上分专题(五) 圆与辅助线-【初中上分卷】2024-2025学年九年级上册数学(人教版)

九年级上册 人教版 数 学 返回目录 1 重难上分 – 攻克难点 上分专题(五)　 圆与辅助线 类型1　添半径，得等腰 类型2　构造直径所对的圆周角 类型3　遇90°圆周角，构造直径 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 类型4　圆上多点，构造圆内接四边形 类型5　有弦的中点时，常构造三角形中位线 类型6　有切线，连圆心与切点，得垂直 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 类型7　连半径，证垂直，得切线 类型8　作垂直，证半径，得切线 类型9　遇内心，作边的垂线，构造直角三角形 类型10　构造隐圆 类型1　添半径，得等腰 1. 如图， AB 是☉ O 的直径， C 是 BA 延长线上一点，点 D 在☉ O 上，且 CD ＝ OA ， CD 的延长线交☉ O 于点 E ，连接 OE . 若∠ C ＝20°，则∠ BOE 的度数是 ⁠. (第1题图) 60° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 【解析】连接 OD ，如图.∵ CD ＝ OA ＝ OD ，∠ C ＝20°，∴∠ ODE ＝2∠ C ＝ 40°.∵ OD ＝ OE ，∴∠ E ＝∠ EDO ＝40°，∴∠ EOB ＝∠ C ＋∠ E ＝20°＋40°＝ 60°，故答案为60°. 返回目录 2. 如图， AB ， CD 是☉ O 的直径，弦 CE ∥ AB ，弧 CE 的度数为40°，则∠ AOC 的 度数为 ⁠. (第2题图) 70° 【解析】连接 OE ，如图.∵弧 CE 的度数为40°，∴∠ COE ＝40°.∵ OC ＝ OE ，∴∠ OCE ＝∠ OEC ，∴∠ OCE ＝(180°－40°)÷2＝70°.∵ CE ∥ AB ，∴∠ AOC ＝∠ OCE ＝70°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 类型2　构造直径所对的圆周角 3. 如图， AB 是半圆 O 的直径，∠ BAC ＝25°，点 D 在 上，则∠ D 的度数是 (　B　) A. 65° B. 115° C. 130° D. 135° (第3题图) B 【解析】连接 BC ，如图.∵ AB 是半圆 O 的直径，∴∠ ACB ＝90°.∵∠ BAC ＝25°， ∴∠ CBA ＝65°.∵四边形 ABCD 是圆内接四边形，∴∠ ABC ＋∠ D ＝180°，∴∠ D ＝180°－65°＝115°.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 4. 如图， AB 为☉ O 的直径，点 C ， D 在圆上， CE ⊥ AB 于点 E ，若∠ D ＝48°，则 ∠1＝(　C　) A. 42° B. 45° C. 48° D. 52° (第4题图) C 【解析】连接 AC ，如图.由圆周角定理的推论得∠ A ＝∠ D . ∵∠ D ＝48°，∴∠ A ＝48°.∵ AB 是☉ O 的直径，∴∠ ACB ＝90°，∴∠ ABC ＝90°－∠ A ＝42°.∵ CE ⊥ AB ，∴∠ BEC ＝90°，∴∠1＝90°－∠ ABC ＝48°，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 5. 如图， AB 是☉ O 的直径， C ， D 在☉ O 上，∠ D ＝60°， AB ＝10，则 AC 长为 ⁠ ⁠. 5 【解析】如图，连接 BC . ∵ AB 是☉ O 的直径，∴∠ ACB ＝90°.又∵∠ D ＝∠ B ＝ 60°，∴∠ BAC ＝30°，∴ BC ＝ AB ＝5，∴ AC ＝ ＝5 ，故答案为5 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 类型3　遇90°圆周角，构造直径 6. [2023河北唐山二模改编]如图，☉ A 经过原点和点 C (4，0)， BD 是☉ A 的一条 弦，∠ B ＝30°，则点 D 的坐标为(　C　) A. (2，0) B. C. D. (3，0) (第6题图) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解析】连接 CD ，如图所示.由∠ DOC ＝90°可得 CD 为☉ A 的直径.∵∠ B ＝30°， ∴∠ DCO ＝30°，∴ DC ＝2 OD . ∵ C (4，0)，∴ OC ＝4，∴ OD2＋42＝(2 OD )2， ∴ OD ＝ (负值已舍去)，∴ D . 故选C. (第6题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 7. [2024湖南邵阳期末]如图，有位同学把直角三角板的直角顶点 O 放在破损的圆形 玻璃的圆弧上，两直角边与圆弧分别交于点 M ， N ，量得 OM ＝8 cm， ON ＝6 cm，他就知道圆形玻璃的半径是 ⁠cm. (第7题图) 5 【解析】如图，连接 MN . ∵∠ MON ＝90°，∴ MN 是圆的直径.