卷8 期中综合检测卷-【初中上分卷】2024-2025学年九年级上册数学(人教版)

九年级上册 人教版 数 学 返回目录 1 期中综合检测卷 考查内容：第二十一章至第二十三章 卷⑧ 一、选择题 二、填空题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 三、解答题 一、选择题 1. [2024山西晋中期中]下列汽车标志中，是中心对称图形的是(　A　) A B C D 【解析】选项B、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转180°后与原来 的图形重合，所以不是中心对称图形；选项A能找到这样一个点，使图形绕该点旋 转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故选A. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 2. [2024吉林长春期中]若关于 x 的方程 mx2－2 x ＋1＝0是一元二次方程，则(　D　) A. m ＞0 B. m ≥0 C. m ＝1 D. m ≠0 【解析】∵关于 x 的方程 mx2－2 x ＋1＝0是一元二次方程，∴ m ≠0.故选D. 3. [2024江苏南通期末]下列点中，一定在抛物线 y ＝ ax2＋2 ax ＋3上的是(　B　) A. (2，3) B. (－2，3) C. (3，0) D. (1，8) 【解析】将选项中点的坐标逐一代入函数解析式可知，(－2，3)一定能使解析式成 立.故选B. D B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 4. [2024四川达州期末]如图，将一个含30°角的直角三角板 ABC 绕点 A 旋转得到三角 板AB'C'，若点 B ， A ，C'在同一条直线上，则旋转角∠BAB'的度数是(　D　) A. 60° B. 90° C. 120° D. 150° 【解析】旋转角∠ BAB '＝180°－30°＝150°.故选D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 5. [2024浙江温州龙湾区期末]若函数 y ＝ x2－4 x ＋ m 的图象上有两点 A (0， y1)， B (1， y2)，则(　A　) A. y1＞ y2 B. y1＜ y2 C. y1＝ y2 D. y1， y2的大小不确定 【解析】解法1(利用二次函数的增减性判断)：∵二次函数图象的对称轴为直线 x ＝ － ＝2，开口向上，∴当 x ＜2时， y 随 x 的增大而减小.∵0＜1＜2，∴ y1＞ y2，故 选A. 解法2(直接计算判断)：当 x ＝0时， y1＝ m ；当 x ＝1时， y2＝ m －3.∵ m ＞ m －3， ∴ y1＞ y2，故选A. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 6. [2024云南文山州质检]已知关于 x 的一元二次方程 x2－ mx ＋ n ＝0，其中 m ， n 在 数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是(　A　) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【解析】观察数轴可知 m ＞0， n ＜0，∴ m2＞0，－4 n ＞0.∵ x2－ mx ＋ n ＝0中， a ＝1， b ＝－ m ， c ＝ n ，∴Δ＝ b2－4 ac ＝(－ m )2－4×1× n ＝ m2－4 n ＞0，∴方 程有两个不相等的实数根，故选A. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 7. [2024河北唐山调研]若 b ＞0，二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ a2－1的图象为下列图象之 一，则 a 的值为(　B　) 　　　 A. 1 B. －1 C. D. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解析】由第一、二个图象得 b ＝0，与已知矛盾，∴这两个图象不是 y ＝ ax2＋ bx ＋ a2－1( b ＞0)的图象.由第三个图象得 a ＜0，－ ＞0，∴ b ＞0，符合条件.∵图 象过原点，∴ a2－1＝0，∴ a ＝1(舍去)或 a ＝－1，故选项B符合题意.