探究 探究一　用“五点法”作余弦型函数的图像 [例1]　用“五点法”作函数y＝3-2cos x，x∈[0,2π]的简图． 1．“五点法”是作三角函数图像的常用方法，“五点”即函数图像最高点、最低点、与x轴的交点． 2．列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节，注意用光滑的曲线连接五个关键点． 变式1．画出函数y＝2cos2 x的简图． 【变式2】用五点法画出函数y＝cos，x∈[0，π]的图像． 探究二　求余弦型函数的单调区间 【例1】函数y＝2－3cos x的递减区间是 (　 　) A．[0，π]　　　　　　　　 B．[2kπ，π+2kπ](k∈Z) C．[π，2π] D．[－π+2kπ，2kπ](k∈Z) [例2]　求函数y＝cos的单调递减区间． 1.求形如y＝Acos(ωx＋φ)＋b(其中A≠0，ω>0，b为常数)的函数的单调区间，可以借助于余弦函数的单调区间，通过解不等式求得． 2．具体求解时注意两点：①要把ωx＋φ看作一个整体，若ω<0，先用诱导公式将式子变形，将x的系数化为正；②在A>0，ω>0时，将“ωx＋φ”代入余弦函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A<0，ω>0时同样方法可以求得与余弦函数单调性相反的单调区间. 【变式】下列区间中满足函数y＝cos为减函数的是(　　) A. B．[－π，0] C. D. 探究三　有关三角函数的最值问题 [例1]　已