第二十四章 圆 对点上分-【初中上分卷】2024-2025学年九年级上册数学(人教版)

九年级上册 人教版 数 学 返回目录 1 对点上分 考点上分 - 练透考点 第二十四章　 上分点1　圆的相关性质 上分点2　垂径定理及其推论 上分点3　切线的性质与判定 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 上分点4　内心与外心 上分点5　正多边形与圆 上分点6　弧长与扇形面积 上分点1　圆的相关性质 (弧、弦、圆心角、圆周角、点和圆的位置关系) 1. [2024江苏常州天宁区期末]如图，在☉ O 中， AB ∥ OC ，若∠ OBA ＝40°，则∠ BAC 的度数是(　D　) A. 50° B. 30° C. 25° D. 20° (第1题图) 【解析】∵ AB ∥ OC ，∠ OBA ＝40°，∴∠ COB ＝∠ OBA ＝40°，∴∠ BAC ＝ ∠ COB ＝20°，故选D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 2. [2024吉林白山期末]如图，△ ABC 与☉ O 交于 D ， E ， C ， B ，∠ A ＝40°，∠ C ＝60°，则∠ AED 的度数是(　C　) A. 60° B. 40° C. 80° D. 100° (第2题图) 【解析】∵∠ C ＋∠ BDE ＝180°，∴∠ BDE ＝180°－60°＝120°.∵∠ BDE ＝∠ A ＋ ∠ AED ，∴∠ AED ＝120°－40°＝80°.故选C. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 3. [2024贵州仁怀期末]如图，四边形 ABCD 的对角线 AC 是☉ O 的直径， AB ＝ AD ， ∠ AOD ＝110°，则∠ BCD ＝ ⁠°. 【解析】∵ AB ＝ AD ，∴ ＝ ，∴∠ ACB ＝∠ ACD ，∴∠ BCD ＝2∠ ACD . ∵∠ AOD ＝2∠ ACD ，∴∠ BCD ＝∠ AOD . ∵∠ AOD ＝110°，∴∠ BCD ＝110°.故 答案为110. 110 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 4. [2024湖南株洲期末]如图， AB 是☉ O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 E ，连接 AC ， AD . 若∠ D ＝62°，则∠ BAC ＝ ⁠. 28° 【解析】连接 BC ，如图. ∵ AB 是☉ O 的直径，∴∠ ACB ＝90°. ∵∠ D ＝62°， ∴∠ B ＝∠ D ＝62°，∴∠ BAC ＝90°－∠ B ＝28°， 故答案为28°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 5. [2024安徽芜湖期末]如图(1)，已知 AB 为☉ O 的直径， C 为☉ O 上一点， CE ⊥ AB 于 E ， D 为弧 BC 的中点，连接 AD ，分别交 CE ， CB 于点 F 和点 G . (1)求证： CF ＝ CG . 【证明】(1)连接 AC ，如图(1).∵ AB 为☉ O 的直径，∴∠ ACB ＝90°，∴∠ CAG ＋ ∠ AGC ＝90°.∵ CE ⊥ AB ，∴∠ CEA ＝90°，∴∠ FAE ＋∠ AFE ＝90°.∵ D 为弧 BC 的中点，∴ ＝ ，∴∠ CAG ＝∠ FAE ，∴∠ AGC ＝∠ AFE . ∵∠ AFE ＝∠ CFG ，∴∠ AGC ＝∠ CFG ，∴ CF ＝ CG . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 (2)如图(2)，其他条件不变，若 AF ＝ DG ，连接 OG ，求证： OG ⊥ AB . (2)连接 AC ， CD ，如图(2).∵∠ CFG ＝∠ CGF ，∴180°－∠ CFG ＝180°－∠ CGF ，∴∠ AFC ＝∠ CGD . 又∵ CF ＝ CG ， AF ＝ DG ，∴△ AFC ≌△ DGC (SAS)，∴ AC ＝ CD ，∴ ＝ .∵ ＝ ，∴ ＝ ，∴∠ ABC ＝∠ DAB ，∴ GA ＝ GB . ∵ OA ＝ OB ，∴ GO ⊥ AB . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 上分点2　垂径定理及其推论 6. [2023浙江衢州衢江区一模]如图，☉ O 的直径 CD 垂直于弦 AB ，垂足为点 E ，且 OE ＝2 cm， DE ＝7 cm，则 AB 的长为(　D　) A. 4 cm B. 8 cm C. cm D. 2 cm D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 【解析】连接 OA ，如图.