5.3.2-2函数的最大(小)值课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.2.2 函数的最大(小)值 5.3 导数在研究函数中的应用 1 复习引入 1、函数的极小值和极大值的概念: 如果函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f′(a)=0;而且在x=a附近的左侧f ′(x)<0 ,右侧f ′(x)>0. 那么我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值; 如果函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f′(b)=0;而且在点x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0.那么我们b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点,极小值和极大值统称为极值 (extremum). O a b x y c e d y = f (x) 极大值 极小值 复习引入 2、求可导函数f(x)的极值的步骤如下: (2)求导数f'(x); (3)求方程f'(x)=0的根; (4)列表检查f'(x)在方程根左右的值的符号, 如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值; 如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值. (1)求函数定义域; (5)写结论. 复习引入 3、函数最大值和最小值的概念: 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M 满足: (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M; (2)存在 x0∈I,使得f(x0) = M 那么,称M 是函数y=f(x)的最大值. 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M 满足: (1)对于任意的x∈I ,都有f(x)≥m; (2)存在 x0∈I,使得f(x0) = m 那么,称m是函数y=f(x)的最小值 . 复习引入 我们知道,极值反映的是函数在某一点附近的局部性质,而不是函数在整个定义域内的性质. 也就是说,如果x0是函数y=f(x)的极大(小)值点,那么在x=x0附近找不到比f(x0)更大(小)的值. 但是,在解决实际问题或研究函数的性质时,我们往往更关心函数在某个区间上,哪个值最大,哪个值最小. 如果x0是某个区间上函数y=f(x)的最大(小)值点,那么f(x0)不小(大)于函数y=f(x)在此区间上的所有函数值. 函数在什么条件下一定有最大值、最小值?它们与函数极值关系如何? 探究新知 问题1:下图是函数y=f(x),x∈[a,b]的图象,你能找出它的极小值、极大值吗? 极小值: f(x1)、f(x3)、f(x5), 极大值:f(x2)、f(x4)、f(x6). 追问:你能找出函数y=f(x)在区间[a,b]上的最小值、最大值吗? 最大值:f(a);最小值:f(x3) O a b x y x1 y = f (x) x2 x3 x4 x5 x6 归纳提升 函数最值与极值的区别和联系 联系:只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较,就可以求出函数的最大值和最小值。 区别: 1、函数的最值是比较整个定义域上的函数值得出的,函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的,即极值是函数的局部性质,最值是函数的整体性质. 2、函数的极值可以有多个,但函数在其定义域上的最大值、最小值最多各有一个. 4、极值只能在区间内取得,最值则可以在端点处取得;有最值未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点处取得必定是极值. 3、函数的极大值不一定大于极小值,极小值不一定小于极大值,而最大值一定大于最小值(常值函数除外). 探究新知 问题2:观察[a,b]上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象,它们在[a,b]上有最大值、最小值吗?如果有,最大值和最小值分别是什么? 结论: 一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f (x)的图像是一条连续曲线,它必有最大值和最小值. 最小值是 f (a) 最大值是 f (b) 最大值是 g(x3) 最小值是 g(x4) O a b x y x1 y = g(x) x2 x3 x4 x5 O a b x y y = f (x) 感悟提升 一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f (x)的图像是一条连续曲线,它必有最大值和最小值. 思考:为什么给定函数的区间必须是闭区间? 因为不能保证f (x)在开区间上有最大值和最小值(最值有可能在区间端点处取得)。 O x y a b y=f(x) y=f(x) O x y a b O x y a b y=f(x) O x y a b y=f(x) 典型例题 1、求函数 在区间[0,3]上的最大值与最小值. 解:∵ , ∴ f′(x)=x2–4=(x+2)(x–2), 令f′(x)=0,解得x=2或–2; 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x 0 (0,2) 2 (2,3) 3