卷9 第二十四章 圆 基础诊断卷(A卷)-【初中上分卷】2024-2025学年九年级上册数学(人教版)

九年级上册 人教版 数 学 返回目录 1 第二十四章基础诊断卷(A卷) 考查内容：圆 卷⑨ 一、选择题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 二、填空题 三、解答题 一、选择题 1. [2024河北石家庄期末]如图，用直角曲尺检查制作的半圆形工件，则合格的工件 是(　B　) A B C D 【解析】根据90°的圆周角所对的弦是直径得到只有B选项符合题意，故选B. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 2. [2024江苏无锡锡山区期末]如图，四边形 ABCD 为☉ O 的内接四边形，若∠ A ＝ 50°，则∠ BCD 的度数为(　D　) A. 50° B. 80° C. 100° D. 130° 【解析】∵四边形 ABCD 是☉ O 的内接四边形，∴∠ A ＋∠ BCD ＝180°.∵∠ A ＝ 50°，∴∠ BCD ＝130°，故选D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 3. [2024浙江绍兴期末]点 P 到圆 O 的距离为6，若点 P 在圆 O 外，则圆 O 的半径 r 满 足(　A　) A. 0＜ r ＜6 B. 0＜ r ≤6 C. r ＞6 D. r ≥6 【解析】∵点 P 到圆 O 的距离为6，点 P 在圆 O 外，∴ OP ＞ r ，∴0＜ r ＜6.故选A. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 4. 下列说法正确的是(　D　) 　　 A. 由图(1)可以认为“三点确定一个圆”是正确的 B. 长度相等的两条弧是等弧 C. 由图(2)可以认为“经过圆内一点有且仅有一条直径” D. 半圆是弧 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解析】A选项，不在同一直线上的三点确定一个圆，题图(1)中的例子比较片面， 故原说法错误；B选项，能够完全重合的两条弧是等弧，故原说法错误；C选项，题 图(2)说明经过圆内除圆心外的一点有且只有一条直径，故原说法错误；D选项，半 圆是弧，故原说法正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 5. [2023河北石家庄裕华区二模]1 800多年前的东汉时期，“芝麻胡饼”随胡人的来 往经商自西域传入中原大地，自此焦香酥脆的烧饼成为备受人们喜爱的食品.现将一 张直径为40 cm的烧饼切掉一块，数据如图所示，则优弧 ABC 的长度为(　B　) A. 15π cm B. 30π cm C. 10π cm D. 20π cm 【解析】优弧 ABC 的长度为 ＝30π(cm)，故选B. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 6. [2024山东聊城期末]如图，四边形 ABCD 内接于☉ O ， AB 为☉ O 的直径，点 C 为 劣弧 BD 的中点，若∠ DAB ＝40°，则∠ ABC 的度数是(　D　) A. 40° B. 140° C. 50° D. 70° (第6题图) 【解析】连接 AC . ∵点 C 为劣弧 BD 的中点，∠ DAB ＝40°，∴∠ CAB ＝ ∠ DAB ＝20°.∵ AB 为☉ O 的直径，∴∠ ACB ＝90°，∴∠ ABC ＝90°－20°＝70°，故选D. D 上分心得　在圆中构造直角三角形 直径所对的圆周角是直角，据此可作辅助线构造直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 7. 新考法[2024河北期末]复习《圆》时，老师在屏幕上展示出如下内容：“如图， △ ABC 内接于圆 O ，直径 AB 的长为6，过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 D . ”两位 同学给出如下说法： (第7题图) 小明：若添加条件∠ D ＝30°，则能求出 AD 的长，且 AD ＝9； 小亮：若添加条件∠ A ＝30°，则可以得到 AC ＝ DC . 对于两人的说法，下列判断正确的是(　C　) C A. 小明对，小亮不对 B. 小明不对，小亮对 C. 小明、小亮都对 D. 