由第四个图 象得 a ＞0，－ ＞0，∴ b ＜0，与已知矛盾，∴该图象不是 y ＝ ax2＋ bx ＋ a2－1( b ＞0)的图象.故选B. 上分技巧　排除法 这类题目适用排除法解题，即找到图象与函数解析式的矛盾之处，将其排除. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 8. [2024山东威海期末]我国古代数学家研究过一元二次方程的正数解的几何解法.以 方程 x2＋5 x －14＝0，即 x ( x ＋5)＝14为例说明，构造如图所示的大正方形，其面 积是( x ＋ x ＋5)2，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即 4×14＋52，因此 x ＝2.小明用此方法解关于 x 的方程 x2＋ mx － n ＝0( m ＞0， n ＞0) 时，构造出类似的图形，已知大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，则 (　D　) A. m ＝2， n ＝3 B. m ＝ ， n ＝2 C. m ＝ ， n ＝2 D. m ＝2， n ＝ (第8题图) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解析】如图，由题意得 m2＝4，4 n ＋4＝14，∴ m ＝2， n ＝ ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 9. [2024河北保定期中]如图，某校音乐教室矩形地面的长为8 m，宽为5 m，现准备 在地面正中间铺设一块矩形地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同.若地毯面 积为18 m2，设四周未铺地毯的条形区域的宽度是 x m，则下列结论正确的是 (　C　) A. (8－2 x )(5－ x )＝18 B. x ＝ C. x ＝1 D. x ＝1或 (第9题图) C 【解析】由题意得地毯的长为(8－2 x )m，宽为(5－2 x )m.由题意，得(8－2 x )(5－ 2 x )＝18.整理，得2 x2－13 x ＋11＝0，解得 x1＝1， x2＝ .又∵8－2 x ＞0，5－2 x ＞ 0，∴ x ＜ ，∴ x ＝1.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 上分点拨　与矩形面积相关的等量关系 用未知数表示出矩形的长和宽，根据矩形面积＝长×宽，列出函数关系式即可解题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 10. 新定义定义：若以抛物线的顶点、抛物线与 x 轴的两个交点为顶点的三角形是直 角三角形，则这种抛物线就称为“美丽抛物线”.如图，直线 l ： y ＝ x ＋ b 经过点 M ，一组抛物线的顶点 B1(1， y1)， B2(2， y2)， B3(3， y3)，…， Bn ( n ， yn ) ( n 为正整数)都是直线 l 上的点，这组抛物线与 x 轴正半轴的交点依次是 A1( x1， 0)， A2( x2，0)， A3( x3，0)，…， ( ，0)( n 为正整数).若 x1＝ d (0＜ d ＜ 1)，则当这组抛物线中存在“美丽抛物线”时， d 的值为(　B　) A. 或 B. 或 C. 或 D. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解析】由直线 l ： y ＝ x ＋ b 经过点 M ，得 b ＝ ，∴直线 l ： y ＝ x ＋ . 由抛物线的对称性知以抛物线的顶点、抛物线与 x 轴的两个交点为顶点的直角三角 形必为等腰直角三角形，且抛物线的顶点为直角顶点，∴抛物线顶点的纵坐标等于 抛物线与 x 轴两个交点间距离的一半.∵0＜ d ＜1，∴可知若存在“美丽抛物线”， 则对应的等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1(即抛物线的顶点纵坐 标小于1).∵当 x ＝1时， y1＝ ×1＋ ＝ ＜1，当 x ＝2时， y2＝ ×2＋ ＝ ＜ 1，当 x ＝3时， y3＝ ×3＋ ＝ ＞1，∴只有以 B1， B2为顶点的抛物线可能是“美 丽抛物线”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 ①若以 B1 为顶点的抛物线是“美丽抛物线”，则 d ＝1－ ＝ ； ②若以 B2 为顶点的抛物线是“美丽抛物线”，则 d ＝1－ ＝ . 