∵ OM ＝8 cm， ON ＝6 cm，∴ MN ＝ ＝10 cm，∴圆形玻璃的半径为5 cm，故答案为5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 类型4　圆上多点，构造圆内接四边形 8. [2024陕西西安灞桥区期末]如图，点 A ， B ， C ， D ， E 均在☉ O 上，且 BD 经过 圆心 O ，连接 AB ， AE ， CE ，若∠ B ＋∠ E ＝150°，则弧 CD 所对的圆心角的度数 为(　D　) A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° (第8题图) D 【解析】连接 BC ， OC ，如图.∵四边形 ABCE 为☉ O 的内接四边形， ∴∠ ABC ＋∠ E ＝180°.∵∠ ABD ＋∠ E ＝150°，∴∠ CBD ＝30°， ∴∠ COD ＝60°，即弧 CD 所对的圆心角的度数为60°，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 9. [2024山东菏泽期末]如图，点 A ， B ， C ， D ， E 都是☉ O 上的点， ＝ ， ∠ D ＝128°，则∠ B 的度数为(　D　) A. 128° B. 126° C. 118° D. 116° (第9题图) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解析】连接 AC ， CE ，如图.∵点 A ， C ， D ， E 都是☉ O 上的点，∴四边形 ACDE 内接于☉ O ，∴∠ CAE ＋∠ D ＝180°，∴∠ CAE ＝180°－128°＝52°.∵ ＝ ，∴∠ ACE ＝∠ AEC ＝ ×(180°－52°)＝64°.∵点 A ， B ， C ， E 都是☉ O 上的 点，∴四边形 ABCE 内接于☉ O ，∴∠ AEC ＋∠ B ＝180°，∴∠ B ＝180°－64°＝ 116°，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 10. 如图，在△ AEC 中， AE ＝ CE ，☉ O 经过△ AEC 顶点 A ， C ，与 AE ， CE 分别 交于点 B ， D . 求证： AB ＝ CD . 【证明】如图，连接 BD . ∵ AE ＝ CE ，∴∠ A ＝∠ C . ∵四边形 ABDC 内接于☉ O ，∴易得∠ DBE ＝∠ C ， ∠ BDE ＝∠ A ，∴∠ DBE ＝∠ BDE ，∴ ED ＝ EB ，∴ AE － EB ＝ CE － ED ，即 AB ＝ CD . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 类型5　有弦的中点时，常构造三角形中位线 11. 如图， AB 是☉ O 的直径， C ， D 是☉ O 上的两个动点(点 C ， D 不与 A ， B 重 合)，在运动过程中弦 CD 的长度始终保持不变， F 是弦 CD 的中点，过点 C 作 CE ⊥ AB 于点 E . 若 CD ＝6， AB ＝10，则 EF 的最大值为 ，此时 CE 的长度为 ⁠. 5 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解析】如图，延长 CE 交☉ O 于 H ，连接 DH . ∵ AB ⊥ CH ，∴ EC ＝ EH . ∵ CF ＝ FD ，∴ EF ＝ DH ，∴当 DH 为直径时， EF 的 值最大，为 ＝5，此时∠ DCH ＝90°，∴ CH ＝ ＝ ＝8， ∴ CE ＝4.故答案为5，4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 12. 如图，在半径为5的扇形 AOB 中，∠ AOB ＝90°，点 C 是弧 AB 上的一个动点(不 与点 A ， B 重合)， OD ⊥ BC ， OE ⊥ AC ，垂足分别为 D ， E . (1)当 BC ＝6时，求线段 OD 的长. 【解】(1)∵ OD ⊥ BC ，∴ BD ＝ BC ＝ ×6＝3.∵∠ BDO ＝90°， OB ＝5， BD ＝ 3，∴ OD ＝ ＝4，即线段 OD 的长为4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (2)在△ DOE 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果 不存在，请说明理由. 【解】(2)存在， DE 保持不变.理由：连接 AB ，如图.∵∠ AOB ＝90°， OA ＝ OB ＝ 5，∴ AB ＝ ＝5 .∵ OD ⊥ BC ， OE ⊥ AC ，∴ D 和 E 分别是线段 BC 和 AC 的中点，∴ DE ＝ AB ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 类型6　有切线，连圆心与切点，得垂直 13. 如图， AB 是☉ O 的切线， B 为切点，连接 AO 交☉ O 于点 C ，延长 AO 交☉ O 于 点 D ，连接 BD . 若∠ A ＝∠ D ，且 AC ＝3，则 AB 的长度是 ⁠. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解析】连接 OB ，如图. 