小明、小亮都不对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解析】连接 OC ，如图.∵ DC 是☉ O 的切线，∴∠ OCD ＝90°.又∵∠ D ＝30°， ∴ OD ＝2 OC ＝6，∴ AD ＝ OA ＋ OD ＝3＋6＝9，故小明的说法对.∵ AB 是☉ O 的 直径，∴∠ ACB ＝90°.又∵∠ A ＝30°，∴∠ ABC ＝60°.又∵ OB ＝ OC ，∴△ OBC 为等边三角形，∴ CO ＝ CB ，∠ CBA ＝∠ COD ＝60°.在△ ABC 和△ DOC 中， ∴△ ABC ≌△ DOC (ASA)，∴ AC ＝ DC ，故小亮的说法 对，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 8. [2024山东临沂期中]美妆小镇某品牌的香水瓶从正面可以近似看作☉ O 割去两个 弓形后余下的部分与矩形 ABCD 组合而成的图形(如图，点 B ， C 在☉ O 上)，其中 BC ∥ EF . 已知☉ O 的半径为2.5 cm， BC ＝1.4 cm， AB ＝2.6 cm， EF ＝4.8 cm，则 香水瓶的高度 h 是(　B　) A. 5.6 cm B. 5.7 cm C. 5.8 cm D. 5.9 cm B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解析】如图，作 OG ⊥ BC 于 G ，延长 GO 交 EF 于 H ，连接 BO ， EO . ∵ EF ∥ BC ，∴ OH ⊥ EF ，∴ BG ＝ BC ＝ ×1.4＝0.7(cm)， EH ＝ EF ＝ ×4.8 ＝2.4(cm)，∴ GO ＝ ＝ ＝2.4(cm)， OH ＝ ＝ ＝0.7(cm)，∴ h ＝ OH ＋ OG ＋ AB ＝0.7＋2.4＋2.6＝5.7(cm)，即香 水瓶的高度 h 为5.7 cm，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 9. 如图，已知点 A ， B ， C ， D ， E ， F 是半径为 r 的☉ O 的六等分点，连接 AE ， DF ，分别以 A ， D 为圆心， AE 和 DF 长为半径画圆弧交于点 P ，连接 AP ， PD ， AD ， OP . 以下说法正确的是(　C　) (第9题图) C ①∠ PAD ＝∠ PDA ＝60°； ②△ PAO ≌△ ADE ； ③ PO ＝ r ； ④ AO ∶ OP ∶ PA ＝1∶ ∶ . A. ①④ B. ②③ C. ③④ D. ①③④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解析】∵ A ， B ， C ， D ， E ， F 是半径为 r 的☉ O 的六等分点，∴ ＝ ， AD 为☉ O 的直径，∴ AE ＝ DF ＜ AD . 根据题意得 AP ＝ AE ， DP ＝ DF ，∴ AP ＝ DP ＜ AD ，∴△ PAD 是等腰三角形，∠ PAD ＝∠ PDA ≠60°，故①错误.由上知 AD ＞ AP ，而△ PAO ≌△ ADE 时， AD ＝ AP ，故②错误.∵由题意可得∠ AED ＝90°， ∠ DAE ＝30°，∴ DE ＝ r ， AE ＝ r ，∴ AP ＝ AE ＝ r .∵ OA ＝ OD ， AP ＝ DP ，∴ PO ⊥ AD ，∴ PO ＝ ＝ r ，故③正确. AO ∶ OP ∶ PA ＝ r ∶ r ∶ r ＝1∶ ∶ ，故④正确.综上，说法正确的是③④，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 10. 规律探究[2024山东聊城期末]利用勾股定理，可以作出长为 ， ， ， …的线段(如图).记△ OAA1，△ OA1 A2，…，△ O An 的内切圆的半径分别为 r1， r2，…， rn ，若 r1＋ r2＋…＋ rn ＝10，则 n 的值是(　A　) A. 24 B. 25 C. 26 D. 27 (第10题图) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解析】如图，设△ OAA1，△ OA1 A2的内切圆圆心分别为 O1， O2，圆 O1与△ OAA1 的三边分别相切于点 B ， C ， D ，圆 O2与△ OA1 A2的三边分别相切于点 E ， F ， G ，∴ O1 B ＝ O1 C ，∠ ABO1＝∠ ACO1＝∠ O1 DA1＝90°.