综上所述， d 的值为 或 时，这组抛物线中存在“美丽抛物线”.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 二、填空题 11. [2024江苏泰州期末]将抛物线 y ＝－2 x2向上平移3个单位长度，所得抛物线解析 式为 ⁠. 【解析】将抛物线 y ＝－2 x2向上平移3个单位长度，所得抛物线解析式为 y ＝－2 x2 ＋3.故答案为 y ＝－2 x2＋3. y ＝－2 x2＋3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 12. [2023山东青岛市南区一模]在俄罗斯方块游戏中，屏幕上方图形向下运动，若某 行被小方格填满，则该行中的所有小方格会自动消失.如图，假如屏幕上方图形 “L”可直接经过一次旋转转到图中左下方的阴影位置，则旋转中心为图中的 点 ⁠. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解析】如图，连接两对对应点，分别作它们的垂直平分线，交于点 A ，则点 A 即 为旋转中心.故答案为 A . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 13. 跨学科问题[2023山西大同模拟]生物学研究表明，在一定的温度范围内，酶的活 性会随温度的升高逐渐增强，在最适温度时，酶的活性最强，超过一定温度范围， 酶的活性又随温度的升高逐渐减弱，甚至会失去活性.现已知某种酶的活性值 y (单 位：IU)与温度 x (单位：℃)的关系可以近似用二次函数 y ＝－ x2＋14 x ＋142来表 示，则当温度为最适温度时，该种酶的活性值为 ⁠IU. (第13题图) 240 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解析】∵ y ＝－ x2＋14 x ＋142＝－ ( x －14)2＋240，∴当 x ＝14时， y 有最大 值，为240.故当温度为14 ℃(即最适温度)时，该种酶的活性值为240 IU. 故答案为 240. 【上分攻略】横线后有单位，答案只写数字即可. 上分点拨　二次函数最值的应用 根据题意，当温度为最适温度时，酶的活性值最高，因此本题是在求函数的最大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 14. [2024湖北咸宁期末]如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝8， AD ＝4，将矩形 ABCD 绕 点 B 旋转一定角度后得矩形A'BC'D'，A'B交 CD 于点 E ，且 CE ＝A'E，则 CE 的长 为 ⁠. (第14题图) 3 【解析】设 CE ＝A'E＝ x .∵ AB ＝8， AD ＝4，矩形 ABCD 绕点 B 旋转一定角度后得 矩形A'BC'D'，∴ BE ＝8－ x ， BC ＝ AD ＝4，∠ C ＝90°.在Rt△ BCE 中， CE2＋ BC2 ＝ BE2，∴(8－ x )2＝ x2＋42，∴ x ＝3，故答案为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 15. [2024四川成都武侯区月考]关于 x 的一元二次方程 x2－4 x ＋ k －1＝0有两个实数 根 x1， x2.若 x1， x2分别是一个矩形的长和宽，矩形的对角线长为 ，则 k 的值 为 ⁠. 【解析】∵关于 x 的一元二次方程 x2－4 x ＋ k －1＝0有两个实数根 x1， x2，∴ x1＋ x2 ＝4， x1· x2＝ k －1.∵ x1， x2分别是一个矩形的长和宽，矩形的对角线长为 ， ∴ ＋ ＝( )2＝10，∴( x1＋ x2)2－2 x1· x2＝10，42－2( k －1)＝10，解得 k ＝4，故答案为4. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 16. [2024吉林长春期末]如图，正方形 ABCD 、正方形 CEFG 的顶点 D ， F 都在抛物 线 y ＝－ x2上，点 B ， C ， E 均在 y 轴上.若点 O 是 BC 边的中点，则正方形 CEFG 的边长为 ⁠. (第16题图) 1＋ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解析】∵点 O 是 BC 边的中点，∴设 OB ＝ OC ＝ BC ＝ a ，且 a ＞0.