∵ OE ＝2 cm， DE ＝7 cm，∴ OD ＝5 cm，∴ OA ＝5 cm.∵ AB ⊥ CD ，∴ AE ＝ BE . 在Rt△ AOE 中， AE ＝ ＝ ＝ (cm)，∴ AB ＝2 AE ＝2 cm.故选D. (第6题) (第6题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 7. [2024山东临沂期中]已知☉ O 的半径为5， AB 是☉ O 的弦，点 P 在弦 AB 上，若 PA ＝2， PB ＝4，则 OP ＝(　C　) A. B. C. D. 3 C 【解析】如图，过点 O 作 OC ⊥ AB 于点 C ，连接 OB ，则 OB ＝5.∵ PA ＝2， PB ＝ 4，∴ AB ＝ PA ＋ PB ＝6.∵ OC ⊥ AB ，∴ AC ＝ BC ＝3，∴ PC ＝ PB － BC ＝1.在 Rt△ OBC 中，根据勾股定理得 OC2＝ OB2－ BC2＝52－32＝16.在Rt△ OPC 中，根据 勾股定理得 OP ＝ ＝ ＝ ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 8. [2023浙江杭州一模]为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的 有关数据如图所示(单位： cm)，则该铁球的直径为(　B　) A. 12 cm B. 10 cm C. 8 cm D. 6 cm (第8题图) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 【解析】连接 AB ， CO 交于点 D ，连接 OA ，如图.由题意得， OC ⊥ AB ，则 AD ＝ DB ＝ AB ＝4 cm.设☉ O 的半径为 R cm，则 OD ＝( R －2) cm.在Rt△ AOD 中， OA2 ＝ AD2＋ OD2，即 R2＝42＋( R －2)2，解得 R ＝5，则该铁球的直径为10 cm，故选B. (第8题) (第8题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 9. [2024安徽合肥模拟]如图，☉ O 的直径 AB ＝12，弦 CD ⊥ AB 于点 E ，连接 BD ， 若 BD ＝ CD ，则 AE 的长是 ⁠. (第9题图) 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 【解析】连接 BC ， OC ， AC ，如图.∵ AB ＝12，∴ OA ＝6.∵ CD ⊥ AB ，∴ CE ＝ DE ，∴ AB 垂直平分 CD ，∴ BC ＝ BD . 又∵ BD ＝ CD ，∴△ BCD 为等边三角形， ∴∠ D ＝60°，∴∠ A ＝∠ D ＝60°.∵ OA ＝ OC ，∴△ OCA 为等边三角形.∵ CE ⊥ OA ，∴ OE ＝ AE ＝ OA ＝3.故答案为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 10. [2024浙江杭州上城区期中]如图，在平面直角坐标系中， A ， B ， C 是☉ M 上的 三个点， A (0，4)， B (4，4)， C (6，2). (1)在图上标出圆心 M ，圆心 M 的坐标为 ⁠. 【解】(1)根据垂径定理的推论可知，弦的垂直平分线必过圆心.连接 BC ，作弦 AB 和 BC 的垂直平分线，交点即为圆心 M ，如图所示，则圆心 M 的坐标为(2，0).故答 案为(2，0). (2，0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 (2)判断点 D (6，－2)与☉ M 的位置关系，并说明理由. (2)点 D 在☉ M 上.理由：如图，连接 AM ，则圆的半径为 AM ＝ ＝2 . ∵ M (2，0)， D (6，－2)，∴ MD ＝ ＝2 ，∴ MD ＝ AM ，∴点 D 在☉ M 上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 11. [2024广东珠海香洲区期中]如图，已知☉ O 中弦 AB ＝8，点 P 是 上一动点， 连接 AP ， BP ，过点 O 作 OC ⊥ PA 于点 C ， OD ⊥ PB 于点 D ，连接 CD . (1)若点 P 运动到 的中点，此时点 P 到弦 AB 的距离为2，求☉ O 的半径. 