卷10 第二十四章 圆 提优验收卷(B卷)-【初中上分卷】2024-2025学年九年级上册数学(人教版)

九年级上册 人教版 数 学 返回目录 1 第二十四章提优验收卷(B卷) 考查内容：圆 卷⑩ 一、选择题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 二、填空题 一、选择题 1. [2024福建福州期中]已知☉ O 的半径为2 cm，圆心 O 到直线 l 的距离为3 cm，直线 l 与☉ O 的位置关系是(　A　) A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定 【解析】∵☉ O 的半径 r 为2 cm，圆心 O 到直线 l 的距离 d 为3 cm，∴ d ＞ r ，∴直 线 l 与☉ O 的位置关系是相离，故选A. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 2. [2024浙江台州椒江区模拟]下列图形为圆的是(　A　) A B C D 【解析】A选项中的图形为圆.故选A. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 3. [2024浙江金华期末]如图，点 A ， B ， C ， D 是☉ O 上的四个点，且 AB ＝ CD ， OE ⊥ AB ， OF ⊥ CD ，则下列结论错误的是(　D　) A. ＝ B. OE ＝ OF C. ∠ AOB ＝∠ COD D. ＝ (第3题图) D 【解析】A选项，∵ AB ＝ CD ，∴ ＝ ，故该选项不符合题意.B选项，∵ OE ⊥ AB ， OF ⊥ CD ，∴ AE ＝ AB ， DF ＝ CD ，∴ AE ＝ DF . ∵ OA ＝ OD ， ∴Rt△ AOE ≌Rt△ DOF (HL)，∴ OE ＝ OF ，故该选项不符合题意.C选项，∵ AB ＝ CD ，∴∠ AOB ＝∠ COD ，故该选项不符合题意；D选项，根据已知条件得不到 ＝ ，故该选项符合题意.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 4. 新情境[2024江苏盐城亭湖区质检]第六届中国国际进口博览会于2023年11月5日至 10日举办.如图是博览会上一圆形展示区，在其圆形边缘的点 P 处安装了一台监视 器，它的监控角度是58°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的 监视器的台数为(　C　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 (第4题图) C 【解析】如图，设 O 为圆心，连接 OB ， OC ， 则∠ BOC ＝2∠ P ＝2×58°＝116°.∵360°÷116°＝3 ， ∴为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的 监视器4台.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 上分点拨　圆周角相关的辅助线的作法 作与此圆周角相关的圆心角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 5. [2023辽宁大连一模]如图，四边形 ABCD 内接于☉ O ， AB 是☉ O 的直径，连接 AC ，若∠ CAB ＝40°，则∠ ADC 的度数是(　D　) A. 40° B. 50° C. 110° D. 130° (第5题图) D 【解析】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 6. 如图，四边形 ABCD 的各边分别与☉ O 相切于点 E ， F ， G ， H ，且 AB ＝16， CD ＝10，则此四边形 ABCD 的周长为(　B　) A. 50 B. 52 C. 54 D. 56 (第6题图) 【解析】由题意得到 DG ＝ DH ， CG ＝ CF ， BF ＝ BE ， AE ＝ AH ，∴ DG ＋ CG ＋ BE ＋ AE ＝ DH ＋ CF ＋ BF ＋ AH ，∴ AB ＋ CD ＝ AD ＋ BC ＝16＋10＝26，∴四 边形 ABCD 的周长为26×2＝52.故选B. