第20讲 二次根式的加减（3大考点+11种题型+强化训练）-【帮课堂】2023-2024学年八年级数学下册同步学与练（苏科版）

第20讲 二次根式的加减 1．通过自主探究概括同类二次根式的概念及二次根式加减法法则； 2．了解同类二次根式的概念，会识别同类二次根式，会利用法则进行二次根式的加减运算； 3．通过对二次根式加减法的探究，激发学生的探索热情，让学生充分参与到数学学习的过程中来，使他们体验到成功的乐趣． 一、同类二次根式 1.同类二次根式的定义:经过化简后,被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式. 【要点归纳】 判断同类二次根式的步骤:(1)先化为最简二次根式;(2)看被开方数是否相同 2.合并同类二次根式的方法:与合并同类项相类似,将根号外的因数或因式相加，根指数和被开方数不变， 即: 3.易错警示:判断“同类二次根式”的前提是先化为最简二次根式，如,化简后可知它们是同类二次根式。 二、二次根式的加减 1.法则:二次根式加减时,先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并. 2.二次根式加减运算的步骤 (1)“化”:将每个二次根式都化成最简二次根式; (2)“找”:找出被开方数相同的最简二次根式; (3)“并”:将被开方数相同的最简二次根式合并成一项. 3.整式加、减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则在二次根式的运算中仍然适用. 4.易错警示: (1)合并同类二次根式时,根号外的因数(式)与因数(式)合并,剩下的部分保持不变，一定不要丢掉; (2)二次根式进行加减运算时，不能合并的二次根式不能丢掉,因为它们也是结果的一部分; (3)二次根式根号外的因数是带分数的要化为假分数. 三、二次根式的混合运算 1.二次根式的混合运算: (1)运算种类:二次根式的加、减、乘、除、乘方(或开方)的混合运算(2)运算顺序:先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减,如果有括号就先算括号里面的. 【要点归纳】 (1)二次根式混合运算的结果应写成最简二次根式(或整式)的形式.(2)进行二次根式的开方运算时应使开出的因数(式)是非负数(式) 2.二次根式的运算律: (1)实数运算中的运算律(交换律、结合律、分配律)和整式乘法中的乘法公式(平方差公式和完全平方公式)在二次根式的运算中仍然适用. (2)在进行计算时,能用乘法公式的要尽量使用乘法公式，同时注意合理地运用运算律. 3.易错警示(1)对同类二次根式理解不透彻导致合并不彻底. (2)在计算过程中,忽略已知条件中隐含的字母取值范围,导致符号出现错误 题型一：识别同类二次根式 识别同类二次根式的方法:先化二次根式为最简二次根式，最简二次根式只要被开方数相同，就是同类二次根式，与根号外面的因式无关. 1．（22-23八年级下·江苏苏州·阶段练习）下列各根式中与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·江苏镇江·阶段练习）下面与是同类二次根式的是（　  ） A． B． C． D． 题型二：根据同类二次根式的概念求值 解答这类问题的一般思路是根据被开方数相同列方程 3．（22-23八年级下·江苏盐城·阶段练习）若最简二次根式与是同类二次根式，则= ． 4．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）若与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 5．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）若最简二次根式和是同类二次根式． (1)求、的值； (2)、平方和的算术平方根． 题型三：合并同类二次根式 (1)合并结果中容易漏掉二次根式部分; (2)合并后根号外的因数是分数的要写成假分数形式，不能写成带分数形式. 6．（23-24八年级上·江苏南通·期中）二次根式与最简二次根式可以合并，则 7．（22-23七年级下·四川自贡·期中）计算： 题型四：计算不含字母的二次根式的加减 二次根式加减运算的技巧 (1)将每个二次根式都化为最简二次根式，若被开方数中含有带分数，则要先化成假分数;若含有小数，则要化成分数，进而化为最简二次根式. (2)原式中若有括号，要先去括号，再应用加法交换律、结合律将被开方数相同的二次根式进行合并. 8．（2023八年级下·全国·专题练习）计算：． 9．（2023八年级下·全国·专题练习）计算：． 题型五：计算含字母的二次根式的加减 先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变，这是解答此题的关键,但要注意根号外的因数为带分数时要化为假分数 10．（22-23九年级上·广东惠州·开学考试）计算：． 11．（22-23八年级上·上海嘉定·阶段练习）计算： 12．（22-23八年级上·重庆北碚·阶段练习）计算下列各题； (1) (2) 题型六：二次根式的加减在生活中的应用 13．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在