【解】(1)如图，连接 OA ， OP ， OP 交 AB 于点 H . 设☉ O 的半径为 x .∵点 P 是 的中点，∴ OP ⊥ AB ，∴ AH ＝ BH ＝ AB ＝4.由题意得 PH ＝2，则 OH ＝ x －2.在Rt△ OAH 中， AO2＝ OH2＋ AH2，即 x2＝( x －2)2＋42，解得 x ＝5，即☉ O 的半径为5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 (2)在点 P 运动过程中，线段 CD 的长是否发生变化？若不变，求出线段 CD 的长； 若改变，请说明理由. 【解】(2)线段 CD 的长不变.∵ OC ⊥ PA ， OA ＝ OP ，∴ PC ＝ AC ，同理可得 PD ＝ BD ，∴ CD 是△ PAB 的中位线，∴ CD ＝ AB ＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 上分点3　切线的性质与判定 12. [2023黑龙江鹤岗中考]如图， AB 是☉ O 的直径， PA 切☉ O 于点 A ， PO 交☉ O 于 点 C ，连接 BC ，若∠ B ＝28°，则∠ P ＝ ⁠°. (第12题图) 【解析】∵ PA 切☉ O 于点 A ，∴∠ OAP ＝90°.∵∠ B ＝28°，∴∠ AOC ＝2∠ B ＝ 56°，∴∠ P ＝90°－∠ AOC ＝34°，故答案为34. 34 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 13. [2023山东泰安中考]为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺 按图所示放置于桌面上，并量出 AB ＝4 cm，则这张光盘的半径是 cm.(精确 到0.1 cm.参考数据： ≈1.73) (第13题图) 6.9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 【解析】设光盘的圆心为 O ，由题意可知三角尺的斜边与圆 O 相切，设切点为 C ， 连接 OC ， OB ， OA ，设三角尺的直角顶点为点 D ， 如图所示.∵ AC ， AB 分别为圆 O 的切线，∴ AO 平分∠ CAB ， OB ⊥ AB . 又∵∠ CAD ＝60°，∴∠ OAC ＝∠ OAB ＝60°.在Rt△ AOB 中，∠ AOB ＝90°－∠ OAB ＝ 30°， AB ＝4 cm，∴ OA ＝8 cm，∴ OB ＝ ＝4 ≈6.9(cm)，故答案为6.9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 14. [2024山东青岛期中]如图， BC 是☉ O 直径，点 A 是☉ O 上一点，∠ ABC ＝ 22.5°，点 D 为 BC 延长线上一点，且 AD ＝ OB . (1)求证： DA 是☉ O 的切线. 【证明】连接 OA ，如图.∵∠ ABC ＝22.5°，∴∠ AOD ＝2∠ ABC ＝45°.∵ AD ＝ OB ， OA ＝ OB ，∴ OA ＝ AD ，∴∠ AOD ＝∠ D ＝45°，∴∠ OAD ＝90°.∵ OA 是☉ O 的半径，∴ DA 是☉ O 的切线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 (2)过点 A 作 AE ⊥ BD 交☉ O 于点 E ，连接 EO 并延长交 AB 于点 F ，若☉ O 的直径为4，求线段 EF 的长. 【解】∵ AE ⊥ BD ，∠ AOD ＝45°， OA ＝ OE ，∴∠ OAE ＝∠ E ＝45°，∴∠ AOE ＝90°.∵☉ O 的直径为4，∴ OA ＝ OE ＝2，∴ AE ＝2 .∵ OA ＝ OB ，∠ ABC ＝ 22.5°，∴∠ OAB ＝∠ ABC ＝22.5°，∴∠ FAE ＝∠ OAB ＋∠ OAE ＝22.5°＋45°＝ 67.5°，∴∠ AFE ＝180°－∠ FAE －∠ E ＝180°－67.5°－45°＝67.5°，∴∠ AFE ＝∠ FAE ，∴ EF ＝ AE ＝2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 15. [2024江苏宿迁宿豫区期末]如图，Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，点 D 在 AC 边 上，以 AD 为直径作☉ O 交 BD 的延长线于点 E ， CE ＝ BC . (1)求证： CE 是☉ O 的切线. 【证明】如图，连接 OE . ∵∠ ACB ＝90°，∴∠1＋∠5＝90°.∵ CE ＝ BC ，∴∠1＝ ∠2.