5.3.2-1函数的极值课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.2.1 函数的极值 5.3 导数在研究函数中的应用 1 复习引入 设函数y=f(x)在区间(a,b)内的导数为f ′(x). 如果f′(x)>0, 如果f′(x)<0, 如果f′(x)=0, 如果f(x)在(a,b)内为增函数, 如果f(x)在(a,b)内为减函数, 则f(x)在(a,b)内为单调递增; 则f(x)在(a,b)内为单调递减; 则f(x)在(a,b)内为常数函数; 则f′(x)≥0在(a,b)内恒成立; 则f′(x)≤0在(a,b)内恒成立. 1、函数单调性与导数的关系: 复习引入 2、判断函数y=f(x)的单调性的步骤: ①确定函数的定义域; ②求出导数f′(x)的零点; ③用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f'(x)在各区间上的正负,由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性. 探究新知 在用导数研究函数的单调性时,我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减. 如果函数在某些点的导数为0,那么在这些点处函数有什么性质呢? 探究新知 我们再来研究前面学习过的跳水问题. 观察下图,我们发现当t=a时,跳水运动员距水面的高度最大,那么函数h(t)在此点处的导数是多少?此点附件的函数图象有什么特点?相应地,导数的正负有什么变化规律? 放大t=a附近的图象,如图(2)所示. 可以看出,h′(a)=0; 在t=a的附近, 当t<a时,函数h(t)单调递增,h′(t)>0; 当t>a时,函数h(t)单调递减,h′(t)<0. 归纳: (1)在t=a附近,函数值先增后减; (2)当t在a的附近从小到大经过a时,h′(t)先正后负,且h′(t)连续变化,于是有h′(a)=0. O a b t h (1) h′(a) = 0 单调递增 h′(t) > 0 单调递减 h′(t) < 0 (2) 想一想:对于一般的函数y=f(x),是否具有同样的性质? 探究新知 如图,函数y=f(x)在x=a,b,c,d,e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系? y=f(x)在这些点的导数值是多少?在这些点附近,y=f(x)的导数的正负性有什么 规律? 以x=a,b两点为例,可以发现,函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f′(a)=0;而且在x=a附近左侧f′(x)<0 ,右侧f′(x)>0. 类似地,函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f′(b)=0;而且在点x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0. O a b x y c e d y = f (x) x = a x = b 1、函数的极大值和极小值的概念: (1)函数y=f(x)极值点:a叫做极小值点,b叫做极大值点; (2)函数y=f(x)极值:f(a)叫做极小值,f(b)叫做极大值; (3)极小值点和极大值点统称为极值点,极小值和极大值统称为极值. 在定义中,极值点是自变量的值,极值指的是对应的函数值. O a b x y c e d y = f (x) 极大值 极小值 思考:极值点是一个点吗? f′(x)>0是函数f(x)在区间I上单调递增的充分但不必要条件 2、极值点两侧导数正负符号的规律: O a b x y c e d y = f (x) 极大值 极小值 结论:极值点两侧,导数符号相异. x x<x1 x1 x>x1 f'(x) f(x) + - 0 增 减 极小值 x x<x2 x2 x>x2 f'(x) f(x) 增 0 - 极大值 减 + a h x y x1 O x2 x3 x4 x5 x6 y=f(x) 概念提升 思考1:函数的极大值一定大于极小值吗?函数的极大值与极小值是否有大小关系? 极值反映了函数在某一点附近的大小情况,刻画了函数的局部性质. 极大值与极小值没有必然的大小关系.一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值,在某一点的极小值可能大于另一点的极大值. 极小值 极大值 概念提升 思考2:若 f′(x0)=0 ,则x0是否为极值点? 例如:函数f(x)= x3, f′(x)=3x2 当x=0时, f′(0)=0 当x≠0时, f′(x)>0 又因为函数f(x)=x3是增函数 所以0不是函数f(x)=x3的极值点. 结论:若f′(x0)=0 ,但x0不一定是极值点。 追问:f′(x0)=0是函数在x=x0处取得极值的什么条件? 必要而不充分条件. y = x3 x y O 导数为零的点是极值点的充分条件是在这点两侧的导数异号. 随堂练习 1、(P92T1)函数f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,试找出函数y=f(x)的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点. 解:由极值的定义可知,极值点有x2,x4. 其