由题意得∠ A ＝90°，∴∠ A ＝∠ ABO1＝∠ ACO1＝90°，∴四边形 ABO1 C 是正方形， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 ∴ AB ＝ AC ＝ O1 B ＝ r1，∴ A1 C ＝ A1 D ＝1－ r1， OB ＝ OD ＝1－ r1.∵ OA1＝ ， ∴1－ r1＋1－ r1＝ ，∴ r1＝ .同理在△ OA1 A2中，四边形 A1 EO2 F 是正方 形，∴ A2 G ＝ A2 F ＝1－ r2， OG ＝ OE ＝ － r2.∵ OA2＝ ，∴1－ r2＋ － r2 ＝ ，∴ r2＝ .同理， r3＝ ， r4＝ ，…， rn ＝ ， ∴ r1＋ r2＋…＋ rn ＝ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＝10， ∴ ＝10，∴ n ＋1－ ＝20，∴ n －19＝ ，∴( n －19)2＝ n ＋ 1，整理得 n2－39 n ＋360＝0，∴ n1＝15， n2＝24.当 n ＝15时， n －19＝ 不 成立，舍去，∴ n ＝24.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 上分心得　图形变化类的规律题 首先应找出图形是按照什么规律变化的，再根据题意列式并计算，找出相关线段的 变化规律，然后直接利用规律求解. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 二、填空题 11. [2024山西临汾期中]初中生小明日常骑自行车上下学，某日小明沿地面一条直线 骑行，自行车轮胎与这条直线的位置关系是 .(填“相离”“相交”或“相 切”) 【解析】自行车轮胎与这条直线的位置关系是相切.故答案为相切. 相切 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 12. [2024北京海淀区期中]如图， BD 是☉ O 的直径， C 是 的中点，若∠ AOC ＝ 70°，则∠ AOD 的度数为 ⁠. (第12题图) 【解析】∵ C 是 的中点，∴ ＝ .∵∠ AOC ＝70°，∴∠ AOC ＝∠ BOC ＝ 70°.∵ BD 是☉ O 的直径，∴∠ AOD ＋∠ AOC ＋∠ BOC ＝180°，∴∠ AOD ＝40°.故 答案为40°. 40° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 13. [2024辽宁铁岭清河区质检]某同学用三角板测得一个圆锥形漏斗的尺寸如图所示 (单位：cm)，则该圆锥形漏斗的侧面积为 cm2. (第13题图) 【解析】由题图得，圆锥的母线长为 ＝5(cm)，所以该圆锥形漏斗的侧面 积为 ×2π×3×5＝15π(cm2).故答案为15π. 15π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 上分技巧　圆锥的相关计算 ①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等；②圆锥的底面周长与展开后所得扇形 的弧长相等. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 14. [2024河北张家口宣化区期末]如图，在平面直角坐标系中， A (0，－3)， B (2， －1)， C (2，3)，则△ ABC 的外心的坐标为 ⁠. (第14题图) (－2，1) 【解析】如图，O'即为△ ABC 的外心，∴△ ABC 的外心的坐标是(－2，1).故答案 为(－2，1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 15. [2024天津东丽区期末]孔尚任在《桃花扇》中写道：“何处瑶天笙弄，听云鹤缥 缈，玉佩丁冬.”玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品.现从一块直径为8 cm的圆 形玉料上刻出一个如图所示的圆周角为90°的最大扇形玉佩，则阴影部分的面积 为 .(结果保留π) (第15题图) 8π cm2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解析】如图，连接 AC ， BO ，则 AC 是直径.