5.2.2导数的四则运算法则课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.2.2 导数的四则运算法则 5.2 导数的函数 复习引入 1、基本初等函数的导数公式 1、c′=_(c为常数); 2、(x )′=_( ∈R,且 ≠0); 3、(sinx)′=_; 4、(cosx)′=_; 5、(ax)′=_(a>0,且a≠1),特别地,(ex)′=_; 6、(logax)′=_(a>0,且a≠1),特别地,(lnx)′=_. 0 x -1 cosx -sinx axlna ex ex:不论经过多少次求导的风雨,我依然不改本色,真情永驻。 复习引入 2、如何求函数y=f(x)的导数? 对于基本初等函数,我们前一节课已经得到了求导公式,所以可以直接通过公式得到其导数,除此之外只能用导数的定义来求函数的导数,即求增量、算比值、求极限. 3、问题:在上节课的例3中,当p0=5时,这时p(t)=5 1.05t,求p关于t的导数可以看成求函数f(t)=5与g(t)=1.05t乘积的导数.一般地,如何求两个函数和、差、积、商的导数呢? ex:不论经过多少次求导的风雨,我依然不改本色,真情永驻。 探究新知 探究:设f(x)=x2,g(x)=x,计算[f(x)+g(x)]′与[f(x)-g(x)]′,它们与f'(x)和g'(x)有什么关系? 再取几组函数试试,上述关系仍然成立吗? 由此你能想到什么? 设y=f(x)+g(x)=x2+x, =∆x+2x+1 =2x+1. 而f ′(x)=(x2)′=2x,g′(x)=x′=1, ∴[f(x)+g(x)]′=f'(x)+g'(x) 同样,对上述函数,[f(x)-g(x)]′=f'(x)-g'(x) 探究新知 思考:一般地,对于两个函数f(x)和 g(x)的和(或差)的导数,下面的法则 成立吗? 解:记y=f(x)+g(x), [f(x) g(x)]′=f'(x) g'(x) 同理,[f(x)-g(x)]′=f'(x)-g'(x) =f'(x)+g'(x) 导数的运算法则1: 两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差), 即: [f(x) g(x)]′=f'(x) g'(x) 例题解析 1、求下列函数的导数 (1)y=x3-x+3;(2)y=2x+cosx. 解:(1)y′=(x3-x+3)′ =(x3)′-x′+3′ =3x2-1 (2)y′=(2x+cosx)′ =(2x)′+(cosx)′ =2xln2-sinx 探究新知 思考:设f(x)=x2,g(x)=x,计算[f(x)g(x)]′与f′(x)g′(x),它们是否相等?f(x)与g(x)商的导数是否等于它们导数的商呢? [f(x)g(x)]′=(x3)′=3x2, [f(x)g(x)]′≠f'(x)g'(x) 由已知, 显然 那么,正确结论是什么呢? f′(x)g′(x)=2x 1=2x, 导数的运算法则2: [f(x) g(x)]′=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) 事实上,对于两个函数f(x)和 g(x)的积(或商)的导数,我们有如下法则: (推导过程留作课后思考) 请同学们尝试用文字叙述上面两个运算法则. 1、两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数. 2、两个函数的商的导数,等于第一个函数(分子)的导数乘第二个函数(分母), 减去第一个函数(分子)乘第二个函数(分母)的导数,再除以第二个函数(分母)的平方. 探究新知 探究:若h(x)=c f(x),求h′(x). 思路1: 思路2: 也就是说,常数与函数的积的导数,等于常数与函数的导数的积,即 由函数的乘积的导数法则可以得 h′(x)=[c f(x)]′=c′f(x)+cf ′(x)=cf ′(x) [cf(x)]′=cf ′(x) 导数的四则运算法则 (2)[f(x) g(x)]′=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) (1)[f(x) g(x)]′=f'(x) g'(x) 特别地,有[cf(x)]′=cf ′(x) 例题解析 2、求下列函数的导数 解:(1)y′=(x3ex)′ =(x3)′ex+x3(ex)′ =3x2ex+x3ex 随堂练习 1、求下列函数的导数 (1)y=x2+log3x; (2)y=(x+1)(x+2)(x+3); (3)y=tanx. 解:(1)y′=(x2+log3x)′ =(x2)′+(log3x)′ (2)∵y=(x+1)(x+2)(x+3) =x3+6x2+11x+6, ∴y′=(x3+6x2+11x+6)′ =3x2+12x+11. (1)利用函数的和、差、积、商的求导法则求函数的导数时,要分清函数的结构,再利用相应的法则进行求导. (2)遇到函数的表达式是乘积形式或是商的形式,有时先将函数表达式展开或化简,然后再求导. 感悟提升 例题解析 3、