专题16 解答题压轴题（第21题）（16区二模新题速递）-【好题汇编】2024年高考数学二模试题分类汇编（上海专用）

专题16 解答题压轴题（第21题）（16区二模新题速递） 选 题 列 表 2024·上海杨浦·二模 2024·上海奉贤·二模 2024·上海浦东·二模 2024·上海青浦·二模 2024·上海黄浦·二模 2024·上海闵行·二模 2024·上海普陀·二模 2024·上海金山·二模 2024·上海徐汇·二模 2024·上海静安·二模 2024·上海松江·二模 2024·上海长宁·二模 2024·上海嘉定·二模 2024·上海崇明·二模 2024·上海虹口·二模 2024·上海宝山·二模 一、解答题 1．（2024·上海宝山·二模）函数的表达式为. (1)若，直线与曲线相切于点，求直线的方程； (2)函数的最小正周期是，令，将函数的零点由小到大依次记为，证明：数列是严格减数列； (3)已知定义在上的奇函数满足，对任意，当时，都有且.记，.当时，是否存在，使得成立？若存在，求出符合题意的；若不存在，请说明理由. 2．（2024·上海徐汇·二模）已知各项均不为0的数列满足（是正整数），，定义函数，是自然对数的底数. (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)记函数，其中. （i）证明：对任意，； （ii）数列满足，设为数列的前项和.数列的极限的严格定义为：若存在一个常数，使得对任意给定的正实数（不论它多么小），总存在正整数m满足：当时，恒有成立，则称为数列的极限.试根据以上定义求出数列的极限. 3．（2024·上海崇明·二模）已知. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数存在两个不同的极值点，求证：； (3)若，，数列满足，．求证：当时，． 4．（2024·上海普陀·二模）对于函数，和，，设，若，，且，皆有成立，则称函数与“具有性质”. (1)判断函数，与是否“具有性质”，并说明理由； (2)若函数，与“具有性质”，求的取值范围； (3)若函数与“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，，求证. 5．（2024·上海黄浦·二模）若函数的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数的图象的“自公切线”，称这两点为函数的图象的一对“同切点”. (1)分别判断函数与的图象是否存在“自公切线”，并说明理由； (2)若，求证：函数有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”； (3)设，的零点为，，求证：“存在，使得点与是函数的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“是数列中的项”. 6．（2024·上海奉贤·二模）已知定义域为的函数，其图象是连续的曲线，且存在定义域也为的导函数. (1)求函数在点的切线方程； (2)已知，当与满足什么条件时，存在非零实数，对任意的实数使得恒成立？ (3)若函数是奇函数，且满足.试判断对任意的实数是否恒成立，请说明理由. 7．（2024·上海闵行·二模）已知定义在上的函数的表达式为，其所有的零点按从小到大的顺序组成数列（）. (1)求函数在区间上的值域； (2)求证：函数在区间（）上有且仅有一个零点； (3)求证：. 8．（2024·上海松江·二模）已知函数（为常数），记. (1)若函数在处的切线过原点，求实数的值； (2)对于正实数，求证：； (3)当时，求证：. 9．（2024·上海静安·二模）已知，记（且）． (1)当（是自然对数的底）时，试讨论函数的单调性和最值； (2)试讨论函数的奇偶性； (3)拓展与探究： ① 当在什么范围取值时，函数的图象在轴上存在对称中心？请说明理由； ②请提出函数的一个新性质，并用数学符号语言表达出来．（不必证明） 10．（2024·上海杨浦·二模）函数、的定义域均为，若对任意两个不同的实数，，均有或成立，则称与为相关函数对. (1)判断函数与是否为相关函数对，并说明理由； (2)已知与为相关函数对，求实数的取值范围； (3)已知函数与为相关函数对，且存在正实数，对任意实数，均有.求证：存在实数，使得对任意，均有. 11．（2024·上海虹口·二模）若函数满足：对任意，都有，则称函数具有性质. (1)设，，分别判断与是否具有性质？并说明理由； (2)设函数具有性质，求实数的取值范围； (3)已知函数具有性质，且图像是一条连续曲线，若在上是严格增函数，求证：是奇函数. 12．（2024·上海金山·二模）已知函数与有相同的定义域．若存在常数()，使得对于任意的，都存在，满足，则称函数是函数关于的“函数”