当 AB ＝ BC 时，扇形玉佩最大.∵ AC ＝8 cm，∴ OA ＝ OB ＝ OC ＝4 cm，∴ AB ＝ BC ＝ ＝4 (cm)，∴ S阴影部 分＝ S圆－ ＝π×42－ ＝16π－8π＝8π(cm2)，故答案为8π cm2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 16. [2024山东菏泽一模]如图，等边△ ABC 的边长为4，☉ C 的半径为2， P 为 AB 上 的动点，过点 P 作☉ C 的切线 PQ ，切点为 Q ，则 PQ 的最小值为 ⁠. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解析】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 上分点拨　切线相关的辅助线的作法 作与切线相关的辅助线，一般是连接圆心和切点，构造直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 三、解答题 17. (8分)如图，在☉ O 中， AB ＝ AC . (1)若∠ BOC ＝100°，则 的度数为 ⁠°. 【解】(1)∵在☉ O 中，∠ BOC ＝100°，∴∠ BAC ＝50°.∵ AB ＝ AC ，∴ ＝ ，∴∠ ABC ＝∠ ACB ＝65°，∴ 的度数为130°，故答案为130. (4分) 【上分攻略】(1)横线后有单位“°”，因此答案不用再写单位. 130 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (2)若 AB ＝13， BC ＝10，求☉ O 的半径. 【解】(2)连接 AO ，并延长交 BC 于 D ，则 AD ⊥ BC ， BD ＝ CD ＝ BC ＝5，∴在 Rt△ ABD 中，由勾股定理，得 AD ＝ ＝ ＝12.(6分) 在Rt△ OBD 中，由勾股定理，得 OB2＝(12－ OB )2＋52，解得 OB ＝ ，即☉ O 的 半径是 . (8分) 【刷有所得】在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 18. [2024广东清远期中](10分)如图，在平面直角坐标系中， O (0，0)， A (0，－ 6)， B (8，0)三点在☉ P 上. (1)求圆心 P 的坐标及☉ P 的半径. 【解】∵∠ AOB ＝90°，∴线段 AB 是☉ P 的直径.∵ A (0，－6)， B (8，0)， PA ＝ PB ，∴ P (4，－3)， (2分) ∴ OP ＝ ＝5，∴☉ P 的半径为5. (5分) 【思路分析】(1)根据90°的圆周角所对的弦是直径，可知 P 是线段 AB 的中点，进而 解决问题； 【上分攻略】(1)点 P 在第四象限，横坐标为正，纵坐标为负，不要弄错符号. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (2) M 为劣弧 的中点，求证： AM 平分∠ OAB . 【证明】∵ ＝ ，∴∠ OAM ＝∠ MAB ，∴ AM 平分∠ OAB . (10分) 【思路分析】(2)利用圆周角定理的推论即可解决问题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 19. [2024湖北十堰郧阳区期中](10分)如图，在正五边形 ABCDE 中， DF ⊥ AB . (1)求∠ CDF 的度数. 【解】在正五边形中，∠ ABC ＝∠ C ＝540°÷5＝108°.∵ DF ⊥ AB ，∴∠ DFB ＝ 90°. (2分) 在四边形 BCDF 中，∵∠ ABC ＋∠ C ＋∠ DFB ＋∠ CDF ＝360°，∴∠ CDF ＝360° －∠ ABC －∠ C －∠ DFB ＝360°－108°－108°－90°＝54°. (5分) 【关键点拨】(1)根据正五边形内角和得每个内角度数，进而可得结果； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (2)求证： AF ＝ BF . 【证明】如图，连接 DB ， AD . (6分) ∵五边形 ABCDE 是正五边形，∴∠ E ＝∠ C ， DE ＝ AE ＝ DC ＝ BC . 