在正方形 ABCD 中， DC ＝ BC ＝2 a ， DC ⊥ BC ，∴ D (－2 a ，－ a ).∵ D (－2 a ，－ a )在抛 物线 y ＝－ x2上，∴－ a ＝－ (－2 a )2，解得 a ＝ 或 a ＝0(舍去).设正方形 CEFG 的边长为 b ，且 b ＞0，∴ CE ＝ EF ＝ b ，∴ OE ＝ OC ＋ CE ＝ ＋ b ，∴结合正方 形的性质，可知 F .∵ F 在抛物线 y ＝－ x2上，∴－ － b ＝ － b2，解得 b ＝1＋ (负值已舍去).故答案为1＋ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 上分点拨　正方形与二次函数图象 根据正方形的特征设出点 D 的坐标，将其代入二次函数 解析式，从而求得点 D 的坐标，进而表示出点 F 的坐标，将其代入二次函数解析式 求解即可. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 三、解答题 17. [2024山东青岛期中](8分)解方程： (1)2 x2－5 x ＋2＝0(公式法). 【解】(1)2 x2－5 x ＋2＝0，∵ a ＝2， b ＝－5， c ＝2，∴Δ＝ b2－4 ac ＝(－5)2－ 4×2×2＝9＞0， (2分) ∴ x ＝ ＝ ，∴ x1＝2， x2＝ . (4分) (2) x2－4 x ＋1＝0(配方法). 【解】(2) x2－4 x ＋1＝0， x2－4 x ＝－1， x2－4 x ＋4＝－1＋4，( x －2)2＝3， (6分) ∴ x －2＝± ，∴ x1＝2＋ ， x2＝2－ . (8分) 【刷有所得】用公式法解一元二次方程的前提条件： b2－4 ac ≥0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 18. [2024山东济南历城区期末](10分)如图，正方形网格中，△ ABC 的顶点均在格点 上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (1)若△ A1 B1 C1与△ ABC 关于坐标原点 O 成中心对称，则 B1(点 B 的对应点)的坐标 为 ⁠. 【解】(1)∵ B (－2，－2)，∴ B1(2，2).故答案为(2，2). (3分) 【关键点拨】(1)根据关于原点成中心对称的点的坐标特征求解. 【上分攻略】(1)填空题不用写解题过程. (2)求(1)中△ A1 B1 C1的面积. 【解】(2)△ A1 B1 C1的面积为3×2－ ×2×1×2－ ×3×1＝2.5. (6分) 【关键点拨】(2)利用割补法求三角形的面积. (2，2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (3)将△ ABC 绕某点逆时针旋转90°后， A ， B ， C 的对应点分别为 A2(－1，－2)， B2(1，－3)， C2(0，－5)，则旋转中心的坐标为 ⁠. 【解】(3)根据两对对应点的连线的垂直平分线的交点就是旋转中心，易得旋转中 心的坐标为(0，－1).故答案为(0，－1). (10分) 【关键点拨】(3)利用旋转的性质求解. 【上分攻略】(3)填空题不用写解题过程. (0，－1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 19. [2023安徽合肥包河区三模](10分)如果不防范，病毒的传播速度往往很快，有一 种病毒1人感染后，经过两轮传播，共有361人感染. (1)平均每人每轮感染多少人？ 【解】(1)设平均每人每轮感染 x 人. 由题意得1＋ x ＋ x ( x ＋1)＝361， (3分) 解得 x1＝18， x2＝－20(不符合题意，舍去). (4分) 答：平均每人每轮感染18人. (5分) 【思路分析】(1)设平均每人每轮感染 x 人.根据1人感染后，经过两轮传播，共有 361人感染，列出一元二次方程，解方程即可； 【上分攻略】(1)“ x2＝－20(不符合题意，舍去)”不能省略，否则扣分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (2)第二轮传播后，人们加强防范，使病毒的传播力度减少到原来的 a ％，这样第三 轮传播后感染的人数只是第二轮传播后感染人数的10倍，求 a 的值. (2)由题意得361＋361×18× a ％＝10×361，解得 a ＝50. (9分) 答： a 的值为50. (10分) 【思路分析】(2)根据病毒的传播力度减少到原来的 a ％，这样第三轮传播后感染的 人数只是第二轮传播后感染人数的10倍，列出一元一次方程，解方程即可. