专题03 数列6大题型【好题汇编】-2024年高考数学二模试题分类汇编（北京专用）

专题03 数列 数列的递推问题 1．（2024·北京昌平·二模）已知数列满足，则数列的前4项和等于（    ） A．16 B．24 C．30 D．62 2．（2024·北京海淀·二模）设数列的各项均为非零的整数，其前项和为.若为正偶数，均有，且，则的最小值为（    ） A．0 B．22 C．26 D．31 3．（2024·北京昌平·二模）已知数列满足，该数列的前项和为，则下列论断中错误的是（    ） A． B． C．非零常数，使得 D．，都有 4．（2024·北京西城·二模）在数列中，，．给出下列三个结论： ①存在正整数，当时，； ②存在正整数，当时，； ③存在正整数，当时，． 其中所有正确结论的序号是 ． 等差数列基本量的计算 5．（2024·北京朝阳·二模）设等差数列的前n项和为，若，，则 （    ） A．60 B．80 C．90 D．100 6．（2024·北京朝阳·二模）北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有个小球……依此类推，最底层有 个小球，共有层，由“隙积术”可得 这 些 小 球 的 总 个 数 为 若由小球堆成的某个长方台形垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 等比数列基本量的计算 7．（2024·北京西城·二模）已知是无穷等比数列，其前项和为，．若对任意正整数，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·北京顺义·二模）已知各项均为正数的数列的前n项和为，，，，则（    ） A．511 B．61 C．41 D．9 9．（2024·北京通州·二模）已知数列为等比数列，，，则 ；数列的前4项和为 ． 数列与充要条件的判断 10．（2024·北京海淀·二模）设是公比为的无穷等比数列，为其前项和，.则“”是“存在最小值”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（2024·北京丰台·二模）已知等差数列的公差为，首项，那么“”是“集合恰有两个元素”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 12．（2024·北京通州·二模）已知等差数列的前项和为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 新定义数列问题 13．（2024·北京东城·二模）设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得，那么称为内和数列，并令，称为的伴随数列，则（    ） A．若为等差数列，则为内和数列 B．若为等比数列，则为内和数列 C．若内和数列为递增数列，则其伴随数列为递增数列 D．若内和数列的伴随数列为递增数列，则为递增数列 14．（2024·北京昌平·二模）已知为有穷正整数数列，，且．从中选取第项，第项，，第项，称数列，为的长度为的子列．规定：数列的任意一项都是的长度为1的子列．若对于任意的正整数，数列存在长度为的子列，使得，则称数列为全覆盖数列． (1)判断数列和数列是否为全覆盖数列； (2)在数列中，若，求证：当时，； (3)若数列满足：，且当时，，求证：数列为全覆盖数列． 15．（2024·北京西城·二模）已知数列，从中选取第项、第项、…、第项构成数列，称为的项子列．记数列的所有项的和为．当时，若满足：对任意，，则称具有性质．规定：的任意一项都是的项子列，且具有性质． (1)当时，比较的具有性质的子列个数与不具有性质的子列个数的大小，并说明理由； (2)已知数列． （ⅰ）给定正整数，对的项子列，求所有的算术平均值； （ⅱ）若有个不同的具有性质的子列，满足：，与都有公共项，且公共项构成的具有性质的子列，求的最大值． 16．（2024·北京顺义·二模）已知点集满足，，.对于任意点集，若其非空子集A，B满足，，则称集合对为的一个优划分.对任意点集及其优划分，记A中所有点的横坐标之和为，B中所有点的纵坐标之和为. (1)写出的一个优划分，使其满足； (2)对于任意点集，求证：存在的一个优划分，满足； (3)对于任意点集，求证：存在的一个优划分，满足且. 17．（2024·北京海淀·二模）设正整数，，，这里. 若，且，则称具有性质. (1)当时，若具有性质，且，，，令，写出的所有可能值； (2)若具有性质： ①求证：； ②求的值. 18．（2024·北京东城·二模）已知为有穷整数数列，若满足：，其中，是两个给定的不同非零整数，且，则称