5.3.1函数的单调性课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.1 函数的单调性 5.3 导数在研究函数中的应用 1 复习引入 1、函数f(x)的单调性与导函数f ′(x)的正负之间的关系: 在某个区间(a,b)上,如果f′(x)>0,那么函数y=f (x)在区间(a,b)上单调递增; 在某个区间(a,b)上,如果f′(x)<0,那么函数y=f (x)在区间(a,b)上单调递减. 2、在区间(a,b)上f ′(x)>0是函数f (x)在区间(a,b)上为增函数的充要条件吗? 充分不必要条件. 新知探究 二次函数是一类重要的函数,之前我们已经学习过二次函数的单调性,而三次函数的导函数是二次函数,所以三次函数也是一类特殊而重要的函数,那么三次函数f (x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的单调性如何呢?这里我们不妨以一具体的三次函数为例进行研究. 例题解析 1、求函数 的单调区间. 对f(x)求导数,得 f′(x)=x2–x–2=(x+1)(x–2) 令 f′(x)=0,解得x=–1,或x=2. x=-1和x=2把函数定义域划分成三个区间, f ′(x)在各个区间的正负,以及f (x) 的单调性如表所示: x (–∞,–1) –1 (–1,2) 2 (2,+∞) f′(x) f(x) x y O f (x) = x3 − x2 − 2x + 1 (−1,) (2,) 0 0 + + – 单调递增 单调递增 单调递减 ∴f(x)在(–∞,–1)和(2,+∞)上单调递增,在(–1,2)内单调递减,如图所示. 方法总结 判断函数y=f(x)的单调性的步骤: 第1步,确定函数的定义域; 第2步,求出导数f′(x)的零点; 第3步,用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f'(x)在各区间上的正负,由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性. 注意:如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个时,应用“及”“和”等连接或直接用逗号隔开,不能写成并集的形式. 巩固练习 1、判断下列函数的单调性,并求出单调区间: (1)f(x)=3x–x3; (2)f(x)=(1+x–x2)ex; (1)单调递增区间(–1,1),单调递减区间(–∞,–1),(1,+∞): (2)单调递增区间(–2,1),单调递减区间(–∞,–2),(1,+∞): (3)单调递减区间(–1,3),单调递增区间(3,+∞): 新知探究 探究:研究对数函数y=lnx与幂函数y=x3在区间(0,+∞)上增长快慢的情况. (1)对数函数y=lnx: 因为对数函数y=lnx的导数 > 0 (x∈(0,+∞)), 所以y=lnx在区间(0,+∞)上单调递增; 当x越来越大时, 越来越小,所以函数y=lnx递增的越来越慢,图象上升得越来越“平缓”. x y O y = ln x (2)幂函数y=x3: 因为幂函数y=x3的导数为y′=3x2>0(0∈(0,+∞)), 所以y=x3在区间(0,+∞)上单调递增; 当x越来越大时,y′=3x2越来越大,函数y=x3递增得越来越快,图象上升得越来越“陡峭”. y = x3 x y O 归纳提升 x y O y = ln x y = x3 x y O 一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得较快,这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数在这个范围内变化得较慢,函数的图象就比较“平缓”. 导数的绝对值变化 函数图象变化趋势 变大 “陡峭” 变小 “平缓” 归纳提升 函数单调性与导数的关系 在某个区间(a,b)内, f′(x)>0 f(x)在(a,b)单调递增 f′(x)<0 f(x)在(a,b)单调递减 f(x)在(a,b)单调递增 f′(x)≥0 f(x)在(a,b)单调递减 f′(x)≤0 例题解析 2、设x>0,f(x)=lnx, ,两个函数的图象如图所示,判断f(x),g(x)的图象与C1,C2之间的对应关系. 解:∵f(x)=lnx, ,∴ , 当x = 1时,f ′(x) = g′(x) = 1; 当0 < x < 1时,g′(x) > f ′(x) > 1; 当 x > 1 时,0 < g′(x) < f ′(x) < 1; 所以,f(x),g(x)在(0,+∞) 上都是增函数; 在区间(0,1)上,g(x)的图象比f(x)的图象要“陡峭”; 在区间(1,+∞)上,g(x)的图象比f(x)的图象要“平缓”; 所以,f(x),g(x)的图象依次是图中的 C2,C1. x y O C2 C1 1 巩固练习 2、已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示,则函数f(x)的图象可能是( ) B 分析: 在区间(-1,1)内导函数f′(x)>0,因此函数f(x)在(-1,1)内单调递增; x∈(-1,0)时,导函数f′(