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 7. [2024山东菏泽调研]在截面为半圆形的水槽内装有一些水，如图，水面宽 AB 为10 cm，若再注入一些水后，水面上升7 cm，此时水面宽度变为24 cm，则该水槽截面 半径为(　B　) A. 10 cm B. 13 cm C. 14 cm D. 15 cm B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解析】如图，依题意得 AB ＝10 cm， CD ＝24 cm，设半圆的圆心为点 O ，过点 O 作 AB 的垂线，垂足为 E ，交 CD 于点 F ，连接 OA ， OC ，则 OF ⊥ CD . 由垂径定理，得 AE ＝ AB ＝5 cm， CF ＝ CD ＝12 cm.设 OE ＝ x cm，则 OF ＝( x －7)cm.在Rt△ OAE 中， OA2＝ AE2＋ OE2，在Rt△ OCF 中， OC2＝ CF2＋ OF2. ∵ OA ＝ OC ，∴52＋ x2＝122＋( x －7)2，解得 x ＝12，∴半径 OA ＝ ＝ 13(cm).故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 8. 新考法[2024湖北武汉江岸区期中]斐波那契数列指的是这样一列数：1，1，2， 3，5，8，…(从第3个数起，每个数是前面两数的和).如图，用以这些数为边长的正 方形拼成长方形，在以这些数为边长的正方形中作出圆心角为90°的圆弧，取π＝ 3.14，则接下来一段圆弧对应的扇形面积是(　C　) A. 19.625 B. 50.24 C. 132.665 D. 346.185 【解析】 ×3.14×(5＋8)2＝ ×3.14×169＝132.665，∴接下来一段圆弧对应的 扇形面积是132.665.故选C. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 9. [2024河北石家庄期末]如图，三条笔直的小路 a ， b ， c 相交围成一个三角形公园 ABC ，在△ ABC 的内心 I 处修建了一个凉亭，过凉亭的小路 d ∥ c ，并分别与△ ABC 的两边 AB ， AC 相交于点 D ， E ， DE ＝150 m，小路 c 与 d 之间相距60 m，若 游客从 B 处出发，沿 B → D → I → E → C 的路线，到达 C 处，则所走的这段路程长为 (　B　) A. 200 m B. 300 m C. 350 m D. 400 m B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解析】连接 BI ， CI ，如图所示. ∵ I 是△ ABC 的内心，∴∠ DBI ＝∠ CBI ，∠ ECI ＝∠ BCI . ∵ d ∥ c ，∴∠ DIB ＝ ∠ CBI ，∠ EIC ＝∠ BCI ，∴∠ DIB ＝∠ DBI ，∠ EIC ＝∠ ECI ，∴ BD ＝ DI ， CE ＝ IE . ∵ DE ＝ DI ＋ IE ＝150 m，∴ BD ＋ DE ＋ EC ＝2 DE ＝300 m，∴若游客从 B 处出发，沿 B → D → I → E → C 的路线，到达 C 处，则所走的这段路程长为300 m， 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 10. [2024山东泰安期中]如图，☉ M 的半径为4，圆心 M 的坐标为(6，8)，点 P 是☉ M 上的任意一点， PA ⊥ PB ，且 PA ， PB 与 x 轴分别交于 A ， B 两点，若点 A 、点 B 关于原点 O 对称，则 AB 的最大值为(　D　) A. 13 B. 14 C. 12 D. 28 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解析】 上分技巧　圆中的最值问题 圆中线段的最值一般满足线段过圆心或与圆心相关. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 二、填空题 11. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ B ＝30°，以点 A 为圆心，以3 cm为半径作☉ A ，当 AB ＝ cm时， BC 与☉ A 相切. (第11题图) 6 【解析】如图，过点 A 作 AD ⊥ BC 于点 D . ∵ AB ＝ AC ，∠ B ＝30°， ∴当 AD ＝ AB ＝3 cm时， BC 与☉ A 相切， ∴ AB ＝6 cm.