上分专题(四) 旋转中的常见模型-【初中上分卷】2024-2025学年九年级上册数学(人教版)

九年级上册 人教版 数 学 返回目录 1 重难上分 – 攻克难点 上分专题(四)　 旋转中的常见模型 类型1　旋转90°构造等腰直角三角形 类型2　旋转60°构造全等三角形 类型3　半角模型 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 类型1　旋转90°构造等腰直角三角形 1. 在正方形 ABCD 中， M 是 BC 边上一点，且点 M 不与 B ， C 重合，点 P 在射线 AM 上，将线段 AP 绕点 A 顺时针旋转90°得到线段 AQ ，连接 BP ， DQ . 　 1 2 3 4 (1)依题意补全图形. 【解】补全图形如图所示. 返回目录 (2)①连接 DP ，若点 P ， Q ， D 恰好在同一条直线上，求证： DP2＋ DQ2＝2 AB2. 【证明】连接 BD ，如图(2) ∵线段 AP 绕点 A 顺时针旋转90°得到线段 AQ ，∴ AQ ＝ AP ，∠ QAP ＝90°.∵四边 形 ABCD 是正方形，∴ AD ＝ AB ，∠ DAB ＝90°，∴∠1＝∠2，∴△ ADQ ≌△ ABP ，∴ DQ ＝ BP ，∠ Q ＝∠3.∵在Rt△ QAP 中，∠ Q ＋∠ QPA ＝90°，∴∠ BPD ＝∠3＋∠ QPA ＝90°，∴△ BPD 为直角三角形，∴ DP2＋ BP2＝ BD2.又∵ DQ ＝ BP ， BD2＝ AD2＋ AB2＝2 AB2，∴ DP2＋ DQ2＝2 AB2. 1 2 3 4 返回目录 ②若点 P ， Q ， C 恰好在同一条直线上，则 BP 与 AB 有何数量关系？并说明理由. 【解】 BP ＝ AB . 理由：如图(3)，连接 AC ，延长 CD 到 N ，使得 DN ＝ CD ，连接 AN ， QN . 易证△ ANQ ≌△ ACP ，得∠ AQN ＝∠ APC ＝45°.∵∠ AQP ＝45°，∴∠ NQC ＝90°，∴△ NQC 为直角三角形.∵ CD ＝ DN ，∴ DQ ＝ CD ＝ DN ＝ AB . ∵由 ①知△ ADQ ≌△ ABP ，∴ DQ ＝ PB ，∴ BP ＝ AB . 1 2 3 4 返回目录 类型2　旋转60°构造全等三角形 2. 如图，△ ABC 和△ DCE 都是等边三角形. 　 (1)线段 BD 与 AE 是否相等？若相等，加以证明；若不相等，请说明理由. 【解】(1) BD ＝ AE ，证明如下：∵△ ABC 和△ DCE 都是等边三角形，∴ BC ＝ CA ， CD ＝ CE ，∠ ACB ＝∠ DCE ，∴∠ BCD ＝∠ ACE ，∴△ BCD ≌△ ACE (SAS)，∴ BD ＝ AE . 1 2 3 4 返回目录 (2)如图(1)，若 B ， C ， E 三点在一条直线上， AE 与 BD 交于点 O ，求∠ BOE 的度数. 【解】(2)由(1)知△ BCD ≌△ ACE ，∴∠ BDC ＝∠ AEC . ∵∠ BOE ＝ ∠ ODE ＋∠ DEO ＝∠ CDE ＋∠ DEC ＝60°＋60°＝120°，∴∠ BOE 的度数是120°. (3)如图(2)，若 B ， C ， E 三点不在一条直线上，∠ ADC ＝30°， AD ＝4， CD ＝ 3，求 BD 的长. 【解】(3)∵∠ ADC ＝30°，∠ CDE ＝60°，∴∠ ADE ＝90°.∵ CD ＝ DE ＝3，∴在 Rt△ ADE 中，由勾股定理得 AE ＝ ＝ ＝5.由 (1)知△ BCD ≌△ ACE ，∴ BD ＝ AE ＝5. 1 2 3 4 返回目录 类型3　半角模型 3. 如图，点 E ， F 分别在正方形 ABCD 的边 BC ， CD 上，∠ EAF ＝45°，连接 EF ， 求证： EF ＝ BE ＋ DF . 1 2 3 4 返回目录 【证明】∵四边形 ABCD 为 正方形，∴∠ BAD ＝90°， AB ＝ AD ，∴如图，把△ ABE 绕点 A 逆时针旋转90°至△ ADG ，可使 AB 与 AD 重合， ∴ AE ＝ AG ，∠ BAE ＝∠ DAG . ∵∠ BAD ＝90°，∠ EAF ＝45°，∴∠ BAE ＋∠ DAF ＝45°，∴∠ FAG ＝∠ GAD ＋∠ DAF ＝45°，∴∠ EAF ＝∠ FAG . ∵∠ ADC ＝ ∠ B ＝90°，∴∠ FDG ＝180°，即点 F ， D ， G 共线.在△ AFE 和△ AFG 中， ∴△ AFE ≌△ AFG (SAS)，∴ EF ＝ FG . ∵ FG ＝ DG ＋ DF ＝ BE ＋ DF ，∴ EF ＝ BE ＋ DF . 1 2 3 4 返回目录 4. 旋转变换是解决数学问题中一种重要的思想方法，通过旋转变换可以将分散的条 件集中到一起，从而方便解决问题.已知，△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ BAC ＝α，点 D ， E 在边 BC 上(不与 B ， C 重合)，且∠ DAE ＝ α. (1)如图(1)，当α＝60°时，将△ AEC 绕点 A 顺时针旋转60°到△ AFB 的位置，连接 DF . 1 2 3 4 返回目录 ①∠ DAF ＝ ⁠. 【解】由旋转知 AF ＝ AE ，∠ BAF ＝∠ CAE ，∠ EAF ＝60°.∵∠ DAE ＝ α，∠ BAC ＝α＝60°，∴∠ DAE ＝ ×60°＝30°，∴∠ CAE ＋∠ BAD ＝∠ BAC －∠ DAE ＝30°，∴∠ DAF ＝∠ BAD ＋∠ BAF ＝∠ BAD ＋∠ CAE ＝30°，故答案为30°. ②求证： DF ＝ DE . 【证明】由①知， AF ＝ AE ，∠ DAF ＝∠ DAE ＝30°.∵ AD ＝ AD ，∴△ DAF ≌△ DAE (SAS)，∴ DF ＝ DE . 30° 1 2 3 4 返回目录 (2)如图(2)，当α＝90°时，猜想 BD ， DE ， CE 的数量关系，并说明理由. 【解】 DE2＝ BD2＋ CE2，理由如下：如图， 将△ AEC 绕点 A 顺时针旋转90°到△ AFB 的位置，连接 DF ，∴ AF ＝ AE ， BF ＝ CE ，∠ ABF ＝∠ ACE . 在Rt△ ABC 中，∠ C ＝∠ ABC ＝45°，∴∠ ABF ＝45°， ∴∠ DBF ＝90°.在Rt△ BDF 中，根据勾股定理得 DF2＝ BD2＋ BF2，∴ DF2＝ BD2＋ CE2.同(1)②的方法得 DF ＝ DE ，∴ DE2＝ BD2＋ CE2. 1 2 3 4 返回目录 $$