设☉ O 的半径为 r .∵∠ AOB ＝2∠ D ，∠ A ＝∠ D ，∴∠ AOB ＝2∠ A . ∵ AB 是☉ O 的切线， B 为切点，∴∠ OBA ＝90°，∴∠ A ＋∠ AOB ＝90°，∴∠ A ＋2∠ A ＝ 90°，∴∠ A ＝30°，∴ AO ＝2 OB ＝2 r ，∴3＋ r ＝2 r ，∴ r ＝3，∴ AO ＝6， OB ＝ 3，∴ AB ＝ ＝3 ，故答案为3 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 14. 如图， AB 是☉ O 的直径， C 是☉ O 上一点，过点 C 作☉ O 的切线交 AB 的延长线 于点 D ，延长 DC 至点 E ，使得∠ EAC ＝∠ DAC ，过点 C 作 CF ⊥ AD 于点 F . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (1)求证： AE ⊥ DE . 【证明】连接 OC ，如图. ∵ CD 是☉ O 的切线，∴∠ OCD ＝90°.∵ OA ＝ OC ，∴∠ OAC ＝∠ OCA . ∵∠ EAC ＝∠ DAC ，∴∠ OCA ＝∠ EAC ，∴ OC ∥ AE ，∴∠ OCD ＝∠ E ＝90°，∴ AE ⊥ DE . 得∠ E ＝90°，∴∠ E ＝∠ AFC ＝90°.∵∠ EAC ＝∠ DAC ， AC ＝ AC ，∴△ AEC ≌△ AFC (AAS)，∴ AF ＝ AE ＝5.在Rt△ ADE 中， DE ＝12，∴ AD ＝ ＝ ＝13，∴ DF ＝ AD － AF ＝13－5＝8，∴ DF 的长为8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (2)若 AE ＝5， DE ＝12，求 DF 的长. 【解】∵ CF ⊥ AD ，∴∠ AFC ＝90°.由(1)得∠ E ＝90°，∴∠ E ＝∠ AFC ＝ 90°.∵∠ EAC ＝∠ DAC ， AC ＝ AC ，∴△ AEC ≌△ AFC (AAS)，∴ AF ＝ AE ＝5. 在Rt△ ADE 中， DE ＝12，∴ AD ＝ ＝ ＝13，∴ DF ＝ AD － AF ＝13－5＝8，∴ DF 的长为8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 类型7　连半径，证垂直，得切线 15. 如图，在△ ABC 中，∠ C ＝90°， AD 是∠ BAC 的平分线， O 是 AB 上一点，以 OA 为半径的☉ O 经过点 D . 求证： BC 是☉ O 切线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【证明】如图，连接 OD ，设 AB 与☉ O 交于点 E . ∵ AD 是∠ BAC 的平分 线，∴∠ BAC ＝2∠ BAD . 又∵∠ EOD ＝2∠ EAD ，∴∠ EOD ＝∠ BAC ，∴ OD ∥ AC . ∵∠ ACB ＝90°，∴∠ BDO ＝90°，即 OD ⊥ BC . 又∵ OD 是☉ O 的半径，∴ BC 是☉ O 切线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 16. 如图，以△ ABC 的边 AB 为直径的半圆 O 分别交 BC ， AC 于点 D ， E ，已知 ＝ ，过点 D 作 DF ⊥ AC 于点 F . 求证： DF 是半圆 O 的切线. 【证明】连接 OD . ∵ AB 为半圆 O 的直径，∴∠ ADB ＝∠ ADC ＝90°.∵ ＝ ， ∴∠ CAD ＝∠ BAD ，∴∠ B ＝∠ C ，∴ AC ＝ AB ， DC ＝ DB . ∵ OA ＝ OB ，∴ OD 是△ ABC 的中位线，∴ OD ∥ AC . ∵ DF ⊥ AC ，∴ DF ⊥ OD . ∵ OD 是半圆 O 的半 径，∴ DF 是半圆 O 的切线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 类型8　作垂直，证半径，得切线 17. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ ABC ＝90°，∠ BAC 的平分线交 BC 于 D ，以 D 为圆 心， DB 长为半径作☉ D ，求证： AC 是☉ D 的切线. 【证明】过点 D 作 DF ⊥ AC 于 F ，如图所示.∵∠ B ＝90°，∴ AB ⊥ BC . ∵ AD 平分 ∠ BAC ， DF ⊥ AC ，∴ BD ＝ DF ，∴点 F 在☉ D 上，∴ AC 是☉ D 的切线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 18. 如图，△ ABC 为等腰三角形， O 是底边 BC 的中点，腰 AB 与☉ O 相切于点 D . 求 证： AC 是☉ O 的切线. 【证明】过点 O 作 OE ⊥ AC 于点 E ，连接 OD ， OA ，如图.∵ AB 与☉ O 相切于点 D ，∴ AB ⊥ OD . ∵△ ABC 为等腰三角形， O 是底边 BC 的中点，∴ AO 是∠ BAC 的 平分线，∴ OE ＝ OD ，即 OE 是☉ O 的半径.