故答案为6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 12. [2024陕西渭南期末]边长为4的正六边形内接于☉ M ，则☉ M 的半径是 ⁠. 【解析】正六边形的中心角为360°÷6＝60°，那么以圆心 M 和正六边形两个相邻的 顶点为顶点的三角形是等边三角形，∴边长为4的正六边形的外接圆半径是4.故答案 为4. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 13. [2023湖南永州模拟]如图，已知在△ ABC 中， AB ＝ AC . 以 AB 为直径作半圆 O ，交 BC 于点 D . 若∠ BAC ＝40°，则∠ BAD 的度数是 ⁠°. (第13题图) 【解析】∵ AB 为直径，∴∠ ADB ＝90°，即 AD ⊥ BC . ∵ AB ＝ AC ，∴∠ BAD ＝∠ CAD ＝ ∠ BAC ＝20°.故答案为20. 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 14. [2024江苏泰州海陵区期末]如图，点 O 是△ ABC 的外心，连接 OB ，若∠ OBA ＝ 17°，则∠ C 的度数为 ⁠°. (第14题图) 【解析】连接 OA ，作△ ABC 的外接圆☉ O ，如图. ∵点 O 是△ ABC 的外心，∴ OA ＝ OB ，∴∠ OAB ＝∠ OBA ＝17°，∴∠ AOB ＝ 180°－2×17°＝146°，∴∠ C ＝ ∠ AOB ＝73°，故答案为73. 73 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 15. [2024江苏扬州期末]如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点 A ， B ， C ， D 都在格点上，点 E 在 AB 的延长线上，以 A 为圆心， AE 为半径画弧，交 AD 的 延长线于点 F ，且弧 EF 经过点 C ，则 的长为 ⁠. (第15题图) ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解析】由题意得∠ EAF ＝45°.如图，连接 AC ，则 AC ＝ ＝ ，∴ 的 长为 ＝ .故答案为 . 上分警示　弧长的计算 一条弧所对的圆心角是 n °，半径为 r ，那么这条弧的长度是 ，而不是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 16. [2024湖南湘西州期末]如图，已知☉ P 的半径是1，圆心 P 在抛物线 y ＝ x2－ x － 上运动，当☉ P 与 x 轴相切时，圆心 P 的坐标为 ⁠. (第16题图) (3，1)或(－1，1)或(1，－1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解析】设点 P ( x ， y ).∵☉ P 与 x 轴相切，∴｜ y ｜＝1，∴ y ＝±1.当 y ＝1时，1 ＝ x2－ x － ，解得 x1＝3， x2＝－1，∴ P (3，1)或 P (－1，1)；当 y ＝－1时，－ 1＝ x2－ x － ，解得 x1＝ x2＝1，∴ P (1，－1).故答案为(3，1)或(－1，1)或(1， －1). 【上分攻略】只写一个或两个坐标不得分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 三、解答题 17. [2024浙江衢州期末](8分)如图，在☉ O 中， OA ， OB 是半径， C 是劣弧 上的 一点，且∠ AOB ＝120°. (1)求∠ ACB 的度数. 【解】∵ C 是劣弧 上的一点，且∠ AOB ＝120°， ∴劣弧 的度数为120°， (2分) ∴优弧 的度数为240°，∴∠ ACB ＝ ×240°＝120°. (4分) 【思路分析】(1)由题意可得劣弧 的度数为120°，从而可得优弧 的度数为 240°，再由圆周角定理即可求∠ ACB 的度数； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (2)若 AC ＝ BC ，求证：四边形 ACBO 是菱形. 【证明】连接 OC ，如图. ∵ AC ＝ BC ，∴∠ AOC ＝∠ BOC ＝ ×120°＝60°.