在△ AED 和△ BCD 中， ∴△ AED ≌△ BCD (SAS)，∴ AD ＝ BD . (8分) ∵ DF ⊥ AB ，∴ AF ＝ BF . (10分) 【关键点拨】(2)连接 DA 和 DB ，证明△ AED ≌△ BCD 可得 AD ＝ BD ，进而可得 结论. 【上分攻略】(2)连接 DB ， AD ，在解题过程中要用到这两条线段. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 20. [2024湖北孝感期末](12分)如图，在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°，在 AC 上取一点 D ，以 AD 为直径作☉ O ，与 AB 相交于点 E ，作线段 BE 的垂直平分线 MN 交 BC 于 点 N ，连接 EN . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (1)求证： EN 是☉ O 的切线. 【证明】如图，连接 OE . ∵ OA ＝ OE ，∴∠ OAE ＝∠ OEA . ∵ MN 是 AB 的垂直平 分线，∴ NE ＝ NB ，∴∠ B ＝∠ NEB . (2分) ∵△ ABC 是直角三角形，∠ ACB ＝90°， ∴∠ B ＋∠ A ＝90°，∴∠ NEB ＋∠ OEA ＝90°，∴∠ OEN ＝180°－90°＝90°，即 OE ⊥ EN . ∵ OE 是半径，∴ EN 是☉ O 的切线. (5分) 【思路分析】(1)根据线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及直角三角 形的两锐角互余得出∠ NEM ＋∠ AEO ＝90°，进而可证得结论； 【上分攻略】(1)连接 OE ，证明过程中需要用到 OE . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (2)若 AC ＝3， BC ＝4，☉ O 的半径为1，求线段 EN 的长. 【解】如图，连接 ON . ∵ MN 是 AB 的垂直平分线，∴ NE ＝ NB . (7分) 设 EN ＝ BN ＝ x .在Rt△ CON 中， ON2＝ OC2＋ CN2，在Rt△ OEN 中， ON2＝ OE2＋ EN2， (10分) ∴ OC2＋ CN2＝ OE2＋ EN2，即(3－1)2＋(4－ x )2＝12＋ x2，解得 x ＝ ，即 EN 的 长为 . (12分) 【思路分析】(2)利用线段垂直平分线的性质以及勾股定理列方程求解即可. 【上分攻略】(2)因为设了 EN 的长为 x ，所以后面列方程要用 x 表示，不能用别的 字母. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 21. [2024江苏宿迁月考](12分)如图，等边△ ABC 内接于☉ O ， P 是 上任一点(点 P 与点 A ， B 不重合)，连接 AP ， BP ，过点 C 作 CM ∥ BP 交 PA 的延长线于点 M . (1)求∠ APC 和∠ BPC 的度数. 【解】∵△ ABC 是等边三角形，∴∠ ABC ＝∠ BAC ＝60°，∴∠ APC ＝∠ ABC ＝ 60°，∠ BPC ＝∠ BAC ＝60°. (3分) 【思路分析】(1)利用同弧所对的圆周角相等即可求出答案； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (2)求证：△ PCM 是等边三角形. 【证明】∵ CM ∥ BP ，∴∠ BPM ＋∠ M ＝180°，∠ PCM ＝∠ BPC ＝60°. (5分) ∵∠ M ＝180°－∠ BPM ＝180°－(∠ APC ＋∠ BPC )＝180°－120°＝60°，∴∠ M ＝ ∠ PCM ＝60°，∴△ PCM 是等边三角形. (7分) 【思路分析】(2)分别计算∠ M 与∠ PCM 的度数，即可证明△ PCM 是等边三 角形； 【上分攻略】(2)求出三角形的三条边相等或三个角相等(都为60°)都可证明三角形 是等边三角形，以此来找条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (3)若 PA ＝2， PB ＝4，求 AC 的长. 【解】如图，过点 B 作 BQ ⊥ AP ，交 AP 的延长线于点 Q . ∵∠ APC ＝∠ BPC ＝ 60°，∴∠ BPQ ＝60°，∴∠ PBQ ＝30°，∴ PQ ＝ PB ＝2，∴ AQ ＝ AP ＋ PQ ＝4. 