∵ AC 经过☉ O 的半径 OE 的外端点 E 且 垂直于 OE ，∴ AC 是☉ O 的切线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 类型9　遇内心，作边的垂线，构造直角三角形 19. [2024山西太原期末改编]如图，点 O 为△ ABC 的内心，∠ B ＝60°，点 M ， N 分 别为 AB ， BC 上的点， BM ≠ BN ，且 OM ＝ ON ，则∠ MON 的度数是(　A　) A. 120° B. 150° C. 100° D. 无法判断 (第19题图) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解析】连接 OB ，过点 O 作 OD ⊥ AB 于 D ， OE ⊥ BC 于 E ，如图. ∵点 O 为△ ABC 的内心，∴ BO 是∠ ABC 的平分线.又∵ OD ⊥ AB ， OE ⊥ BC ， ∴ OD ＝ OE . 在Rt△ ODM 和Rt△ OEN 中， ∴Rt△ ODM ≌Rt△ OEN (HL)，∴∠ DOM ＝∠ EON . 在四边形 ODBE 中，∠ ODB ＝∠ OEB ＝90°，∴∠ DBE ＋∠ DOE ＝180°.又∵∠ DBE ＝60°，∴∠ DOE ＝120°，即∠ DON ＋∠ EON ＝ 120°，∴∠ DON ＋∠ DOM ＝120°，∴∠ MON ＝120°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 20. [2024江苏泰州姜堰区期中]如图，在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°， AC ＝8， BC ＝ 6，点 M ， N 分别是△ ABC 的内心和外心，则 MN ＝ ⁠. (第20题图) ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解析】连接 MA ， MB ， MC ，过点 M 作 MD ⊥ AB 于点 D ，作 ME ⊥ AC 于点 E ， 作 MF ⊥ BC 于点 F ，如图.∵∠ ACB ＝90°， AC ＝8， BC ＝6，∴ AB ＝ ＝10.∵ N 为Rt△ ABC 的外心，∴ AN ＝ BN ＝5.∵ M 为△ ABC 的内心，∴ MD ＝ ME ＝ MF . ∵ S△ ABC ＝ S△ MAB ＋ S△ MAC ＋ S△ MBC ，∴ ×10· MD ＋ ×8· ME ＋ ×6· MF ＝ ×8×6，∴ MD ＝ ME ＝ MF ＝2.∵∠ MEC ＝∠ ECF ＝∠ MFC ＝90°， ME ＝ MF ，∴四边形 MECF 为正方形，∴ CF ＝ MF ＝2，∴ BF ＝6－2＝4.∵ MD ＝ MF ， BM ＝ BM ，∴Rt△ BDM ≌Rt△ BFM (HL)，∴ BD ＝ BF ＝4，∴ DN ＝ BN － BD ＝ 5－4＝1，∴ MN ＝ ＝ ＝ ，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 类型10　构造隐圆 21. [2024安徽合肥期末节选]如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝6， BC ＝4， P 是矩形内 部一动点，且满足∠ BCP ＝∠ PDC ，则线段 BP 的最小值是 ⁠. (第21题图) 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解析】∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ BCD ＝90°，∴∠ BCP ＋∠ DCP ＝90°.∵∠ BCP ＝∠ PDC ，∴∠ PDC ＋∠ PCD ＝90°，∴∠ CPD ＝90°，∴点 P 在以 CD 为直 径的圆上.如图，以 CD 为直径作☉ O ，连接 OB ，交☉ O 于 P ，此时 PB 的值最小. ∵ OB2＝ BC2＋ CO2＝42＋32，∴ OB ＝5，∴ PB ＝ OB － OP ＝5－3＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 22. [2024福建龙岩期中]如图，∠ MON ＝45°，一直角三角尺的两个顶点 C ， A 分别 在 OM ， ON 上移动，若 AC ＝6，则点 O 到 AC 距离的最大值为 ⁠. (第22题图) 3 ＋3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解析】如图，作△ AOC 的外接圆☉ P ，过点 P 作 PQ ⊥ AC 于 Q ，延长 QP 交☉ P 于 O '，连接 PA ， PC ， O ' C ， O ' A . 当点 O 与 O '重合时，点 O 到 AC 距离最大.∵∠ MON ＝45°，∴∠ CO ' A ＝45°，∴∠ CPA ＝90°.∵ PQ ⊥ AC ，∴ QA ＝ QC ＝ AC ＝3，∴ PQ ＝ AC ＝3， PA ＝ ＝3 ，∴ O ' P ＝3 ，∴ O ' Q ＝ O ' P ＋ PQ ＝3 ＋3.故答案为3 ＋3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 $$