∵ OE ＝ OD ，∴∠3＝∠4.又∵∠4＝∠5，∴∠3＝∠5，∴∠2＋∠3＝90°，即 ∠ OEC ＝90°，∴ OE ⊥ CE . ∵ OE 是☉ O 的半径，∴ CE 是☉ O 的切线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 (2)若 CD ＝2， BD ＝2 ，求☉ O 的半径. 【解】在Rt△ BCD 中，∠ DCB ＝90°， CD ＝2， BD ＝2 ，∴ BC ＝ CE ＝4.设☉ O 的半径为 r ，则 OD ＝ OE ＝ r ， OC ＝ r ＋2.在Rt△ OEC 中，∠ OEC ＝90°， ∴ OE2＋ CE2＝ OC2，∴ r2＋42＝( r ＋2)2，解得 r ＝3，∴☉ O 的半径为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 上分点4　内心与外心 16. [2024湖北武汉青山区期中]△ ABC 中，∠ C ＝30°， AB ＝3，则△ ABC 的外接圆 的半径长为 ⁠. 【解析】如图，设△ ABC 的外接圆为☉ O ，连接 OA ， OB . ∵∠ C ＝30°，∴∠ AOB ＝2∠ C ＝60°.∵ OB ＝ OA ，∴△ AOB 是等边三角形，∴ OA ＝ AB ＝3，∴△ ABC 的外接圆的半径长为3.故答案为3. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 17. [2024内蒙古通辽期中]已知点 O 是△ ABC 的外心，∠ BOC ＝130°，则∠ A ＝ ⁠. 【解析】如图(1)所示，∵∠ BOC ＝130°，∴∠ A ＝ ∠ BOC ＝65°；如图(2)所 示，∵∠ BOC ＝130°，∴∠A'＝ ∠ BOC ＝65°，∴∠ A ＝180°－65°＝115°.故答案 为65°或115°. 　　　 65°或115° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 18. [2024广东中山期末]如图，在△ ABC 中，∠ A ＝54°，点 O 是△ ABC 的内心，则 ∠ BOC ＝ ⁠°. 【解析】∵∠ A ＝54°，∴∠ ABC ＋∠ ACB ＝180°－∠ A ＝126°.∵点 O 是△ ABC 的 内心，∴∠ OBC ＋∠ OCB ＝ (∠ ABC ＋∠ ACB )＝63°，∴∠ BOC ＝180°－63°＝ 117°.故答案为117. 117 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 19. [2024四川成都期中]如图，已知△ ABC 是☉ O 的内接三角形，点 P 是弧 ABC 的中 点，过点 P 作 PD ⊥ AB ，交 AB 延长线于点 D ，连接 BP . (1)求证：∠ CBP ＝∠ PBD . 【证明】如图，连接 PC . ∵点 P 是弧 ABC 的中点，∴∠ ACP ＝∠ PBC (等弧所对的 圆周角相等).∵四边形 ABPC 是圆内接四边形，∴∠ DBP ＝180°－∠ ABP ＝∠ ACP ， ∴∠ CBP ＝∠ PBD . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 (2)过 P 作 PG ⊥ BC 交 BC 于 G 点，若 AB ＝6， BD ＝4，求 BC 的长. 【解】连接 AP ，如图.在△ PDB 和△ PGB 中， ∴△ PDB ≌△ PGB (AAS)，∴ BD ＝ BG ＝4， PD ＝ PG . ∵点 P 是弧 ABC 的中点， ∴ PC ＝ PA . 在Rt△ PCG 和Rt△ PAD 中， ∴Rt△ PCG ≌Rt△ PAD (HL)，∴ CG ＝ AD ＝ AB ＋ BD ＝6＋4＝10，∴ BC ＝ BG ＋ CG ＝4＋10＝14. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 上分点5　正多边形与圆 20. [2024山东青岛即墨区期末]如图，在正六边形 ABCDEF 中， M ， N 是对角线 BE 上的两点.添加下列条件中的一个：① BM ＝ EN ；②∠ FAN ＝∠ CDM ；③ AM ＝ DN ；④∠ AMB ＝∠ DNE ，能使四边形 AMDN 是平行四边形的有(　A　) A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③④ D. ①④ 【解析】连接 AD ，交 BE 于点 O ，如图. ①∵正六边形 ABCDEF 中，∠ BAO ＝∠ ABO ＝∠ OED ＝∠ ODE ＝60°， AB ＝ DE ，∴△ AOB 和△ DOE 是等边三角形，∴ OA ＝ OD ＝ OB ＝ OE . ∵ BM ＝ EN ， ∴ OM ＝ ON ，∴四边形 AMDN 是平行四边形，故①符合题意. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 ②∵∠ FAN ＝∠ CDM ，∠ CDA ＝∠ DAF ，∴∠ OAN ＝∠ ODM ，∴ AN ∥ DM . 又 ∵∠ AON ＝∠ DOM ， OA ＝ OD ，∴△ AON ≌△ DOM (ASA)，∴ AN ＝ DM ， ∴四边形 AMDN 是平行四边形，故②符合题意.③由已知条件不能得出四边形 AMDN 是平行四边形，故③不符合题意.④∵∠ AMB ＝∠ DNE ，∠ ABM ＝∠ DEN ， AB ＝ DE ，∴△ ABM ≌△ DEN (AAS)，∴ AM ＝ DN . ∵∠ AMB ＋∠ AMN ＝180°，∠ DNM ＋∠ DNE ＝180°，∴∠ AMN ＝∠ DNM ，∴ AM ∥ DN ，∴四边形 AMDN 是平 行四边形，故④符合题意.综上所述，符合题意的是①②④.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 21. [2024四川泸州期末]已知☉ O 的半径为1，则它的内接正三角形的边心距为 ⁠ ⁠. 【解析】如图所示，连接 OB ， OC ，作 OD ⊥ BC 于 D ，则∠ ODB ＝90°.∵∠ BOC ＝ ×360°＝120°， OB ＝ OC ＝1，∴∠ OBC ＝∠ OCB ＝30°，∴ OD ＝ OB ＝ ， 故答案为 . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 22. [2024湖南株洲期末]如图，☉ O 是正五边形 ABCDE 的外接圆，点 P 为 上的一 点，则∠ APC 的度数为 ⁠. 72° 【解析】如图，连接 OA ， OC . ∵多边形 ABCDE 是正五边形，∴∠ AOC ＝ ×2＝144°，∴∠ APC ＝ ∠ AOC ＝72°，故答案为72°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 上分点6　弧长与扇形面积 23. [2024湖北宜昌质检]如图， C ， D 是以 AB 为直径的半圆上的两点，连接 BC ， CD ， AC ， BD ，若 BC ＝ CD ，∠ ACD ＝30°， AB ＝12，则图中阴影部分的面积 为 ⁠. 6π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 【解析】如图，连接 OD ， OC ， OC 交 BD 于点 E ，过点 O 作 OF ⊥ CD 于点 F ，则 OD ＝ OC ＝ OB . ∵ AB 为直径，∴∠ ACB ＝90°.∵∠ ACD ＝30°， AB ＝12，∴ OD ＝ OC ＝ OB ＝ AB ＝6，∠ AOD ＝2∠ ACD ＝60°.∵ BC ＝ CD ， 为半圆，∴ ＝ ，∴∠ DOC ＝∠ COB ＝ (180°－∠ AOD )＝60°.∵ OD ＝ OC ＝ OB ，∴∠ OBD ＝∠ ODB ＝ (180°－∠ DOB )＝30°，△ COD 为等边三角形，∴易得∠ OEB ＝90°，∴ OE ⊥ BD ，∴ BD ＝2 BE . ∵ OF ⊥ CD ，∴ DF ＝ CF ＝ CD ＝ OD ＝3.在Rt△ OEB 和 Rt△ ODF 中， OE ＝ OB ＝3， BE ＝ ＝3 ， OF ＝ ＝3 ，∴ BD ＝2 BE ＝6 ，∴ S阴影＝ ＋ S△ OCD － S△ OBD ＝ ＋ ×6×3 － ×3×6 ＝6π.故答案为6π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 24. [2024河南濮阳期末]如图，在 Rt△ ABC 中，∠ A ＝90°，∠ C ＝30°， AB ＝3，以 点 A 为圆心， AB 的长为半径画弧，分别交 BC ， AC 于点 E ， D ，则图中阴影部分 的周长是 ⁠. 3＋π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 【解析】如图，连接 AE . 在Rt△ ABC 中，∠ CAB ＝90°，∠ C ＝30°，∴∠ B ＝60°.∵ AB ＝ AE ，∴△ ABE 是 等边三角形，∴∠ BAE ＝60°， BE ＝ AB ＝3，∴弧 BE 的长度为 ＝π，∴图中 阴影部分的周长是3＋π.故答案为3＋π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 $$