在Rt△ BPQ 中， BQ ＝ ＝2 . (10分) 在Rt△ AQB 中， AB ＝ ＝2 .∵△ ABC 为等边三角形，∴ AC ＝ AB ＝ 2 . (12分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【思路分析】(3)过点 B 作 BQ ⊥ AP ，交 AP 的延长线于点 Q ，易求出∠ BPQ ＝ 60°，从而得出 PQ ＝ PB ＝2，进而可求出 AQ ＝ AP ＋ PQ ＝4.在Rt△ BPQ 中，利用 勾股定理可求出 BQ ＝2 .最后在Rt△ AQB 中，利用勾股定理求出 AB 的长，即可 得出 AC 的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 22. 探究性问题[2024江苏盐城亭湖区期末](14分)(1)问题研究：如图(1)，在每个小 正方形的边长均为1的网格中，△ ABC 的顶点 A ， C 均落在格点上，点 B 在网格线 上.以 AB 为直径的半圆的圆心为 O ，在圆上找一点 E ，使 AE 平分∠ CAB ，请用无 刻度的直尺作图(保留作图痕迹). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解】(1)如图(1)，先找到如图(1)所示的边长为1的小正方形的对角线的交点 H ， F ，作直线 HF 交线段 CB 于点 G ，连接 OG 并延长交半圆于点 E ， E 点即为所求的 点. (4分) 【思路分析】(1)先找到边长为1的小正方形的对角线的交点 H ， F ，作直线 HF 交 线段 CB 于点 G ，连接 OG 并延长交半圆于点 E ， E 点即为所求的点. 【上分攻略】(1)作图过程可写可不写，但是要保留作图痕迹. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (2)尝试应用：如图(2)， AC 是☉ O 的直径， BC 是☉ O 切线， AC ＝ BC ， AB 交☉ O 于 P 点.请用无刻度直尺作出 BC 的中点 D (保留作图痕迹). 【解】(2)如图(2)，连接 PO 并延长交☉ O 于点 Q ，连接 PC ， QB 交于点 M ，连接 OM 并延长交 CB 于点 D ，则 D 为 BC 的中点. (8分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【思路分析】(2)连接 PO 并延长交☉ O 于点 Q ，连接 PC ， QB 交于点 M ，连接 OM 并延长交 CB 于点 D ，则 D 为 BC 的中点. 【上分攻略】(2)作图过程可写可不写，但是要保留作图痕迹. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (3)问题解决：请在(2)的条件下，解决以下问题： ①连接 DP ，判断 DP 与☉ O 的位置关系并说明理由. 【解】(3)① DP 与☉ O 相切.理由：如图(2)，连接 CQ . ∵ AC 是☉ O 的直径，∴∠ APC ＝90°，即 CP ⊥ AB . ∵ AC ＝ BC ，∴ P 是 AB 的中点.又∵ OA ＝ OC ，∴ OP ∥ BC ， OP ＝ BC . 由(2)知 CD ＝ BC ，∴ OP ＝ CD ，∴四边形 OCDP 是平行四边 形.∵ BC 是☉ O 切线，∴∠ OCD ＝90°，∴四边形 OCDP 是矩形，∴ PD ⊥ OP . ∵ OP 是☉ O 的半径，∴ DP 与☉ O 相切. (12分) 【思路分析】(3)① DP 与☉ O 相切，证明∠ OPD ＝90°即可； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 ②若 AC ＝8，求 DP ， CD 与☉ O 围成的图形面积. 【解】(3)②由①知四边形 OCDP 是矩形，∵ OC ＝ OP ，∴四边形 OCDP 是正方 形，∴∠ COP ＝90°， OC ＝4，∴ DP ， CD 与☉ O 围成的图形面积为 － ＝4×4－ ＝16－4π. (14分) 【思路分析】(3)②证明四边形 OCDP 是正方形，则所求面积等于 S正方形 OCDP － S扇形 COP . 【上分攻略】(3)②扇形的面积公式是本章的重点内容，不要与弧长公式混淆. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 $$