又∵ OA ＝ OB ＝ OC ， ∴△ AOC ，△ BOC 是等边三角形，∴ AO ＝ AC ＝ BC ＝ BO ，∴四边形 ACBO 是菱 形. (8分) 【思路分析】(2)连接 OC ，可求得∠ AOC ＝∠ BOC ＝60°，可得△ AOC ，△ BOC 是等边三角形，则有 AO ＝ AC ＝ BC ＝ BO ，即可判定四边形 ACBO 是菱形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 18. [2024山东临沂期末](10分)如图，已知 AB 是圆 O 的直径，半径 OD ⊥ BC 于点 E ， 的度数为60°. (1)求证： OE ＝ DE . 【证明】连接 BD ，如图.∵ 的度数是60°，∴∠ BOD ＝60°.∵ OB ＝ OD ，∴△ OBD 是等边三角形.∵ OD ⊥ BC ，∴ OE ＝ DE . (5分) 【关键点拨】(1)连接 BD ，证明△ OBD 是等边三角形，可得结论； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (2)若 OE ＝1，求图中阴影部分的面积. 【解】如图，连接 OC . ∵ OD ⊥ BC ， OC ＝ OB ，∴∠ COE ＝∠ BOE ＝60°，∴∠ AOC ＝60°，∠ OCE ＝30°，∴ OC ＝2 OE ＝2，∴ CE ＝ ＝ ＝ ， (8分) ∴ S阴影＝ ＋ S△ COE ＝ ＋ × ×1＝ ＋ . (10分) 【关键点拨】(2)连接 OC ，根据 S阴影＝ S扇形 AOC ＋ S△ COE 求解即可. 【上分攻略】(2)用割补法求不规则图形的面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 19. [2024河南濮阳期末](10分)图(1)是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了 如图(2)所示的机械设备，磨盘半径 OQ ＝2 dm，用长为11 dm的连杆将点 Q 与动力 装置 P 相连(∠ OQP 大小可变)，点 P 在轨道 AB 上滑动，并带动磨盘绕点 O 转动， OA ⊥ AB ， OA ＝5 dm. 　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (1)当 PQ 与☉ O 相切时，求 AP 的长. 【解】(1)连接 OP ，如图(1). ∵ QP 与☉ O 相切，∴∠ OQP ＝90°. (2分) 在Rt△ OQP 中， OP2＝ OQ2＋ QP2＝22＋112＝125，在Rt△ OAP 中， AP ＝ ＝ ＝10(dm). (4分) 【关键点拨】本题主要考查了切线的性质及勾股定理.(1)利用切线的性质得到∠ OQP ＝90°是解题关键. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (2)在磨盘转动过程中，设 AP 的最大值为 S1，最小值为 S2，求 S1－ S2的值. 【解】(2)如图(2)，当 P 运动到 P1， Q 运动到 Q1时， AP 的值最大.在Rt△ OAP1中， OA ＝5 dm， OP1＝ OQ1＋ Q1 P1＝2＋11＝13(dm)，∴ S1＝ ＝ ＝12(dm). (6分) 当 P 运动到 P2， Q 运动到 Q2时， AP 的值最小.在Rt△ OAP2中， OA ＝5 dm， OP2＝ 11－2＝9(dm)，∴ S2＝ ＝ ＝2 (dm)， ∴ S1－ S2的值为(12－2 )dm. (10分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【上分攻略】(2)根据题意画图，如图(2)，当 P 运动到 P1， Q 运动到 Q1时， AP 的 值最大，根据勾股定理可得 S1；当 P 运动到 P2， Q 运动到 Q2时， AP 的值最小，根 据勾股定理得到 S2，计算 S1－ S2即可得出答案. 【关键点拨】本题主要考查了切线的性质及勾股定理.(2)当 Q 在线段 OP 上和 O 在 线段 QP 上时，利用勾股定理即可得到 S1与 S2的值，再求解 S1－ S2的值即可. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 20. [2024河南济源期末](12分)阅读材料，解答问题： 古希腊数学家、物理学家阿基米德流传于世的数学著作有10余种，在《阿基米德全 集》中的《引理集》中记载了有关圆的一个引理. 