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 20. 开放性问题[2023浙江杭州中考](12分)设二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋1( a ≠0， b 是 实数).已知函数值 y 和自变量 x 的部分对应取值如下表所示： x … －1 0 1 2 3 … y … m 1 n 1 p … (1)若 m ＝4， ①求二次函数的解析式. 【解】(1)①由题意得 解得 ∴二次函数的解析式是 y ＝ x2－2 x ＋1. (3分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 ②写出一个符合条件的 x 的取值范围，使得 y 随 x 的增大而减小. 【解】(1)②∵ y ＝ x2－2 x ＋1＝( x －1)2，∴抛物线开口向上，对称轴为直线 x ＝ 1，∴当 x ＜1时， y 随 x 的增大而减小，所以答案可以为 x ＜1(答案不唯 一). (6分) 【上分攻略】(1)②答案不唯一，符合题意即可. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (2)若在 m ， n ， p 这三个实数中，只有一个是正数，求 a 的取值范围. 【解】(2)∵ x ＝0和 x ＝2时的函数值都是1，∴抛物线的对称轴为直线 x ＝－ ＝ 1，∴(1， n )是顶点，(－1， m )和(3， p )关于对称轴对称，∴ m ＝ p .若在 m ， n ， p 这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下，即 a ＜0，且 m ≤0. (10分) ∵－ ＝1，∴ b ＝－2 a ，∴二次函数为 y ＝ ax2－2 ax ＋1， (11分) ∴ m ＝ a ＋2 a ＋1≤0，∴ a ≤－ . (12分) 【思路分析】(2)由表格中的数据及抛物线的对称性，判断出抛物线开口、对称轴 及 m ， n ， p 的符号，列不等式求解. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 21. 探究性问题 [2024浙江宁波鄞州区期中](12分)我们已经学习了利用配方法解一元 二次方程，其实配方法还有其他重要应用.例如：已知 x 可取任何实数，试求二次三 项式 x2＋2 x ＋3的最小值. 解： x2＋2 x ＋3＝ x2＋2 x ＋1＋2＝( x ＋1)2＋2. ∵无论 x 取何实数，都有( x ＋1)2≥0， ∴( x ＋1)2＋2≥2，即 x2＋2 x ＋3的最小值为2. 【尝试应用】(1)请直接写出2 x2＋4 x ＋10的最小值： ⁠. 8 【解】(1)2 x2＋4 x ＋10＝2( x2＋2 x )＋10＝2( x2＋2 x ＋1－1)＋10＝2( x ＋1)2＋8. ∵无论 x 取何实数，都有2( x ＋1)2≥0，∴2( x ＋1)2＋8≥8，即2 x2＋4 x ＋10的最小 值为8.故答案为8. (4分) 【上分攻略】(1)解答题中的填空题不用写解题过程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【拓展应用】(2)试说明：无论 x 取何实数，二次根式 都有意义. 【解】(2) x2＋ x ＋2＝ ＋ .∵ ≥0，∴ x2＋ x ＋2＞0，∴无论 x 取何 实数，二次根式 都有意义. (7分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【创新应用】(3)如图，在四边形 ABCD 中， AC ⊥ BD ，若 AC ＋ BD ＝10，求四边 形 ABCD 的面积的最大值.(对角线互相垂直的四边形的面积为 × a × b ， a ， b 分 别为四边形两条对角线的长度) 【解】(3)∵ AC ⊥ BD ，∴四边形 ABCD 的面积为 · AC · BD . ∵ AC ＋ BD ＝10， ∴ BD ＝10－ AC ， (9分) ∴四边形 ABCD 的面积为 · AC ·(10－ AC )＝－ AC2＋5 AC ＝－ ( AC －5)2＋ .