如图(1)， AB 是☉ O 的弦，点 C 在☉ O 上， CD ⊥ AB 于点 D ，在弦 AB 上取点 E ， 使 DE ＝ AD ，点 F 是 上的一点，且 ＝ ，连接 BF ，则 BF ＝ BE . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 小颖对这个问题很感兴趣，经过思考，写出了下面的证明过程： 证明：如图(2)，连接 CA ， CE ， CF ， BC . ∵ CD ⊥ AB 于点 D ， DE ＝ AD ， ∴ CA ＝ CE ， ∴∠ CAE ＝∠ CEA . ∵ ＝ ， ∴ CF ＝ CA (依据1)，∠ CBF ＝∠ CBA . ∵四边形 ABFC 内接于☉ O ， ∴∠ CAB ＋∠ CFB ＝180°.(依据2) …… 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (1)上述证明过程中的依据1为 ⁠ ，依据2为 . (4分) 【上分攻略】(1)依据要和教材中的表述一致. 【思路分析】(1)利用圆的有关性质、定理解答即可； 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对 的弦相等 圆内接四边形的对角互补 (4分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (2)将上述证明过程补充完整. 【证明】如题图(2)，连接 CA ， CE ， CF ， BC . ∵ CD ⊥ AB 于点 D ， DE ＝ AD ， ∴ CA ＝ CE ，∴∠ CAE ＝∠ CEA . ∵ ＝ ，∴ CF ＝ CA ，∠ CBF ＝∠ CBA . ∵四边形 ABFC 内接于☉ O ，∴∠ CAB ＋∠ CFB ＝180°.∵∠ CEA ＋∠ CEB ＝ 180°，∴∠ CFB ＝∠ CEB . (8分) 在△ CFB 和△ CEB 中， ∴△ CFB ≌△ CEB (AAS)，∴ BF ＝ BE . (12分) 【思路分析】(2)在原题的基础上利用全等三角形的判定与性质解答即可. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 21. [2024山东淄博期末](12分)如图，△ ABC 内接于☉ O ， BC 为☉ O 的直径，点 A 是弧 MC 的中点， CD 交☉ O 于 M ， CD 交 AB 于 E ， DB ＝ DE . (1)求证： DB 是☉ O 的切线. 【证明】∵ BC 是☉ O 的直径，∴∠ A ＝90°.∵点 A 是弧 MC 的中点， ∴ ＝ ， ∴∠ ABC ＝∠ ACM . (2分) ∵ DB ＝ DE ，∠ DEB ＝∠ AEC ，∴∠ DBE ＝∠ DEB ＝∠ AEC ， ∴∠ DBC ＝∠ DBE ＋∠ ABC ＝∠ AEC ＋∠ ACM ＝90°， 即 DB ⊥ BC . 又∵ OB 是☉ O 的半径， ∴ DB 是☉ O 的切线. (4分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【思路分析】(1)由 BC 是☉ O 的直径，得∠ A ＝90°，由 ＝ ，得∠ ABC ＝∠ ACM . 由 DB ＝ DE ，∠ DEB ＝∠ AEC ，得∠ DBE ＝∠ DEB ＝∠ AEC ，所以∠ DBC ＝∠ DBE ＋∠ ABC ＝∠ AEC ＋∠ ACM ＝90°，即可证明 DB 是☉ O 的切线； 【上分攻略】(1)“点 A 是弧 MC 的中点”，不要忘记写“弧”或弧的符号， 否则扣分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (2)求证：∠ D ＝2∠ ACD . 【证明】∵ BC 是☉ O 的直径， DB 是☉ O 的切线，∴∠ BMC ＝∠ DBC ＝90°，∴∠ D ＝∠ MBC ＝90°－∠ BCD . ∵∠ ABM ＝∠ ABC ＝∠ ACD ，∴∠ MBC ＝2∠ ABC ＝2∠ ACD ，∴∠ D ＝2∠ ACD . (7分) 【思路分析】(2)由∠ ABM ＝∠ ABC ＝∠ ACD ，得∠ MBC ＝2∠ ABC ＝2∠ ACD ， 再根据∠ D ＝∠ MBC ＝90°－∠ BCD ，得∠ D ＝2∠ ACD ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (3)若 DB ＝6， DC ＝10，求 ME 的长. 【解】作 EF ⊥ BC 于点 F ，如图.∵ EM ⊥ BM ，∠ MBA ＝∠ ABC ， ∴ FE ＝ ME . ∵∠ DBC ＝90°， DB ＝6， DC ＝10，∴ BC ＝ ＝ ＝8. (8分) ∵ S△ DBC ＝ DC · BM ＝ BC · DB ，∴ ×10 BM ＝ ×8×6，∴ BM ＝ ，∴ CM ＝ ＝ ＝ . (10分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【思路分析】(3)作 EF ⊥ BC 于点 F ，则 FE ＝ ME ，由勾股定理得 BC ＝ ＝8，则 ×10 BM ＝ ×8×6，可求得 BM ＝ ，所以 CM ＝ ＝ ，即可由 × ME ＋ ×8 ME ＝ × × ，求得 ME ＝ . 【上分攻略】(3)辅助线一般为虚线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 22. 探究性问题 [2023江苏泰州中考](14分)已知： A ， B 为圆上两定点，点 C 在该圆 上，∠ C 为 所对的圆周角. 【知识回顾】(1)如图(1)，☉ O 中， B ， C 位于直线 AO 异侧，∠ AOB ＋∠ C ＝ 135°. ①求∠ C 的度数. 【解】①∵∠ AOB ＋∠ C ＝135°，∠ AOB ＝2∠ C ，∴3∠ C ＝135°，∴∠ C ＝45°.(3分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 ②若☉ O 的半径为5， AC ＝8，求 BC 的长. 【解】②连接 AB ，过 A 作 AM ⊥ BC ，垂足为 M ，如图(1).∵∠ C ＝45°， AC ＝8， ∴△ ACM 是等腰直角三角形，且 AM ＝ CM ＝4 .∵∠ AOB ＝2∠ C ＝90°， OA ＝ OB ，∴△ AOB 是等腰直角三角形，∴ AB ＝ OA ＝5 . (5分) 在Rt△ ABM 中， BM ＝ ＝3 ，∴ BC ＝ CM ＋ BM ＝4 ＋3 ＝7 . (6分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【逆向思考】(2)如图(2)，若 P 为圆内一点，且∠ APB ＜120°， PA ＝ PB ，∠ APB ＝2∠ C . 求证： P 为该圆的圆心. 【证明】如图(2)，延长 AP 交圆于点 N ，连接 BN ，则∠ C ＝∠ N . ∵∠ APB ＝2∠ C ，∴∠ APB ＝2∠ N . ∵∠ APB ＝∠ N ＋∠ PBN ，∴∠ N ＝∠ PBN ，∴ PN ＝ PB . ∵ PA ＝ PB ，∴ PA ＝ PB ＝ PN ，∴ P 为该圆的圆心. (10分) 【上分攻略】(2)只要说明点 P 到 A ， B 和圆上另一点的距离相等即可. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【拓展应用】(3)如图(3)，在(2)的条件下，若∠ APB ＝90°，点 C 在☉ P 位于直线 AP 上方部分的圆弧上运动，点 D 在☉ P 上，是否存在点 D 使 CD ＝ CB － CA 成 立？请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解】存在. (11分) 理由：过 B 作 BC 的垂线交 CA 的延长线于点 E ，连接 AB ，延长 AP 交圆于点 F ，连 接 CF ， FB ，如图(3). ∵∠ APB ＝90°，∴∠ C ＝45°，∴△ BCE 是等腰直角三角形，∴ BE ＝ BC ， CE ＝ CB . ∵ BP ⊥ AF ， PA ＝ PF ，∴ BA ＝ BF . ∵ AF 是直径，∴∠ ABF ＝90°，∴∠ EBC ＝∠ ABF ＝90°，∴∠ EBA ＝∠ CBF ，∴△ EBA ≌△ CBF (SAS)，∴ AE ＝ CF . (13分) ∵ CD ＝ CB － CA ＝ CE － CA ＝ AE ，∴ CD ＝ CF ， ∴存在点 D 使 CD ＝ CB － CA 成立. (14分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【关键点拨】本题考查了圆周角定理、勾股定理和全等三角形的判定及性质，(3) 中构造一条线段，使其长等于 CB － CA 是关键. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 $$