∵－ ( AC －5)2≤0，∴当 AC ＝5时，四边形 ABCD 的面积最大，最大值为 . (12分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【上分攻略】(3)题中给出了对角线互相垂直的四边形的面积公式，可直接使用， 不必证明. 【刷有所得】利用配方法求最值：利用配方法把二次式变形为一个完全平方式和常 数的和，然后利用非负数的性质确定代数式的最值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 22. [2024福建厦门湖里区模拟](14分)抛物线 C ： y ＝ x2－2 x －3交 x 轴于 A ， B 两点 (点 A 在点 B 的左边)，交 y 轴于点 C . (1)直接写出点 A ， B 的坐标. 【解】当 y ＝0时， x2－2 x －3＝0，解得 x ＝－1或 x ＝3，∴ A (－1，0)， B (3，0). (2分) 【上分攻略】(1)直接写出结果即可. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (2)如图(1)，直线 y ＝ x ＋1经过点 A ，交抛物线于另一点 N ，点 D 在抛物线上(不与 点 C 重合)，满足△ DAN 的面积与△ CAN 的面积相等，求点 D 的横坐标. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解】当 x ＝0时， y ＝－3，∴ C (0，－3).当 x2－2 x －3＝ x ＋1时， x ＝－1 或 x ＝4， ∴ N (4，5). (4分) 当 x ＝0时， y ＝ x ＋1＝1，∴直线 AN 与 y 轴交于点(0，1).由对称性可知，点 C 关于(0，1)对称的点为 C '(0，5).∵△ DAN 的面积与△ CAN 的面积相等， ∴ DC ∥ AN 或 DC '∥ AN . 当 DC ∥ AN 时，直线 CD 的解析式为 y ＝ x －3， 当 x －3＝ x2－2 x －3时， x ＝0(舍)或 x ＝3，∴点 D 的横坐标为3. (5分) 当DC'∥ AN 时，直线DC'的解析式为 y ＝ x ＋5， 当 x ＋5＝ x2－2 x －3时， x ＝ 或 x ＝ ， (7分) ∴点 D 的横坐标为3或 或 . (8分) 【上分攻略】(2)点 D 的横坐标有三个，写不全只得部分的分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (3)如图(2)，将抛物线 C 向上平移，使其顶点 M 在 x 轴上，得到抛物线 C1， P ( x1， y1)， Q ( x2， y2)是抛物线 C1上两点( P 点在 Q 点左侧)，直线 PQ 交抛物线 C1对称轴 于点 E ，过点 Q 作 y 轴的平行线，分别交 x 轴，直线 PM 于 F ， H 两点， EH 交 x 轴 于点 G ，求证： EG ＝ GH . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【证明】由题意可得 M (1，0)，∴平移后的抛物线的解析式为 y ＝ x2－2 x ＋1，对 称轴为直线 x ＝1.设直线 PQ 的解析式为 y ＝ kx ＋ b .∵ P ( x1， －2 x1＋1)， Q ( x2， －2 x2＋1)，∴ 解得 ∴ y ＝( x1＋ x2－2) x ＋1－ x1 x2. (10分) ∵ E 为 PQ 与抛物线 C1对称轴的交点，∴ E (1， x1＋ x2－1－ x1 x2)，∴ EM ＝ x1＋ x2 －1－ x1 x2.设直线 PM 的解析式为 y ＝k'x＋b'，∴ 解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 ∴ y ＝( x1－1) x ＋1－ x1.∵ QH ∥ y 轴，∴ H ( x2，－ x1－ x2＋ x1 x2＋1).∵点 H 在第 四象限，∴ FH ＝ x1＋ x2－ x1 x2－1＝ EM . (12分) 在△ EMG 和△ HFG 中， ∴△ EMG ≌△ HFG (AAS)，∴ EG ＝ GH . (14分) 【上分攻略】(3)当证全等的条件写成大括号这种形式时，所有等号同一边表示的 角和边必须分别对应同一个三角形. 【关键点拨】解这类问题的关键是善于利用二次函数的知识将函数问题转化为方程 (组)问题，并注意挖掘题目中的一些隐含条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 $$